1、上海市徐汇区2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一填空题1.函数的最小正周期为_.【答案】【解析】【分析】利用的最小正周期为，即可得出结论【详解】解：函数的最小正周期为：.故答案:.【点睛】本题主要考查三角函数的周期性，利用了的最小正周期为，属于容易题2.计算：_.【答案】3【解析】【分析】对分式分子分母同除以，即可得到所求极限；【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查数列的极限的求法，属于基础题.3.1与1的等比中项是_【答案】【解析】【分析】根据等比数列的等比中项即可求解.【详解】1与1的等比中项是.【点睛】本题主要考查了等比数列的等比中项，属于容易题.4.函数的定义域
2、是_.【答案】【解析】【分析】根据反正弦函数的定义域列不等式可解得结果.【详解】由得，所以函数的定义域是.故答案为：【点睛】本题考查了反正弦函数的定义域，属于基础题.5.若，则_.【答案】【解析】【分析】利用两角差的正切公式计算可得；【详解】解：因为，所以故答案为：【点睛】本题考查两角差的正切公式的应用，属于基础题.6.若数列满足，且，则_.【答案】10【解析】【分析】数列是公比为的等比数列，根据条件及等比数列通项公式列方程求解即可.【详解】数列是公比为的等比数列，且，则，可得.故答案为：10.【点睛】该题考查等比数列的通项公式，根据通项公式确定第几项，通常借助方程求解，属于基础题目.7.已如
3、，则_.【答案】2【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】解：因为所以，解得故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题.8.已知数列满足，且，则数列的通项公式_.【答案】【解析】【分析】结合条件利用累加法与等差数列求和公式可求出【详解】解：由题意可得：且，以上个式子相加可得，则，故答案为：【点睛】本题考查等差数列的前项和公式，以及累加法求数列的通项公式，属于基础题9.已如扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为_.【答案】【解析】【分析】根据扇形的弧长公式求出半径，再计算扇形的面积【详解】扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的半径，面积为故答案为：【点睛】本
4、题考查了扇形的弧长与面积的计算问题，是容易题10.已知数列的前项和，且不是等比数列，则常数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据题中所给的条件求得，当时，先求当是等比数列时，从而求得不是等比数列时的取值范围，求得结果.【详解】因为,当时，当是等比数列时，有，即，解得，当不是等比数列时，有，所以所求的常数的取值范围是，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用数列项与和的关系求其通项，判断数列是等比数列的条件，补集的思想求范围，属于简单题目.11.设无穷等比数列的各项和为，则首项的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由题设可得且且，由此能够推导出的取值范围.【详
5、解】由，可得且且且且故答案为：【点睛】本题考查无穷等比数列的极限存在的条件的应用，考查了数学运算能力和逻辑推理能力，属于一般题目.12.已知数列的通项公式分别为，取出数列中的不同的项从小到大排列组成一个新的数列，设数列的前项和为，则_.【答案】11388.【解析】【分析】分析题中所给的数列的通项公式，可以判断出所以数列的公共项恰为，分析两数列的公共项，对应前100项，应为的前106项减去的前6项，利用求和公式求得结果.【详解】因，所以中的项都满足为大于等于6的偶数，所以数列的公共项恰为，故答案为：11388.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有判断量数列的公共项，等差数列的求和
6、公式，等比数列求和公式，属于简单题目.二选择题13.已知函数的图象关轴对称，则实数的取值可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先利用正弦型函数的对称轴的特征，得到等量关系式，观察选项求得结果.【详解】因为函数的图象关轴对称，所以有，结合选项，可知C项满足条件，故选：C.【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有正弦型函数图象的对称轴的问题，属于基础题目.14.为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位【答案】A【解析】【分析】根据函数平移变换的方法，由即，只需向右平移个单位即
7、可.【详解】根据函数平移变换,由变换为,只需将的图象向右平移个单位，即可得到的图像，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，解题关键是看自变量上的变化量，属于中档题.15.已知数列，则（ ）A. -48B. -50C. -52D. -49【答案】B【解析】【分析】通过计算前几项可知，进而计算可得结论【详解】解：，故选：【点睛】本题考查数列的通项及前项和，找出规律是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题16.设是首项为正数的等比数列，公比为，对于以下两个命题：(甲)“”是“为递增数列”的充分非必要条件；(乙)“”是“对任意的正整数，”的必要非充分条件，下列判断正确的是（ ）
8、A. 甲和乙均为真命题B. 甲和乙均为假命题C. 甲为假命题，乙为真命题D. 甲为真命题，乙为假命题【答案】C【解析】【分析】对于甲：利用等比数列为递增数列的条件得出结论；对于乙利用等比数列的通项公式代入判断即可得出结论.【详解】由题意知，对于命题甲：当时，此时，故，所以递增数列.当为递增数列，则，故，所以“”是“为递增数列”的充要条件，所以甲为假命题；命题乙：由题意知，因不能推出，但，所以乙真命题.故选：C.【点睛】本题主要考查了利用等比数列的相关知识判断命题的真假.属于较易题.三解答题17.设等差数列的前项和为，若，.（1）求常数的值；（2）求的前项和.【答案】（1）10；（2）.【解析】
9、【分析】（1）直接根据求和公式即可求出，（2）设公差为，则，解得，再根据求和公式即可求出【详解】解：（1）因为，所以，解得，（2）设公差，则，可得，解得，【点睛】本题考查了等差数列的求和公式和通项公式，属于基础题18.已知函数.（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）求函数在区间上的所有零点之和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的单调增区间，结合函数在区间，上单调递增，即可求得实数的取值范围；（2）由，求解在上的值，即可得到函数在区间上的所有零点之和【详解】解：（1）由，得，取，可得，函数在区间，上单调递增，实数的取值范围是；（2）由，得，则或，又，即函数在
10、区间，上的所有零点是0，故零点之和为【点睛】本题考查复合函数单调性的求法，考查利用三角函数值求角，属于基础题19.已知数列满足，.（1）证明：数列是等比数列；（2）若，求数列中的最小项.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由得，进而可得，即可得出结果；（2）先写出的通项公式，讨论的情况，比较的大小即可得出结论.【详解】（1），又，是首项为1，公比为的等比数列，（2），则，时，则，时，则，即.【点睛】本题主要考查数列的递推公式，考查如何求数列中的最小项.属于中档题.20.今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现早隔离.现某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所
11、示的四边形区域沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区.经测量，边界与的长都是200米，.（1）若，求的长(结果精确到米)；（2）围成该区域至多需要多少米长度的板材？(不计损耗，结果精确到米).【答案】（1）米；（2）631米.【解析】【分析】（1）直接根据正弦定理即可求出；（2）设，利用正弦定理、三角函数的变换和三角函数的性质可求出取得最大值，进而可得结果【详解】（1）联结，则在中由，得：所以的长约为163米（2）设，则在中，由，得：所以所以当时，取得最大值，此时围成该施工区域所需的板材长度最长，为千米，约为631米【点睛】本题考查了正余弦定理，三角函数的性质的应用，考查了运算求解能力，
12、转化与化归能力，属于中档题21.对于数列，设数列的前项和为，若存在正整数，使得恰好为数列的一项，则称数列为“数列”.（1）已知数列为“数到”，求实数的值；（2）已知数列的通项公式为，试问数列是否是“数列”？若是，求出所有满足条件的正整数；若不是，请说明理由.【答案】（1）实数的值为；（2）是，或.【解析】【分析】（1）由题意，为数列中的项，对分类讨论计算可得；（2）首先求出，可判断，所以为中的某一项只能为，再分类讨论计算可得；【详解】解：（1）由题意，为数列中的项，即实数的值为；（2），所以，若为中的某一项只能为，无解；，解得；，解得；综上所述，或.【点睛】本题考查分组求和法求和，数列新定义运算，考查分类讨论思想，属于中档题.