1、3.2双曲线的简单性质课时过关能力提升1.已知0k1,则双曲线x2a2-y2(a+1)2=1的离心率e的取值范围是()A.2,2B.2,5C.2,5D.(2,5)答案:B3.如果方程x2-p+y2q=1表示双曲线,那么下列椭圆中,与该双曲线共焦点的是()A.x22p+q+y2q=1B.x2p+2q+y2q=1C.x22p+q+y2p=-1D.x2p+2q+y2p=-1答案:C4.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为()A.2B.3C.3+12D.5+12解析:设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a,b0),不妨设一个焦点为
2、F(c,0),虚轴端点为B(0,b),则kFB=-bc.又渐近线的斜率为ba,所以由直线垂直关系得-bcba=-1-ba显然不符合,即b2=ac,又c2-a2=b2,故c2-a2=ac,两边同除以a2,得方程e2-e-1=0,解得e=5+12或e=1-52(舍去).答案:D5.双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共焦点,它们的离心率互为倒数,则双曲线方程为()A.y2-3x2=36B.x2-3y2=36C.3y2-x2=36D.3x2-y2=36解析:由4x2+y2=64,得x216+y264=1,c2=64-16=48,c=43,e=438=32.双曲线中,c=43,e=23=ca.a=32c
3、=6,b2=c2-a2=48-36=12.双曲线方程为y236-x212=1,即y2-3x2=36.答案:A6.设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率e2,2,则两条渐近线夹角的取值范围是_.解析:由e=ca2,2,得2ac2a,1ba=c2-a2a3.一条渐近线的倾斜角范围为4,3,故两条渐近线夹角的取值范围是3,2.答案:3,27.设F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,以线段F1F2为直径的圆交双曲线左支于A,B两点,且AF1B=120,若双曲线的离心率介于整数k与k+1之间,则k=.答案:28.已知F为双曲线C:x29-y216=1的左焦
4、点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则PQF的周长为.解析:如图,设双曲线右焦点为F1,则F1与A重合,坐标为(5,0),则|PF|=|PF1|+2a,|QF|=|QF1|+2a,所以|PF|+|QF|=|PQ|+4a=4b+4a=28,PQF的周长为28+4b=44.答案:449.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)虚轴长为24,离心率为135;(2)两顶点间的距离为6,渐近线方程为y=32x;(3)与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线,且过点M(2,-2).解:(1)设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1或y2a2-x2b2=1(a0,b0
5、).由题意,知2b=24,ca=135,且c2=a2+b2,b=12,c=13,a=5.双曲线的标准方程为x225-y2144=1或y225-x2144=1.(2)设以y=32x为渐近线的双曲线方程为x24-y29=(0).当0时,a2=4,2a=24=6.=94.当0,b0)的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1与双曲线的交点P满足MP=3PF1,试求双曲线的离心率.解:连接PF2,如图.设|F1F2|=2c,由MP=3PF1知|PF1|=14|MF1|.又MF1F2为正三角形,|PF1|=142c=12c,PF1F2=60.由余弦定理,得|PF2|=(2c)2+12c
6、2-22c12ccos60=4c2+14c2-c2=132c.根据双曲线定义,有2a=|PF2|-|PF1|=13-12c,离心率e=ca=413-1=13+13.11.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).若双曲线上存在点P,使sinPF1F2sinPF2F1=ac,求该双曲线的离心率的取值范围.解:如图,设|PF1|=m,|PF2|=n,由题意及正弦定理,得nm=ac,n=acm.又m-n=2a,m-acm=2a,即1-acm=2a,m=2acc-a.又mc+a,2acc-ac+a,即c2-2ac-a20,两边同除以a2,得e2-2e-10,1-2e1,1e1+2.6
