1、2015-2016学年上海市普陀区高三（上）12月调研数学试卷（理科）一、填空题（本大题56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中，每小空格填对得4分，填错或不正确的位置一律得零分）1若全集U=R，集合M=x|x（x2）0，N=1，2，3，4，则NUM=2若函数，则f（x）+g（x）=3在（2x1）7的二项展开式中，第四项的系数为4在，则函数y=tanx的值域为5在数列an中，a1=1，则数列的各项和为6若函数f（x）=（x0）的反函数是f1（x），则不等式f1（x）f（x）的解集为7设O为坐标原点，若直线与曲线相交于A、B点，则扇形AOB的面积为8若正六棱柱的底面边长
2、为10，侧面积为180，则这个棱柱的体积为9若在北纬45的纬度圈上有A、B两地，经度差为90，则A、B两地的球面距离与地球半径的比值为10方程的解x=11设P是双曲线上的动点，若P到两条渐近线的距离分别为d1，d2，则d1d2=12如图，已知正方体ABCDA1B1C1D，若在其12条棱中随机地取3条，则这三条棱两两是异面直线的概率是（结果用最简分数表示）13若F是抛物线y2=4x的焦点，点Pi（i=1，2，3，10）在抛物线上，且，则=14若函数最大值记为g（t），则函数g（t）的最小值为二、选择题（本大题20分，共4小题，每小题5分）15下列命题中的假命题是（）A若ab0，则B若，则0a1C
3、若ab0，则a4b4D若a1，则16若集合，则“xA”是“xB”成立的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件17如图，在四面体ABCD，AB=CD，M，N分别是BC，AD的中点，若AB与CD所成的角的大小为60，则MN和CD所成的角的大小为（）A30B60C30或60D15或6018若函数，关于x的方程f2（x）（a+1）f（x）+a=0，给出下列结论：存在这样的实数a，使得方程由3个不同的实根；不存在这样的实数a，使得方程由4个不同的实根；存在这样的实数a，使得方程由5个不同的实数根；不存在这样的实数a，使得方程由6个不同的实数根其中正确的个数是（）A1个B2个
4、C3个D4个三、解答题：（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19如图，椭圆+=1的左、右两个焦点分别为F1、F2，A为椭圆的右顶点，点P在椭圆上且PF1F2=arccos（1）计算|PF1|的值x（2）求PF1A的面积20某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24cm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm3）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“
5、笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？21已知函数f（x）=2sin2x+sin2x1（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）设，其中0x0，求tanx0的值22已知nN*，数列an的前n项和为Sn，且2anSn=1（1）求证：数列an是等比数列，并求出通项公式；（2）对于任意ai、aja1，a2，an（其中1in，1jn，i、j均为正整数），若ai和aj的所有乘积aiaj的和记为Tn，试求的值；（3）设，若数列cn的前n项和为Cn，是否存在这样的实数t，使得对于所有的n都有成立，若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由23已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，存在实
6、数a、k（k0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（ax）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”（1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；（2）若函数f（x）=sinxM，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；（3）若（1，1），（2，1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1x2时，；当x=2时，f（x）=0求当2014x2016时，函数y=f（x）的零点2015-2016学年上海市普陀区高三（上）12月调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中，每小空格填对得4分，填错或不正
7、确的位置一律得零分）1若全集U=R，集合M=x|x（x2）0，N=1，2，3，4，则NUM=3，4【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求解一元二次不等式化简M，求出其补集，再由交集运算得答案【解答】解：M=x|x（x2）0=x|0x2，UM=x|x0或x2，又N=1，2，3，4，NUM=3，4故答案为：3，42若函数，则f（x）+g（x）=1（0x1）【考点】函数解析式的求解及常用方法【分析】容易求出f（x），g（x）的定义域，求交集便可得出f（x）+g（x）的定义域，并可求得f（x）+g（x）=【解答】解：；解得，0x1；（0x1）故答案为：3在（2x1）7的二项展开式中，第四项的系数为5
8、60【考点】二项式系数的性质【分析】直接利用二项式定理写出结果即可即可【解答】解：在（2x1）7的二项展开式中，第四项的系数为： =560故答案为：5604在，则函数y=tanx的值域为1，1【考点】正切函数的图象【分析】根据正切函数的图象与性质，求出x，时函数y=tanx的值域即可【解答】解：，1tanx1，函数y=tanx的值域为1，1故答案为：1，15在数列an中，a1=1，则数列的各项和为2n1【考点】数列的求和【分析】由，变形an+1+1=2（an+1），利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：，an+1+1=2（an+1），数列an+1是等比数列，首项为2，公比为2an+1=2n
9、，an=2n1故答案为：2n16若函数f（x）=（x0）的反函数是f1（x），则不等式f1（x）f（x）的解集为x|x1【考点】反函数【分析】由y=f（x）=（x0），求出f1（x）=x3，x0，由此能求出不等式f1（x）f（x）的解集【解答】解：设y=f（x）=（x0），则x=y3，x，y互换，得f1（x）=x3，x0，f1（x）f（x），x9x，x81，解得x1不等式f1（x）f（x）的解集为x|x1故答案为：x|x17设O为坐标原点，若直线与曲线相交于A、B点，则扇形AOB的面积为【考点】直线与圆的位置关系；扇形面积公式【分析】通过曲线方程确定曲线表示单位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交
10、点），y=时，AOB=，即可求出扇形AOB的面积【解答】解：由曲线，得x2+y2=1（y0）曲线表示単位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点）y=时，AOB=，扇形AOB的面积为=故答案为：8若正六棱柱的底面边长为10，侧面积为180，则这个棱柱的体积为450【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】根据侧面积公式求出棱柱的高，根据底面边长求出底面积，代入体积公式得出体积【解答】解：设棱柱的底面边长为a，高为h，则S侧=6ah=60h=180，解得h=3S底=150正六棱柱的体积V=S底h=450故答案为：4509若在北纬45的纬度圈上有A、B两地，经度差为90，则A、B两地的球面距离与地球半径的比
11、值为【考点】球面距离及相关计算【分析】求出球心角，然后A、B两点的距离，求出两点间的球面距离，即可求出A、B两地的球面距离与地球半径的比值【解答】解：地球的半径为R，在北纬45，而AB=R，所以A、B的球心角为：，所以两点间的球面距离是：，所以A、B两地的球面距离与地球半径的比值为；故答案为：10方程的解x=log23【考点】对数的运算性质【分析】化简可得4x5=4（2x2），从而可得（2x）242x+3=0，从而解得【解答】解：，4x5=4（2x2），即（2x）242x+3=0，2x=1（舍去）或2x=3；x=log23，故答案为：log2311设P是双曲线上的动点，若P到两条渐近线的距离分
12、别为d1，d2，则d1d2=【考点】双曲线的简单性质【分析】先确定两条渐近线方程，设双曲线C上的点P（x，y），求出点P到两条渐近线的距离，结合P在双曲线C上，即可求d1d2的值【解答】解：由条件可知：两条渐近线分别为xy=0设双曲线C上的点P（x，y），则点P到两条渐近线的距离分别为d1=，d2=所以d1d2=故答案为：12如图，已知正方体ABCDA1B1C1D，若在其12条棱中随机地取3条，则这三条棱两两是异面直线的概率是（结果用最简分数表示）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】正方体ABCDA1B1C1D，在其12条棱中随机地取3条，先求出
13、基本事件总数，再求出这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数，由此能求出这三条棱两两是异面直线的概率【解答】解：正方体ABCDA1B1C1D，在其12条棱中随机地取3条，基本事件总数n=220，这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数m=8，这三条棱两两是异面直线的概率是p=故答案为：13若F是抛物线y2=4x的焦点，点Pi（i=1，2，3，10）在抛物线上，且，则=200【考点】抛物线的简单性质【分析】根据抛物线的定义得抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，因此求出抛物线的准线方程，结合题中数据加以计算，即可得到本题答案【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线为x=1，
14、根据抛物线的定义，Pi（i=1，2，3，2015）到焦点的距离等于Pi到准线的距离，即|PiF|=xi+1，可得1x1+1x2+1x100=0，x1+x2+x100=100|P1F|+|P2F|+|P100F|=（x1+1）+（x2+1）+（x100+1）=（x1+x2+x100）+100=100+100=200故答案为：20014若函数最大值记为g（t），则函数g（t）的最小值为【考点】函数的最值及其几何意义【分析】化简sinx+=sinx+3+3，从而可得0sinx+3+3，从而求得g（t）=fmax（x）=，从而求值【解答】解：sinx+=sinx+3+3，1sinx1，2sinx+34
15、，3sinx+3+，0sinx+3+3，g（t）=fmax（x）=，当t=时，函数g（t）有最小值为；故答案为；二、选择题（本大题20分，共4小题，每小题5分）15下列命题中的假命题是（）A若ab0，则B若，则0a1C若ab0，则a4b4D若a1，则【考点】命题的真假判断与应用【分析】正确选项进行证明，不正确选项，举出反例即可【解答】解：对于A，ab0，则ab，正确对于B，则0，0a1，正确对于C，ab0，a4b4，正确；对于D，a=， =21，不正确，故选：D16若集合，则“xA”是“xB”成立的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与
16、充要条件的判断【分析】先分别求出集合A，B，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断【解答】解：0，0x3，A=（0，3，lg|2x3|0=lg1，|2x3|1，且2x30，1x2，且xB=（1，）（，2），“xA”是“xB”成立的必要非充分条件，故选：B17如图，在四面体ABCD，AB=CD，M，N分别是BC，AD的中点，若AB与CD所成的角的大小为60，则MN和CD所成的角的大小为（）A30B60C30或60D15或60【考点】异面直线及其所成的角【分析】取BD中点O，连结MO、NO，由已知得ONM是MN和CD所成的角（或补角），且MON=60，OM=ON，由此能求出MN和CD所
17、成的角的大小【解答】解：取BD中点O，连结MO、NO，在四面体ABCD，AB=CD，M，N分别是BC，AD的中点，AB与CD所成的角的大小为60，MO，NO，ONM是MN和CD所成的角（或所成角的补角），且MON=60，OM=ON，ONM=60，或ONM=30，MN和CD所成的角为60或30故选：C18若函数，关于x的方程f2（x）（a+1）f（x）+a=0，给出下列结论：存在这样的实数a，使得方程由3个不同的实根；不存在这样的实数a，使得方程由4个不同的实根；存在这样的实数a，使得方程由5个不同的实数根；不存在这样的实数a，使得方程由6个不同的实数根其中正确的个数是（）A1个B2个C3个D4
18、个【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由f2（x）（a+1）f（x）+a=0可解得f（x）=1或f（x）=a，作函数的图象，从而讨论求解【解答】解：f2（x）（a+1）f（x）+a=0，f（x）=1或f（x）=a，作函数的图象如下，当a=1时，方程有3个不同的实根，故正确；当a1或a1时，方程有6个不同的实根，故不正确；当1a1时，方程有5个不同的实根，故正确；综上可知，不存在这样的实数a，使得方程由4个不同的实根；故正确；故选：C三、解答题：（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19如图，椭圆+=1的左、右两个焦点分别为F1、F2，A为椭
19、圆的右顶点，点P在椭圆上且PF1F2=arccos（1）计算|PF1|的值x（2）求PF1A的面积【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）根据椭圆的性质，可得|PF1|=x，则|PF2|=10x，|F1F2|=2=8，结合已知可余弦定理构造方程，解得x值；（2）由出sinPF1F2，进而计算PF1F2的面积，可得P到x轴的距离d，结合PF1A的底边|F1A|=a+c=9，可得三角形面积【解答】解：（1）椭圆+=1的左、右两个焦点分别为F1、F2，P为椭圆上一点，|PF1|=x，则|PF2|=10x，|F1F2|=2=8，PF1F2=arccos，故cosPF1F2=，解得：x=6，（2）由PF1F
20、2=arccos，可得：sinPF1F2=，故PF1F2的面积S=（5+）（5）=，故P到x轴的距离d=，由|F1A|=a+c=9，可得PF1A的面积为：=20某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24cm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm3）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）笼具的体积等于圆柱的体
21、积减去圆锥的体积；（2）求出笼具的表面积即可，笼具的表面积包括圆柱的侧面，上底面和圆锥的侧面【解答】解：（1）设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的母线长为l，高为h1，则2r=24，解得r=12cmh1=cm笼具的体积V=r2h=355211158.9cm3（2）圆柱的侧面积S1=2rh=720cm2，圆柱的底面积S2=r2=144cm2，圆锥的侧面积为rl=240cm2故笼具的表面积S=S1+S2+S3=1104cm2故制造50个这样的笼具总造价为：元答：这种笼具的体积约为11158.9cm3，生产50个笼具需要元21已知函数f（x）=2sin2x+sin2x1（1）求函数f（x）的单调递增
22、区间；（2）设，其中0x0，求tanx0的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值【分析】（1）利用三角函数的关系结合辅助角公式进行化简，即可求函数f（x）的单调递增区间；（2）化简条件，利用同角的三角函数的关系式建立方程关系进行求解即可【解答】解：（1）f（x）=2sin2x+sin2x1=sin2xcos2x=sin（2x）由2k2x2k+，kZ，得2kx2k，kZ，得kxk+，kZ，即函数f（x）的单调递增区间是k，k+，kZ；（2）cos（+）cos（）+sin2=（coscos）2（sinsin）2+sin2=cos2sin2+sin2=，即f（）=sin（2）=sin（x
23、0）=，即sinx0cosx0=，平方得2sinx0cosx0=，0x0，cosx00，则sinx0+cosx0=，由得sinx0=，cosx0=，则tanx0=22已知nN*，数列an的前n项和为Sn，且2anSn=1（1）求证：数列an是等比数列，并求出通项公式；（2）对于任意ai、aja1，a2，an（其中1in，1jn，i、j均为正整数），若ai和aj的所有乘积aiaj的和记为Tn，试求的值；（3）设，若数列cn的前n项和为Cn，是否存在这样的实数t，使得对于所有的n都有成立，若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由【考点】数列与不等式的综合；等比数列的通项公式；数列的极限【分析
24、】（1）当n2时通过2anSn=1与2an1Sn1=1作差，进而计算可得结论；（2）通过（1）可得Tn的表达式，进而计算即得结论；（3）通过（1）可知数列cn的通项公式，利用并项相加、分n为奇数、偶数两种情况讨论即可【解答】（1）证明：2anSn=1，当n2时，2an1Sn1=1，两式相减，整理得：an=2an1（n2），又2a1S1=1，即a1=1，数列an是首项为1、公比为2的等比数列，an=2n1；（2）解：Tn=（1+2+22+2n1）（1+2+22+2n1）=4n22n+1，=1；（3）结论：存在这样的实数t，使得对于所有的n都有成立理由如下：由（1）可知，1+bn=3log2an=
25、3n3，即bn=3n4，bn+1=3n1，故cn=（1）n+1bnbn+1=（1）n+1（3n4）（3n1），cn+1=（1）n+2（3n1）（3n+2），特别地，当n为奇数时，有n+1为偶数，此时cn+cn+1=（3n4）（3n1）（3n1）（3n+2）=6（3n1），若n为偶数，则Cn=（c1+c2）+（c3+c4）+（cn1+cn）=62+8+（3n4）=n（3n2），由可知t（3）对所有正偶数n都成立，故t；若n为奇数，则Cn=Cn1+cn（n2），由可知Cn=（n1）（3n5）+（3n4）（3n1）=n23n，其中C1=2满足上式；由可得实数t的取值范围是：t，所以存在这样的实数t，
26、使得对于所有的n都有成立23已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，存在实数a、k（k0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（ax）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”（1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；（2）若函数f（x）=sinxM，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；（3）若（1，1），（2，1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1x2时，；当x=2时，f（x）=0求当2014x2016时，函数y=f（x）的零点【考点】函数与方程的综合运用【分析】（1）由题意可得（a+x）2=k（ax）2，化为（1k）x2+2a（1+k）x+（1k）
27、a2=0对xR成立，需满足条件，解方程即可判断；（2）哟题意可得sin（a+x）=ksin（ax），运用两角和差公式，化简结合余弦函数的值域即可得到所求数对；（3）由（1，1）和（2，1）都是函数f（x）的“伴随数对”，所以f（1+x）=f（1x）且f（2+x）=f（2x），可得f（x）为周期为4的函数，求得0x1，1x2，2x3，3x4，x=0，1，2，3，4的函数解析式，可得2014x2015，2015x2016，x=2014，2015，2016的解析式，即可得到所求零点【解答】解：（1）由f（x）=x2及f（a+x）=kf（ax），可得（a+x）2=k（ax）2，即为（1k）x2+2a（
28、1+k）x+（1k）a2=0对xR成立，需满足条件，解得，故k=10，a存在，所以f（x）=x2M（2）由f（x）=sinxM得：sin（a+x）=ksin（ax），sinacosx+cosasinx=k（sinacosxcosasinx），所以（1+k）cosasinx+（1k）sinacosx=0，sin（x+）=0对任意的xR都成立，只有k2+2kcos2a+1=0，即cos2a=（k+），由于|k+|2（当且仅当k=1时，等号成立），所以|cos2a|1，又因为|cos2a|1，故|cos2a|=1其中k=1时，cos2a=1，a=n+，nZ；k=1时，cos2a=1，a=n，nZ故函数f（x）的“伴随数对”为（n+，1）和（n，1），nZ（3）因为（1，1）和（2，1）都是函数f（x）的“伴随数对”，所以f（1+x）=f（1x）且f（2+x）=f（2x），于是f（x+4）=f（x），故函数f（x）是以4为周期的函数若0x1，则12x2，此时f（x）=f（2x）=cos（x），若2x3，则14x2，此时f（x）=f（4x）=cos（x），若3x4，则04x1，此时f（x）=f（4x）=cos（x），f（x）=故f（x）=当2014x2016时，函数f（x）的零点分别为2014，2015，20162016年7月30日
