1、高三数学（理）一轮复习 教案 第五编 平面向量、解三角形 总第25期5.5 正弦定理、余弦定理的应用基础自测1.在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60,C点的俯角为70，则BAC= .答案 1302.从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则、的大小关系为 .答案 =3.在ABC中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且sinC=2sinAcosB,则ABC是 三角形.答案 等边4.已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得ABC=120，则A、C两地的距离为 km.答案 10 5.线段AB外有一点C，ABC=60,AB=200 km,汽车
2、以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始 h后，两车的距离最小.答案 例题精讲 例1 要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得ACB=75，BCD=45，ADC=30，ADB=45，求A、B之间的距离.解 如图所示，在ACD中，ACD=120，CAD=ADC=30，AC=CD= km.在BCD中，BCD=45，BDC=75，CBD=60.BC=.ABC中，由余弦定理，得AB2=()+()-2cos75=3+2+-=5，AB=(km).A、B之间的距离为 km. 例2沿一条小路前进，从A到B，方位角（从正北方向顺时针转
3、到AB方向所成的角）是50，距离是3 km，从B到C方位角是110，距离是3 km，从C到D,方位角是140，距离是（9+3）km.试画出示意图，并计算出从A到D的方位角和距离（结果保留根号）.解 示意图如图所示，连接AC，在ABC中，ABC=50+(180-110)=120,又AB=BC=3，BAC=BCA=30.由余弦定理可得AC= =3(km)，在ACD中，ACD=360-140-(70+30)=120, CD=3+9.由余弦定理得AD= =(km) 由正弦定理得sinCAD=. CAD=45,于是AD的方位角为50+30+45=125,所以，从A到D的方位角是125，距离为km. 例3
4、 如图所示，已知半圆的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值.解 设POB=，四边形面积为y，则在POC中，由余弦定理得PC2=OP2+OC2-2OPOCcos=5-4cos.y=SOPC+SPCD=12sin+（5-4cos）=2sin(-)+.当-=，即=时，ymax=2+.所以四边形OPDC面积的最大值为2+.巩固练习 1.某观测站C在A城的南偏西20的方向.由A城出发的一条公路，走向是南偏东40，在C处测得公路上B处有一人距C为31千米正沿公路向A城走去，走了20千米后到
5、达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走多少千米才能到达A城？解 设ACD=，CDB=.在BCD中，由余弦定理得cos=-，则sin=,而sin=sin(-60)=sincos60-cossin60=+=,在ACD中，由正弦定理得=,AD=15(千米).答 这个人再走15千米就可到达A城.2.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得BCD=，BDC=，CD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.解 在BCD中，CBD=-，由正弦定理得=，所以BC=在RtABC中，AB=BCtanACB=.3.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形
6、支架如图所示，要求ACB=60，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米.为了使广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？解 设BC=a（a1）,AB=c，AC=b，b-c=.c2=a2+b2-2abcos60，将c=b-代入得(b-)=a2+b2-ab, 化简得b(a-1)=a2-.由a1,知a-10. b=(a-1)+ +2+2,当且仅当a-1=时，取“=”号，即a=1+时，b有最小值2+.答 AC最短为(2+)米，此时，BC长为(1+)米.回顾总结 知识方法思想课后作业 一、填空题1.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成
7、60的视角，从B岛望C岛和A岛成75视角，则B、C的距离是 海里.答案 52.为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼顶处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，那么塔AB的高度是 m.答案 20(1+)3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为 km. 答案 a4.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 海里/小时.答案 5.如图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，图中
8、所标的数据a，b，c，是可供测量的数据.下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是 （填序号）.c和c和bc和b和答案 6.如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15,与灯塔S相距20海里,随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为 海里/小时.答案 20(-)7.在ABC中，若C=60，则+= .答案 18.（2008苏州模拟）在ABC中，边a,b,c所对角分别为A,B,C，且=,则A= .答案 二、解答题9.在ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，设f（x）=a2x2-（a2-b2）x-4c2.（1）f（1）=0且B-C=，求角C
9、的大小；（2）若f（2）=0，求角C的取值范围.解 （1）f（1）=0，a2-(a2-b2)-4c2=0，b2=4c2，b=2c，sinB=2sinC，又B-C=.sin(C+)=2sinC，sinCcos+cosCsin=2sinC，sinC-cosC=0，sin(C-)=0，又-C-，C=.（2）若f（2）=0，则4a2-2(a2-b2)-4c2=0，a2+b2=2c2，cosC=，又2c2=a2+b22ab，abc2，cosC，又C（0，），0C.10.（2008泰安模拟）在ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边.已知a=1,b=2,cosC=.(1)求边c的值；（2）求sin(C
10、-A)的值.解（1）c2=a2+b2-2abcosC=12+22-212=2，c=.（2）cosC=，sinC=.在ABC中，=,即=.sinA=,ab,A为锐角，cosA=.sin(C-A)=sinCcosA-cosCsinA=-=.11.如图所示，扇形AOB，圆心角AOB等于60，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设AOP=，求POC面积的最大值及此时的值.解 CPOB，CPO=POB=60-，OCP=120.在POC中，由正弦定理得=，=，CP=sin.又=，OC=sin（60-）.因此POC的面积为S（）=CPOCsin120=sin（60-）=si
11、nsin（60-）=sin(cos-sin)=2sincos-sin2=sin2+cos2-=sin(2+)-.=时，S（）取得最大值为.12.在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A（-1）n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解 如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在ABC中求出BC，再在BCD中求BCD.设缉私船用t h在D处追上走私船，则有CD=10t，BD=10t.在ABC中，AB=-1，AC=2，BAC=120,由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=(-1)2+22-2(-1)2cos120=6,BC=，CBD=90+30=120，在BCD中，由正弦定理，得sinBCD=,BCD=30.即缉私船北偏东60方向能最快追上走私船.164