1、3.2导数在研究函数中的应用第1课时利用导数研究函数的单调性必备知识预案自诊知识梳理导数与函数的单调性的关系(1)如果在区间(a,b)内,f(x)0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都,曲线呈状态,因此f(x)在(a,b)上是函数;(2)如果在区间(a,b)内,f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.2.(1)可导函数f(x)在区间a,b上单调递增,则有f(x)0在区间a,b上恒成立.(2)可导函数f(x)在区间a,b上单调递减,则有f(x)0在区间a,b上恒成立.(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调,则y=f
2、(x)在该区间上不变号.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)在(a,b)上f(x)0,且f(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)上单调递减.()(2)若函数f(x)在定义域上都有f(x)0恒成立.()(4)在某区间上f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间上单调递增(减)的充分不必要条件.()(5)函数f(x)=sin x-2x在(0,)上单调递减.()2.(多选)(2021年1月8省适应性测试)已知函数f(x)=xln(1+x),则()A.f(x)在区间(0,+)上单调递增B.f(x)有两个零点C.曲线y=f(x)在点-12,f-12处切线的斜率
3、为-1-ln 2D.f(x)是偶函数3.函数f(x)=ex-ex,xR的单调递增区间是()A.(0,+)B.(-,0)C.(-,1)D.(1,+)4.(2020天津河北区线上测试,6)已知函数f(x)=3x+2cos x,若a=f(32),b=f(2),c=f(log27),则a,b,c的大小关系是()A.abcB.cabC.bacD.bc0或f(x)0,讨论函数f(x)=ln x+a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性.解题心得对于含参数的函数的单调性的讨论,常见的分类讨论点按讨论的先后顺序有以下三个:分类讨论点1:求导后,考虑f(x)=0是否有实数根,从而引起分类讨论;分类讨论点2:求导
4、后,f(x)=0有实数根,但不清楚f(x)=0的实数根是否落在定义域内,从而引起分类讨论;分类讨论点3:求导后,f(x)=0有实数根,f(x)=0的实数根也落在定义域内,但不清楚这些实数根的大小关系,从而引起分类讨论.对点训练2(2020全国2,文21)已知函数f(x)=2ln x+1.(1)若f(x)2x+c,求实数c的取值范围;(2)设a0,讨论函数g(x)=f(x)-f(a)x-a的单调性.考点函数单调性的应用(多考向探究)考向1比较大小或解不等式【例3】(1)(2020湖南长郡中学四模,11)若0xln3+13x+1exB.x2+1ex2x+1exln3+13C.ln3+13x+1ex
5、x2+1ex2D.ln3+13x2+1ex2x+1ex(2)(2020河北保定二模,文12)设函数f(x)是定义在R上的函数,其导函数为f(x),若f(x)+f(x)1,f(0)=2 020,则不等式exf(x)ex+2 019的解集为()A.(-,0)B.(-,0)(2 019,+)C.(2 019,+)D.(0,+)解题心得利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件,构造辅助函数,把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性,再由单调性比较大小或解不等式的问题.对点训练3(1)设f(x),g(x)在a,b上可导,且f(x)g(x),则当axg(x)B.f(x)g(x)
6、+f(a)D.f(x)+g(b)g(x)+f(b)(2)(2021年1月8省适应性测试)已知a5,且ae5=5ea,b4,且be4=4eb,c3,且ce3=3ec,则()A.cbaB.bcaC.acbD.abf(x),则不等式ex-1f(x)0(0(或f(x)0)成立”.(2)函数f(x)在区间D上单调递增(减).方法一:转化为“f(x)0(0)在区间D上恒成立”;方法二:转化为“区间D是函数f(x)的单调递增(减)区间的子集”.对点训练4(1)(2020湖南湘潭三模,文12)已知函数f(x)=12ax2+3x-3ex是减函数,则正数a=()A.9B.e2C.3D.e(2)若函数f(x)=x-
7、13sin 2x+asin x在区间(-,+)上单调递增,则实数a的取值范围是()A.-1,1B.-1,13C.-13,13D.-1,-13变式发散1将例4中的“在1,4上单调递减”改为“存在单调递减区间”,其他不变.变式发散2例4中的已知条件不变,把后面的问题改为:讨论函数h(x)=f(x)-g(x)的单调性.阅读下列四个在抽象函数中构造辅助函数,利用辅助函数解决问题的案例,思考如何构造辅助函数.你能不能从具体的实例中抽象出构造辅助函数的数学结论?【例1】已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(-1)=0,当x0时,f(x)+xf(x)0成立的x的取值范围是()A.(-,-1)(0,1)B.(
8、-1,0)(1,+)C.(-,-1)(-1,0)D.(0,1)(1,+)答案B解析构造函数F(x)=xf(x).当x0时,F(x)=f(x)+xf(x)0,F(x)单调递减.又因为f(-1)=0,所以F(-1)=0.所以当-1x0时,F(x)0,所以当-1x0.因为f(x)为奇函数,所以F(x)=xf(x)为偶函数,所以当x1时,F(x)0,所以当x1时,f(x)0.综上可知,f(x)0的解集为(-1,0)(1,+).故选B.【例2】已知函数f(x)满足f(x)+2f(x)0,则下列不等式成立的是()A.f(1)f(0)eB.f(2)ef(2)D.f(0)e2f(4)答案A解析设F(x)=2e
9、12xf(x),则F(x)=e12xf(x)+2e12xf(x)=e12xf(x)+2f(x).因为f(x)+2f(x)0,所以F(x)0,所以F(x)在定义域上单调递增.所以F(1)F(0),即2ef(1)2f(0),所以f(1)f(0)e.故选A.【例3】已知f(x)为定义在R上的可导函数,且f(x)ef(0)B.f(1)=ef(0)C.f(1)ef(0)D.f(1)与ef(0)的大小不确定答案A解析设F(x)=f(x)ex,则F(x)=f(x)-f(x)ex.因为f(x)0,所以F(x)是R上的增函数.所以F(1)F(0),即f(1)ef(0),所以f(1)ef(0).故选A.【例4】定
10、义在区间0,2上的函数f(x),f(x)是其导函数,恒有f(x)f(x)tan x成立,则()A.3f42f3B.f(1)2f6sin 1C.2f6f4D.3f60,cosx0.由f(x)f(x)tanx,得f(x)cosx-f(x)sinx0.设F(x)=f(x)sinx,则F(x)=f(x)sinx-f(x)cosxsin2xF3,即3f42f3.故选A.数学抽象的思维过程仔细观察和思考例1和例2的解法,它们有一个共同特点:采用导数的积运算法则,即f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x).例3和例4的解法,它们也有一个共同点:采用导数的商运算法则,即f(x)g(x)=f(x)g
11、(x)-f(x)g(x)g(x)2(g(x)0).由此可见,对于含有f(x)和f(x)的不等式,将不等式的右边化为0,若左边是u(x)f(x)+v(x)f(x)的形式,其中u(x)和v(x)为常见的变量或常量,则此时用导数的积运算法则;若左边是u(x)f(x)-v(x)f(x)的形式,则此时用导数的商运算法则.在例1中,f(x)+xf(x)0,根据导数的积运算法则,可以看出f(x)的导数为f(x),2的导数为1显然不成立,则不等式两边一定约去了一个不为0的变量,则猜想到y=ex,但这里还要考虑系数1和2,进一步猜想到复合函数y=e12x,给上述不等式两边同乘e12x,则从而构造出函数F(x)=
12、2e12xf(x).在例3中,由f(x)f(x),得f(x)-f(x)f(x)tanx,得f(x)cosx-f(x)sinx0,且sinx0,根据导数的商运算法则,可以看出f(x)的导数为f(x),sinx的导数为cosx,从而构造出函数F(x)=f(x)sinx.数学抽象的结论根据题设条件,并借助初等函数的导数公式和导数的基本运算法则,相应地构造函数如下.(1)对于不等式f(x)k(k0),构造函数g(x)=f(x)-kx+b.(2)对于不等式xf(x)+f(x)0,构造函数g(x)=xf(x).(3)对于不等式xf(x)-f(x)0,构造函数g(x)=f(x)x(x0).(4)对于不等式x
13、f(x)+nf(x)0,构造函数g(x)=xnf(x).(5)对于不等式xf(x)-nf(x)0,构造函数g(x)=f(x)xn(x0).(6)对于不等式f(x)+f(x)0,构造函数g(x)=exf(x).(7)对于不等式f(x)-f(x)0,构造函数g(x)=f(x)ex.(8)对于不等式f(x)+kf(x)0,构造函数g(x)=ekxf(x).(9)对于不等式f(x)+2xf(x)0,构造函数g(x)=ex2f(x).(10)对于不等式f(x)+lnaf(x)0(a0),构造函数g(x)=axf(x).(11)对于不等式f(x)+f(x)tanx0,构造函数g(x)=f(x)sinx.(12)对于不等式f(x)-f(x)tanx0,构造函数g(x)=f(x)cosx.(13)对于不等式f(x)f(x)0(f(x)0),构造函数g(x)=lnf(x).(14)对于不等式f(x)lnx+f(x)x0(x0),构造函数g(x)=f(x)lnx.
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