1、第2课时直线与圆锥曲线的综合应用课时过关能力提升1.若直线mx+ny=4和O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1的交点个数为()A.0或1B.2C.1D.0解析:由直线mx+ny=4和O:x2+y2=4没有交点,得4m2+n22,m2+n20)上两点,O为坐标原点.若|OA|=|OB|,且AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,则直线AB的方程是()A.x=32pB.x=2pC.x=52pD.x=3p解析:方法1:设直线OA的斜率为k(k0),则由题意易知直线OB的斜率为-k,由y=kx与y2=2px可得A2pk2,2pk,则焦点Fp2,0与点A连线所在直线的斜率k
2、AF=4k4-k2,由题意,知AFOB,所以4k4-k2(-k)=-1,则k2=45,从而可知直线AB的方程为x=52p.方法2:由题意设直线AB的方程为x=a,则A(a,2pa),B(a,-2pa),由AFOB,得-2paa2paa-p2=-1,解得a=52p,所以直线AB的方程为x=52p.答案:C6.过原点的直线与椭圆x28+y24=1交于A,B两点,F1,F2为椭圆的焦点,则四边形AF1BF2的面积的最大值是_.解析:如图所示,四边形AF1BF2的面积等于SAF1F2+SBF1F2,当点A,B分别与短轴的两个端点重合时,所求四边形的面积最大,则四边形AF1BF2的面积的最大值为2122
3、cb=2bc=8.答案:87.已知椭圆x24+y22=1的两个焦点是F1,F2,点P在该椭圆上.若|PF1|-|PF2|=2,则PF1F2的面积是.解析:由椭圆的方程可知a=2,c=2,且|PF1|+|PF2|=2a=4,所以|PF1|=3,|PF2|=1,因为|F1F2|=2c=22,所以|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,即PF2F1为直角三角形,且PF2F1=90,所以PF1F2的面积S=12|F1F2|PF2|=12221=2.答案:28.已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得ACB为直角,则a的取值范围为.解析:根据题意不妨设A(m,m2),B
4、(-m,m2),C(x,x2),则由题意易知ACBC,故(x-m,x2-m2)(x+m,x2-m2)=x2-m2+(x2-m2)2=0m4-(2x2+1)m2+(x2+x4)=0,(m2-x2)(m2-x2-1)=0m2=x2+11,+).从而可知a1,+).答案:1,+)9.抛物线y2=2px(p0)上有两个动点A,B及一个定点M(x0,y0),F是抛物线的焦点,且|AF|,|MF|,|BF|成等差数列.求证:线段AB的垂直平分线经过定点(x0+p,0).证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义,知|AF|=x1+p2,|BF|=x2+p2,|MF|=x0+p2.因为|AF|
5、,|MF|,|BF|成等差数列,所以2|MF|=|AF|+|BF|,即x0=x1+x22.设线段AB的中点为(x0,t),则t=y1+y22,kAB=y1-y2x1-x2=y1-y2y122p-y222p=2py1+y2=pt,所以线段AB的垂直平分线方程为y-t=-tp(x-x0),即tx-(x0+p)+py=0.所以线段AB的垂直平分线经过定点(x0+p,0).10.已知椭圆G:x24+y2=1,过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点.(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率;(2)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值.解:(1)由题意,得a=2,b=1,所以c=a
6、2-b2=3.故椭圆G的焦点坐标为(-3,0),(3,0),离心率为e=ca=32.(2)由题意,知|m|1.当m=1时,切线l的方程为x=1,点A,B的坐标分别为1,32,1,-32,此时|AB|=3.当m=-1时,同理可得|AB|=3.当|m|1时,设切线l的方程为y=k(x-m).由y=k(x-m),x24+y2=1,得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=8k2m1+4k2,x1x2=4k2m2-41+4k2.又直线l与圆x2+y2=1相切,得|km|k2+1=1,即m2k2=k2+1.|AB|=(x2
7、-x1)2+(y2-y1)2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=(1+k2)64k4m2(1+4k2)2-4(4k2m2-4)1+4k2=43|m|m2+3.当m=3时,|AB|=3.|AB|=43|m|m2+3,m(-,-11,+).|AB|=43|m|m2+3=43|m|+3|m|2,当且仅当m=3时,|AB|=2,|AB|的最大值为2.11.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,原点O到直线AB的距离为255,该椭圆的离心率为32.(1)求椭圆的方程.(2)是否存在过点P0,53的直线l与椭圆交于M,N两个不同的点,且对l外任意一点Q,有
8、QM=4QN-3QP成立?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.解:(1)由题意,得直线AB的方程为bx+ay-ab=0(ab0).由|ab|a2+b2=255及a2-b2a=32,得a=2,b=1.所以椭圆的方程为x24+y2=1.(2)因为QM=4QN-3QP,所以PM=4PN.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,则M(0,-1),N(0,1),易知符合条件,此时直线l的方程为x=0.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+53,代入x24+y2=1,得(9+36k2)x2+120kx+64=0.由=14 400k2-256(9+36k2)0,解得k249.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-120k9+36k2,x1x2=649+36k2.由,得x1=4x2.联立消去x1,x2,得169+36k2=(24k)2(9+36k2)2,即36k29+36k2=1,无解.综上可知,存在符合条件的直线l,直线l的方程为x=0.8
