1、8.6椭圆第1课时椭圆及几何性质必备知识预案自诊知识梳理1.椭圆的定义(1)定义:如果F1,F2是平面内的两个定点,a是一个常数,且2a|F1F2|,则平面内满足的动点P的轨迹称为椭圆.(2)相关概念:两个定点F1,F2称为椭圆的,两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的.问题思考在椭圆的定义中,若2a=|F1F2|或2ab0)y2a2+x2b2=1(ab0)图形性质范围-axa-byb-bxb-aya对称性对称轴:坐标轴,对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为;
2、短轴B1B2的长为焦距|F1F2|=离心率e=caa,b,c的关系c2=焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形.r1=|PF1|,r2=|PF2|,F1PF2=,PF1F2的面积为S,则在椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)中,(1)当r1=r2,即点P为短轴端点时,最大;(2)S=b2tan2=c|y0|,当|y0|=b,即点P为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.()(3)关于x,
3、y的方程mx2+ny2=1(m0,n0,mn)表示的曲线是椭圆.()(4)椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)与椭圆y2a2+x2b2=1(ab0)的焦距相同.()(5)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成的PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).()2.椭圆C的长轴长是短轴长的3倍,则C的离心率为()A.63B.23C.33D.2233.椭圆C的一个焦点为F1(0,1),并且经过点P32,1,则椭圆C的标准方程为()A.x24+y23=1B.y23+x22=1C.x23+y22=1D.y24+x23=14.已知椭圆x24+y23=1的两个焦点F1,F2,M是
4、椭圆上一点,且|MF1|-|MF2|=1,则MF1F2是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形5.如图,圆O的半径是定长r,A是圆O内一个定点(不与圆心O重合),P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l与半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆关键能力学案突破考点椭圆的定义及应用【例1】(1)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x264-y248=1B.y264+x248=1C.x248-y264=1D.
5、x264+y248=1(2)已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则|PA|+|PF|的最大值为,最小值为.解题心得椭圆定义的应用技巧椭圆定义的应用主要有两个方面:一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆;二是当P在椭圆上时,与椭圆的两焦点F1,F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长,利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|,通过整体代入可求其面积等.对点训练1(1)(2020广东惠州调研)设F1,F2为椭圆x29+y25=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则|PF2|PF1|的值为()A.514B.59
6、C.49D.513(2)已知F1,F2分别是椭圆E:x225+y29=1的左、右焦点,P为椭圆E上一点,直线l为F1PF2的外角平分线,过点F2作l的垂线,交F1P的延长线于点M,则|F1M|=()A.10B.8C.6D.4考点椭圆的标准方程及应用【例2】(1)椭圆的离心率为22,F为椭圆的一个焦点,若椭圆上存在一点与F关于直线y=x+4对称,则椭圆的方程为.(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(6,1),P2(3,2),则椭圆的方程为.(3)与椭圆x24+y23=1有相同离心率且经过点P(2,-3)的椭圆方程为.(4)(2021年1月8省适应性测试)椭圆x2m2+1+
7、y2m2=1(m0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,若F1AF2=3,则m=()A.1B.2C.3D.2解题心得1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后根据条件建立关于a,b的方程组.2.若椭圆的焦点位置不确定,则要分焦点在x轴上或在y轴上两种情况求解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m0,n0且mn)的形式,避免讨论.3.椭圆的标准方程的两个应用:(1)椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)与椭圆x2a2+y2b2=(ab0,0)有相同的离心率.(2)与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)共焦点的椭圆系方程为x2a
8、2+k+y2b2+k=1(ab0,b2+k0).恰当运用椭圆系方程,可使运算简便.4.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤.(1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能;(2)设方程:根据上述判断设椭圆标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0)或y2a2+x2b2=1(ab0);(3)找关系:根据已知条件,建立关于a,b的方程组;(4)得方程:解方程组求出a,b,即可得到椭圆的标准方程.对点训练2(1)如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的标准方程为()A.x236+y21
9、6=1B.x240+y215=1C.x249+y224=1D.x245+y220=1(2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1),则椭圆的标准方程为.(3)过点(3,-5),且与椭圆y225+x29=1有相同焦点的椭圆的标准方程为.考点椭圆的几何性质及应用(多考向探究)考向1椭圆的长轴、短轴、焦距【例3】(2020河南洛阳一模)已知椭圆x211-m+y2m-3=1的长轴在y轴上,且焦距为4,则m等于()A.5B.6C.9D.10解题心得利用椭圆几何性质的注意点及技巧(1)注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时,经常用到x,y的范围、离心率的范围等不等关系.(2)利用椭圆几何性
10、质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时,要理清顶点、焦点、长轴、短轴、焦距等基本量的内在联系.对点训练3(1)(2020陕西汉中高三模拟)已知椭圆x2m+y24=1(m0)的焦距为2,则m的值等于()A.5B.5或3C.3D.8(2)已知椭圆的中心在坐标原点,长轴长是8,离心率是34,则此椭圆的标准方程是()A.x216+y27=1B.x216+y27=1或x27+y216=1C.x216+y225=1D.x216+y225=1或x225+y216=1考向2求椭圆的离心率【例4】(1)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2F1F2,PF1F
11、2=30,则椭圆C的离心率为()A.36B.13C.12D.33(2)过椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点作x轴的垂线,交C于A,B两点,直线l过C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与l存在公共点,则C的离心率的取值范围是()A.0,55B.55,1C.0,22D.22,1解题心得1.求离心率常见的方法有三种:(1)求出a,c,代入公式e=ca;(2)由a与b的关系求离心率,利用变形公式e=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2=c2c2+b2=11+b2c2求解;(3)只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=c2-a2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两
12、边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).2.解与椭圆几何性质有关的问题要注重数形结合,理清或挖掘出几何量间的关系.对点训练4已知椭圆x2a2+y2b2=1(abc0,a2=b2+c2)的左、右焦点分别为F1,F2,若以F2为圆心,b-c为半径作圆,过椭圆上一点P作此圆的切线,切点为T,且|PT|的最小值不小于32(a-c),则椭圆的离心率e的取值范围是.考向3椭圆中的范围(最值)问题【例5】设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB=120,则m的取值范围是()A.(0,19,+)B.(0,39,+)C.(0,14,+)D.(0,34,+)
