1、2017年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，满分48分，第16题每题4分，第712题每题5分）1设集合A=1，2，3，集合B=3，4，则AB=2不等式|x1|3的解集为3若复数z满足21=3+6i（i是虚数单位），则z=4若，则=5若关于x、y的方程组无解，则实数a=6若等差数列an的前5项的和为25，则a1+a5=7若P、Q是圆x2+y22x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为8已知数列an的通项公式为，则=9若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为10设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得F1F2P是等腰三角形的点P的个数是
2、11设a1、a2、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1a2|+|a3a4|+|a5a6|=3的不同排列的个数为12设a、bR，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13函数f（x）=（x1）2的单调递增区间是（）A0，+）B1，+）C（，0D（，114设aR，“a0”是“”的（）条件A充分非必要B必要非充分C充要D既非充分也非必要15过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）A三角形B长方形C对角线不相等的菱形D六边形16如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该
3、正八边形边上的动点，则的取值范围为（）ABCD三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17（12分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小18（12分）设aR，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意xR成立，求a的取值范围19（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知ABAC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若BAD=
4、60，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）20（12分）已知双曲线（b0），直线l：y=kx+m（km0），l与交于P、Q两点，P为P关于y轴的对称点，直线PQ与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是的一个焦点，求的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式21（12分）已知函数f（x）=log2；（1）解方程f（x）=1；（2）设x（1，1），a（1，+），证明：（1，
5、1），且f（）f（x）=f（）；（3）设数列xn中，x1（1，1），xn+1=（1）n+1，nN*，求x1的取值范围，使得x3xn对任意nN*成立2017年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，满分48分，第16题每题4分，第712题每题5分）1设集合A=1，2，3，集合B=3，4，则AB=1，2，3，4【考点】并集及其运算【分析】根据集合的并集的定义求出A、B的并集即可【解答】解：集合A=1，2，3，集合B=3，4，则AB=1，2，3，4，故答案为：1，2，3，4【点评】本题考查了集合的并集的定义以及运算，是一道基础题2不等式|x1|3的解集为（2，4）【考点】
6、绝对值不等式的解法【分析】根据绝对值的性质去掉绝对值，求出不等式的解集即可【解答】解：|x1|3，3x13，2x4，故不等式的解集是（2，4），故答案为：（2，4）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，是一道基础题3若复数z满足21=3+6i（i是虚数单位），则z=23i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：21=3+6i，则，z=23i故答案为：23i【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题4若，则=【考点】运用诱导公式化简求值【分析】由已知利用诱导公式即可化简求值【解答】解：，=cos=故答案为：【点评】本题主
7、要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题5若关于x、y的方程组无解，则实数a=6【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】把方程组无解转化为两条直线无交点，然后结合两直线平行与系数的关系列式求得a值【解答】解：若关于x、y的方程组无解，说明两直线x+2y4=0与3x+ay6=0无交点则，解得：a=6故答案为：6【点评】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法，是中档题6若等差数列an的前5项的和为25，则a1+a5=10【考点】等差数列的前n项和【分析】由等差数列前n项和公式得=25，由此能求出a1+a5【解答】解：等差数列an的前5项的和为25，=25，a1+a5=
8、25=10故答案为：10【点评】本题考查等差数列中两项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用7若P、Q是圆x2+y22x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为2【考点】直线与圆的位置关系【分析】圆x2+y22x+4y+4=0，可化为（x1）2+（y+2）2=1，|PQ|的最大值为直径长【解答】解：圆x2+y22x+4y+4=0，可化为（x1）2+（y+2）2=1，P、Q是圆x2+y22x+4y+4=0上的动点，|PQ|的最大值为2，故答案为2【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础8已知数列an的通项公式为，则=【考点】等比数列的前n项和；极限及
9、其运算【分析】利用等比数列的求和公式，结合极限，即可得出结论【解答】解： =，故答案为：【点评】本题考查等比数列的求和公式，考查极限方法，属于中档题9若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为160【考点】二项式系数的性质【分析】令x=1，由题意可得：3n=729，解得n再利用二项式定理的通项公式即可得出【解答】解：令x=1，由题意可得：3n=729，解得n=6展开式的通项公式为：Tr+1=2rC6rx62r，令62r=0，解得r=3，其展开式中常数项=820=160，故答案为：160【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10设椭圆的左、右
10、焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得F1F2P是等腰三角形的点P的个数是6【考点】椭圆的简单性质【分析】如图所示，当点P与短轴的顶点重合时，F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此时有2个当F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，共有4个【解答】解：如图所示，当点P与短轴的顶点重合时，F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰F1F2P；当F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，共有4个以F2P作为等腰三角形的底边为例，F1F2=F1P，点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2
11、个满足条件的等腰F1F2P同理可得：当以F2为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰F1F2P综上可得：满足条件的使得F1F2P是等腰三角形的点P的个数为6故答案为：6【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、等腰三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11设a1、a2、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1a2|+|a3a4|+|a5a6|=3的不同排列的个数为48【考点】排列、组合的实际应用【分析】根据题意，分析可得需要将1、2、3、4、5、6分成3组，其中1和2，3和4，5和6必须在一组，进而分2步进行分析：首先分析每种2个数
12、之间的顺序，再将分好的三组对应三个绝对值，最后由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，若|a1a2|+|a3a4|+|a5a6|=3，则|a1a2|=|a3a4|=|a5a6|=1，需要将1、2、3、4、5、6分成3组，其中1和2，3和4，5和6必须在一组，每组2个数，考虑其顺序，有A22种情况，三组共有A22A22A22=8种顺序，将三组全排列，对应三个绝对值，有A33=6种情况，则不同排列的个数为86=48；故答案为：48【点评】本题考查排列、组合的应用，注意分析1、2、3、4、5、6如何排列时，能满足|a1a2|+|a3a4|+|a5a6|=312设a、bR，若函数在区间（1，2
13、）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为（0，1）【考点】函数零点的判定定理【分析】函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，画出数对（a，b）所表示的区域，求出目标函数z=f（1）a+b+1的范围即可【解答】解：函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）a+b+1z的最小值为z=a+b+1过点（1，2）时，z的最大值为z=a+b+1过点（4，4）时f（1）的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）【点评】本题是函数零点
14、的考查，涉及到规划问题的结合，属于难题二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13函数f（x）=（x1）2的单调递增区间是（）A0，+）B1，+）C（，0D（，1【考点】函数的单调性及单调区间【分析】根据二次函数的性质求出函数的递增区间即可【解答】解：函数f（x）的对称轴是x=1，开口向上，故f（x）在1，+）递增，故选：B【点评】本题考查了二次函数的性质，是一道基础题14设aR，“a0”是“”的（）条件A充分非必要B必要非充分C充要D既非充分也非必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件的定义判断即可【解答】解：由，解得：a0，故a0”是“”的充要条件，故选
15、：C【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题15过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）A三角形B长方形C对角线不相等的菱形D六边形【考点】平行投影及平行投影作图法【分析】根据截面经过几个面得到的截面就是几边形判断即可【解答】解：过正方体中心的平面截正方体所得的截面，至少与正方体的四个面相交，所以不可能是三角形，故选：A【点评】解决本题的关键是理解截面经过几个面得到的截面就是几边形16如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意求出以A1为起点
16、，以其它顶点为向量的模，再由正弦函数的单调性及值域可得当P与A8重合时，取最小值，求出最小值，结合选项得答案【解答】解：由题意，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135，且，再由正弦函数的单调性及值域可得，当P与A8重合时，最小为=结合选项可得的取值范围为故选：B【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查数形结合的解题思想方法，属中档题三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17（12分）（2017上海模拟）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大
17、小【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角【分析】（1）四棱锥A1ABCD的体积=，由此能求出结果（2）由DD1CC1，知A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1C与DD1所成角的大小【解答】解：（1）长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，四棱锥A1ABCD的体积：=4（2）DD1CC1，A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），tanA1CC1=，=异面直线A1C与DD1所成角的大小为；【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注空间思维能力的培养1
18、8（12分）（2017上海模拟）设aR，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意xR成立，求a的取值范围【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质【分析】（1）由f（x）在R上为奇函数，可得f（0）=0，解方程可得a的值，检验即可；（2）由题意可得即为恒成立，等价为，即有2（a1）a（2x+1），讨论a=0，a0，a0，由参数分离，求得右边的范围，运用恒成立思想即可得到a的范围【解答】解：（1）由f（x）的定义域为R，且f（x）为奇函数，可得f（0）=0，即有=0，解得a=1则f（x）=，f（x）=f（x），则a=1满足题意；（2）对任意xR成立，即为恒成立，等价为，即有2（a
19、1）a（2x+1），当a=0时，10恒成立；当a0时，2x+1，由2x+11，可得1，解得0a2；当a0时，2x+1不恒成立综上可得，a的取值范围是0，2【点评】本题考查函数的奇偶性的运用：求参数的值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论和参数分离的思想方法，考查运算能力，属于中档题19（12分）（2017上海模拟）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知ABAC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若BAD=60，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步
20、道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）直接利用三角函数，可得结论；（2）设BAD=2，则总造价y=0.8260tan+0.9260tan（45），换元，利用基本不等式，可得结论【解答】解：（1）M1半径=60tan3034.6，M2半径=60tan1516.1；（2）设BAD=2，则总造价y=0.8260tan+0.9260tan（45），设1+tan=x，则y=12（8x+17）84，当且仅当x=，tan=时，取等号，M1半径30，M2半径20，造价4
21、2.0千元【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，属于中档题20（12分）（2017上海模拟）已知双曲线（b0），直线l：y=kx+m（km0），l与交于P、Q两点，P为P关于y轴的对称点，直线PQ与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是的一个焦点，求的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式【考点】双曲线的简单性质【分析】（1）由双曲线（b0），点（2，0）是的一个焦点，求出c=2，a=1，由此能求出的标准方程，从而能求出的渐近线方程（2）双曲线为：x2y2=1，由定比分点坐标公式，结合已知条件能求出k的值
22、（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ=k0，则，由，得（b2k2）x24kx4b2=0，由，得（）x22k0nxn2b2=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出n关于b的表达式【解答】解：（1）双曲线（b0），点（2，0）是的一个焦点，c=2，a=1，b2=c2a2=41=3，的标准方程为： =1，的渐近线方程为（2）b=1，双曲线为：x2y2=1，P（1，0），P（1，0），=，设Q（x2，y2），则有定比分点坐标公式，得：，解得，=（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ=k0，则，由，得（b2k2）x24kx4b2=0，由，得（）x22k0nxn2b2=0，x1
23、+x2=，x1x2=，x1x2=，即，即=，=，化简，得2n2+n（4+b2）+2b2=0，n=2或n=，当n=2，由=，得2b2=k2+k02，由，得，即Q（，），代入x2=1，化简，得：，解得b2=4或b2=kk0，当b2=4时，满足n=，当b2=kk0时，由2b2=k2+k02，得k=k0（舍去），综上，得n=【点评】本题考查双曲线的渐近线的求法，考查直线的斜率的求法，考查n关于b的表达式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线、直线、韦达定理的合理运用21（12分）（2017上海模拟）已知函数f（x）=log2；（1）解方程f（x）=1；（2）设x（1，1），a（1，+），证明：
24、（1，1），且f（）f（x）=f（）；（3）设数列xn中，x1（1，1），xn+1=（1）n+1，nN*，求x1的取值范围，使得x3xn对任意nN*成立【考点】函数与方程的综合运用【分析】（1）根据对数运算性质得=2，从而解出x的值；（2）令g（x）=，判断g（x）的单调性得出g（x）的值域，根据对数的运算性质化简即可证明f（）f（x）=f（）；（3）利用（2）中的结论得出f（xn+1）与f（xn）的关系，判断f（xn）的周期，分别用f（x1）表示出f（x2），f（x3），f（x4），根据f（x）的单调性得出，从而求出f（x1）的范围，继而解出x1的范围【解答】解：（1）f（x）=log2=1
25、，=2，解得；（2）令g（x）=，则g（x）=a（1，+），g（x）0，g（x）在（1，1）上是增函数，又g（1）=，g（1）=1，1g（x）1，即（1，1）f（x）f（）=log2log2=log2log2=log2（）=log2，f（）=log2=log2f（）=f（x）f（），f（）f（x）=f（）（3）f（x）的定义域为（1，1），f（x）=log2=log2=f（x），f（x）是奇函数xn+1=（1）n+1，xn+1=当n为奇数时，f（xn+1）=f（）=f（xn）f（）=f（xn）1，f（xn+1）=f（xn）1；当n为偶数时，f（xn+1）=f（）=f（）=1f（xn），f（xn+1）=1f（xn）f（x2）=f（x1）1，f（x3）=1f（x2）=2f（x1），f（x4）=f（x3）1=1f（x1），f（x5）=1f（x4）=f（x1），f（x6）=f（x5）1=f（x1）1，f（xn）=f（xn+4），nN+设h（x）=，则h（x）=0，h（x）在（1，1）上是增函数，f（x）=log2=log2h（x）在（1，1）上是增函数x3xn对任意nN*成立，f（x3）f（xn）恒成立，即，解得：f（x1）1，即log21，02，解得：1x1【点评】本题考查了对数的运算性质，复合函数的单调性，不等式的解法，属于难题
