1、第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念一、非标准1.函数f(x)=x2-1在x0到x0+x之间的平均变化率为()A.2x0-1B.2x0+xC.2x0x+(x)2D.(x)2-x+1解析:yx=f(x0+x)-f(x0)x=(x0+x)2-1-x02+1x=2x0+x.答案:B2.将半径为R的球加热,若球的半径增加R,则球的表面积的增加量S等于()A.8RRB.8RR+4(R)2C.4RR+4(R)2D.4(R)2解析:S=4(R+R)2-4R2=8RR+4(R)2.答案:B3.若一物体的运动方程为s(t)=2-12t2,则该物体在t=6时的瞬时速度为()
2、A.8B.-4C.-6D.6解析:瞬时速度为limt0st=limt0s(6+t)-s(6)t=limt02-12(6+t)2-(-16)t=limt0-12t-6=-6.答案:C4.函数f(x)在x=a处可导,则limhaf(h)-f(a)h-a等于()A.f(a)B.f(a)C.f(h)D.f(h)解析:令h-a=x,则h=a+x,故limhaf(h)-f(a)h-a=limx0f(a+x)-f(a)x=f(a).答案:B5.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+x)-f(x0)=ax-b(x)2(a,b为常数),则()A.f(x0)=aB.f(x0)=bC.f(x0)=-bD.
3、f(x0)=0解析:f(x0)=limx0f(x0+x)-f(x0)x=limx0(a-bx)=a.答案:A6.已知曲线y=x2+1在点M处的瞬时变化率为-4,则点M的坐标为.解析:设M(x0,y0),则limx0(x0+x)2+1-(x02+1)x=limx02x0x+(x)2x=limx0(2x0+x)=2x0=-4,x0=-2.y0=4+1=5.M坐标为(-2,5).答案:(-2,5)7.已知f(x)=sin x,且limx0sin(x0+x)-sinx0x=cos x0,则f3=.解析:f(x0)=limx0sin(x0+x)-sinx0x=cos x0,f3=cos3=12.答案:1
4、28.汽车行驶的位移s和时间t之间的函数图象如图所示.在时间段t0,t1,t1,t2,t2,t3上的平均速度分别为v1,v2,v3,其三者的大小关系是.解析:v1=s(t1)-s(t0)t1-t0=kMA,v2=s(t2)-s(t1)t2-t1=kAB,v3=s(t3)-s(t2)t3-t2=kBC.由图象可知kMAkABv2v1.答案:v3v2v19.已知函数f(x)=ax2+2,且f(-1)=2,求实数a的值.解:因为f(-1)=limx0f(-1+x)-f(-1)x=limx0a(-1+x)2+2-a-2x=limx0-2ax+a(x)2x=limx0(-2a+ax)=-2a.又因为f(
5、-1)=2,即-2a=2,所以a=-1.10.蜥蜴的体温与阳光的照射有关,其关系为T(t)=120t+5+15,其中T(t)为体温(单位:),t为太阳落山后的时间(单位:min).(1)从t=0到t=10 min,蜥蜴的体温下降了多少?(2)从t=0到t=10 min,蜥蜴的体温平均变化率是多少?它代表什么实际意义?(3)求T(5),并说明它的实际意义.解:(1)在t=0和t=10时,蜥蜴的体温分别为T(0)=1200+5+15=39,T(10)=12010+5+15=23,从t=0到t=10 min,蜥蜴的体温下降了16 .(2)平均变化率Tt=T(10)-T(0)10=-1610=-1.6.它表示从t=0到t=10 min,蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 .(3)T(5)=limt0120(5+t)+5+15-1205+5-15t=limt012010+t-12t=limt0-1210+t=-1.2.它表示T=5 min时蜥蜴体温下降的速度为1.2 /min.
