1、第2课时椭圆及其标准方程习题课课时过关能力提升1.已知ABC的两个顶点的坐标A(-4,0),B(4,0),ABC的周长为18,则顶点C的轨迹方程为()A.x225+y29=1B.y225+x29=1(y0)C.x216+y29=1(y0)D.x225+y29=1(y0)解析:顶点C到两个定点A,B的距离和为18-8=108,由椭圆的定义可得轨迹方程,但要注意ABC成立的条件.答案:D2.已知椭圆的焦点是F1,F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.抛物线D.无法确定解析:由题意,得|PF1|+|PF2|=2a(a为大于零
2、的常数,且2a|F1F2|),|PQ|=|PF2|,|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a.动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.答案:A3.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆的两个焦点,过F1的直线l交椭圆于M,N两点,若MF2N的周长为8,则椭圆的标准方程为()A.x24+y23=1B.y24+x23=1C.x216+y215=1D.y216+x215=1解析:根据椭圆定义可得MF2N的周长为4a=8,即a=2,b2=4-1=3,且焦点在x轴上,故椭圆的标准方程为x24+y23=1,故选A.答案:A4.已知两椭圆ax2+y2=8与9
3、x2+25y2=100的焦距相等,则a的值为()A.9或917B.34或32C.9或34D.917或32解析:由9x2+25y2=100,得c=83.由ax2+y2=8,得x28a+y28=1.当a1时,8-8a=649,解得a=9;当0a|AB|,所以圆心P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.所以2a=10,2c=|AB|=6.所以a=5,c=3.所以b2=a2-c2=25-9=16.所以圆心P的轨迹方程为x225+y216=1.12.如图,已知P是椭圆x24+y2=1上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点.(1)当F1PF2=60时,求F1PF2的面积;(2)当F1PF2为钝角时,求点P横坐标的取值范围.解:(1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4,F1(-3,0),F2(3,0).在F1PF2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60.由,得|PF1|PF2|=43.所以SPF1F2=12|PF1|PF2|sinF1PF2=33.(2)设点P(x,y),由已知F1PF2为钝角,得PF1PF20,即(-3-x,-y)(3-x,-y)0,又y2=1-x24,所以34x22,解得-263x263.所以点P的横坐标的取值范围是-263x263.8
