1、课时跟踪训练(五十)基础巩固一、选择题1(2017辽宁师大附中期中)过点M(2,0)的直线m与椭圆y21交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k10)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为()A2 B2 C. D解析由过点M(2,0)的直线m的方程为y0k1(x2)，代入椭圆的方程，化简得(2k1)x28kx8k20，设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1x2，P的横坐标为，P的纵坐标为k1，即点P，直线OP的斜率k2，k1k2.故选D.答案D2如图，F(c,0)为椭圆1(ab0)的右焦点，A，B为椭圆的上、下顶点，P为直线AF与椭圆的交点，则直线PB的斜
2、率kPB()A. B. C. D.解析直线AF的方程为1，把yxb代入1，得x2x0，xP，yP，kPB.答案D3(2017河北唐山统考)平行四边形ABCD内接于椭圆1，直线AB的斜率k11，则直线AD的斜率k2()A. B C D2解析解法一：设AB的中点为G，由椭圆与平行四边形的对称性知O为平行四边形ABCD的对角线的交点，则GOAD.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减是，整理得k11，即.又G，所以kOG，即k2，故选B.解法二：设直线AB的方程为yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用椭圆与平行四边形的对称性可得D(x2，y2)则直线AD的斜率k21.联立消去y
3、得3x24tx2t240，则x1x2，k21.故选B.答案B二、解答题4(2017河北涞水波峰中学、高碑店三中联考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且椭圆C与圆M：x2(y3)24的公共弦长为4.(1)求椭圆C的方程；(2)已知O为坐标原点，过椭圆C的右顶点A作直线l与圆x2y2相切并交椭圆C于另一点B，求的值解(1)椭圆C与圆M的公共弦长为4，椭圆C经过点(2,3)，1，又，a2b2c2，解得a216，b212，椭圆C的方程为1.(2)已知右顶点A(4,0)，直线l与圆x2y2相切，设直线l的方程为yk(x4)，9k21，k.联立y(x4)与1，消去y，得31x232x3680.设B(x
4、0，y0)，则由根与系数的关系得4x0，4x0.5(2017吉林长春外国语学校期中)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上任意一点，且|PF1|PF2|2，它的焦距为2.(1)求椭圆C的方程(2)是否存在正实数t，使直线xyt0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2y2上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由解(1)F1，F2为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，且|PF1|PF2|2，a.2c2，c1，b1，椭圆C的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立化简得3x24tx2t220.由知x1x2，y1y2x1x22t.线
5、段AB的中点在圆x2y2上，22，解得t(负值舍去)，故存在t满足题意6已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过点M(0,1)，且与椭圆C交于A，B两点，若2，求直线l的方程解(1)设椭圆方程为1(a0，b0)，因为c1，所以a2，b，所以椭圆C的方程为1.(2)由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx1，则由得(34k2)x28kx80，且192k2960.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由2得x12x2.又所以消去x2，得2，解得k2，k.所以直线l的方程为yx1，即x2y20或x2y20.能力提升7(2017河南
6、考前预测)已知椭圆1(ab0)的焦点是F1，F2，且|F1F2|2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，求|AF2|F2B|的取值范围解(1)因为椭圆的标准方程为1(ab0)，由题意知解得a2，b.所以椭圆C的标准方程为1.(2)因为F2(1,0)，所以当直线l的斜率不存在时，A，B，则|AF2|F2B|.当直线l的斜率存在时，直线l的方程可设为yk(x1)由消去y，得(34k2)x28k2x4k2120.(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两个根，所以x1x2，x1x2.所以|AF2|x11|，|F2B|x21
7、|，所以|AF2|F2B|(1k2)|x1x2(x1x2)1|(1k2)(1k2)(1k2).当k20时，|AF2|F2B|取最大值3，所以|AF2|F2B|的取值范围为.由知|AF2|F2B|的取值范围为.8(2018河北百校联盟期中)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：1(ab0)右焦点的直线xy0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则1，1，1.由此可得1.因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又
8、由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程为1.(2)由解得或因此|AB|.由题意可设直线CD的方程为yxn，设C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3x4，x3x4.因为直线CD的斜率为1，所以|CD|x4x3|.由已知，四边形ACBD的面积S|CD|AB|.当n0时，S取得最大值，最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.9设焦点在x轴上的椭圆M的方程为1(b0)，其离心率为.(1)求椭圆M的方程；(2)若直线l过点P(0,4)，则直线l何时与椭圆M相交？解(1)因为椭圆M的离心率为，所以2，得b22.所以椭圆M的方程为1
9、.(2)过点P(0,4)的直线l垂直于x轴时，直线l与椭圆M相交过点P(0,4)的直线l与x轴不垂直时，可设直线l的方程为ykx4.由消去y，得(12k2)x216kx280.因为直线l与椭圆M相交，所以(16k)24(12k2)2816(2k27)0，解得k.综上，当直线l垂直于x轴或直线l的斜率的取值范围为时，直线l与椭圆M相交10(2017广东惠州调研)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)已知动直线yk(x1)与椭圆C相交于A，B两点若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值；已知点M，求证：为定值解(1)1(ab0)满足a2b2c2，又，b2c，解得a25，b2，则椭圆方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)将yk(x1)代入1，得(13k2)x26k2x3k250，48k2200，x1x2，AB中点的横坐标为，1，解得k.证明：由知x1x2，x1x2，y1y2k2(x11)(x21)(1k2)x1x2(x1x2)k2(1k2)k2k2(定值)
