1、高三数学(理)一轮复习 教案 第二编 函数与基本初等函数 总第6期2.3 函数的奇偶性 基础自测 1.(2008福建理,4)函数f(x)=x3+sinx+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为 . 答案02.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为 . 答案03.设偶函数f(x)=loga|x-b|在(-,0)上单调递增,则f(a+1) f(b+2)(用“”,“”,“”,“”填空).答案4.已知f(x)=是奇函数,则实数a的值为 .答案15.函数f(x),g(x)在区间-a,a (a0)上都是奇函数,则下列结论:f(x)-g(x)在-a,a上是奇函数
2、;f(x)+g(x)在-a,a上是奇函数;f(x)g(x)在-a,a上是偶函数;f(0)+ g(0)=0,则其中正确结论的个数是 . 答案 4例题精讲 例1判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=;(2)f(x)=log2(x+) (xR);(3)f(x)=lg|x-2|.解 (1)x2-10且1-x20,x=1,即f(x)的定义域是-1,1.f(1)=0,f(-1)=0,f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),故f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)方法一 易知f(x)的定义域为R,又f(-x)=log2-x+=log2=-log2(x+)=-f(x),f(x)是奇函数.方法二 易知f(x
3、)的定义域为R,又f(-x)+f(x)=log2-x+log2(x+)=log21=0,即f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数.(3)由|x-2|0,得x2.f(x)的定义域x|x2关于原点不对称,故f(x)为非奇非偶函数.例2已知函数f(x),当x,yR时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证:f(x)是奇函数;(2)如果xR+,f(x)0,并且f(1)=-,试求f(x)在区间-2,6上的最值.(1)证明函数定义域为R,其定义域关于原点对称,f(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x,f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0
4、.f(x)+f(-x)=0,得f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数.(2)解 方法一 设x,yR+,f(x+y)=f(x)+f(y),f(x+y)-f(x)=f(y).xR+,f(x)0,f(x+y)-f(x)0,f(x+y)x,f(x)在(0,+)上是减函数.又f(x)为奇函数,f(0)=0,f(x)在(-,+)上是减函数.f(-2)为最大值,f(6)为最小值.f(1)=-,f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2f(1)+f(2)=-3.所求f(x)在区间-2,6上的最大值为1,最小值为-3.方法二 设x10,f(x2-x1)0.f(x2)-f(x1)0.即f
5、(x)在R上单调递减.f(-2)为最大值,f(6)为最小值.f(1)=-, f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2f(1)+f(2)=-3.所求f(x)在区间-2,6上的最大值为1,最小值为-3.例3(16分)已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x).(1)求证:f(x)是周期函数;(2)若f(x)为奇函数,且当0x1时,f(x)=x,求使f(x)=-在0,2 009上的所有x的个数.(1)证明 f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=-f(x)=f(x), 2分f(x)是以4为周期的周期函数, 4分(2)解 当0x1时,f(x)
6、=x,设-1x0,则0-x1,f(-x)=(-x)=-x.f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x),-f(x)=-x,即f(x)=x. 7分故f(x)= x(-1x1) 8分又设1x3,则-1x-21,f(x-2)= (x-2), 10分又f(x-2)=-f(2-x)=-f(-x)+2)=-f(-x)=-f(x),-f(x)=(x-2),f(x)=-(x-2)(1x3). 11分f(x)= 12分由f(x)=- ,解得x=-1.f(x)是以4为周期的周期函数.f(x)=- 的所有x=4n-1 (nZ). 14分令04n-12 009,则n,又nZ,1n502 (nZ),在0,2 009上共有5
7、02个x使f(x)=- . 16分巩固练习 1.判断下列各函数的奇偶性:(1)f(x)=(x-2);(2)f(x)=;(3)f(x)=解 (1)由0,得定义域为-2,2),关于原点不对称,故f(x)为非奇非偶函数.(2)由得定义域为(-1,0)(0,1).这时f(x)=.f(-x)=-f(x)为偶函数.(3)x1,f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x).x1时,f(x)=-x+2,-x0时,f(x)0恒成立,f(3)=-3. (1)证明:函数y=f(x)是R上的减函数;(2)证明:函数y=f(x)是奇函数;(3)试求函数y=f(x)在m,n(m,nZ)上的值域.(1)证明 设x1,x2R
8、,且x10,f(x2-x1)0.f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)0.(1)求f()及f()(2)证明:f(x)是周期函数;(3)记an=f(2n+,求an.(1)解 对x1、x2,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),f(x)=f(0,x0,1.f(1)=f( f(. f(1)=a0, f((2)证明 y=f(x)的图象关于直线x=1对称,f(x)=f(1+1-x),即f(x)=f(2-x),xR.又由f(x)是偶函数知,f(-x)=f(x),xR,f(-x)=f(2-x),xR.将上式中-x用x代换,得f(x)=f(x+2),xR.这表明f(x)是R上的周期函数,且2是它的一个
9、周期.(3)解 由(1)知f(x)0,x0,1.f(=f(=f(f(又f(f(x)的一个周期是2,an=f(2n+)=f(),an=a.回顾总结 知识方法思想课后作业一、填空题1.f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的 条件. 答案 充分不必要2.设函数f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数,则a= . 答案 -13.已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(0)=2,则f(2 008)的值为 .答案 2 4.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数
10、中是奇函数的是 (填序号). y=f(|x|);y=f(-x);y=xf(x);y=f(x)+x.答案 5.(2009徐州六县一区联考)设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=2x-3,则f(-2)= . 答案 -16.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-2x,则在R上f(x)的表达式为 . 答案 f(x)=x(|x|-2)7.已知函数f(x)=g(x)+2,x-3,3,且g(x)满足g(-x)=-g(x),若f(x)的最大值、最小值分别为M、N,则M+N= .答案 48.f(x)、g(x)都是定义在R上的奇函数,且F(x)=3f(x)+5g(x)+2
11、,若F(a)=b,则F(-a)= .答案 -b+4二、解答题9.已知f(x)是实数集R上的函数,且对任意xR,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立. (1)求证:f(x)是周期函数. (2)已知f(3)=2,求f(2 004). (1)证明 f(x)=f(x+1)+f(x-1),f(x+1)=f(x)-f(x-1),则f(x+2)=ff(x+3)=ff(x+6)=ff(x)是周期函数且6是它的一个周期.(2)解 f(2 004)=f(3346)=f(0)=-f(3)=-2.10.已知f(x)是R上的奇函数,且当x(-,0)时,f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.解 f(x)
12、是奇函数,可得f(0)=-f(0),f(0)=0.当x0时,-x0).f(x)= 即f(x)=-xlg(2+|x|) (xR).11.已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,aR.(1)试判断f(x)的奇偶性;(2)若-a,求f(x)的最小值.解 (1)当a=0时,函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此时,f(x)为偶函数.当a0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(a)f(-a),f(a)-f(-a),此时,f(x) 为非奇非偶函数.(2)当xa时,f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+,a,故函数f(x)在(-,a上单调递减,从而函数f(x)在(
13、-,a上的最小值为f(a)=a2+1.当xa时,函数f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+,a-,故函数f(x)在a,+)上单调递增,从而函数f(x)在a,+)上的最小值为f(a)=a2+1.综上得,当-a时,函数f(x)的最小值为a2+1.12.设函数f(x)在(-,+)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间0,7上,只有f(1)=f(3)=0.(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性;(2)试求方程f(x)=0在闭区间-2 005,2 005上的根的个数,并证明你的结论.解 (1)由从而知函数y=f(x)的周期为T=10.又f(3)=f(1)=0,而f(7)0,故f(-3)0.故函数y=f(x)是非奇非偶函数.(2)由(1)知y=f(x)的周期为10.又f(3)=f(1)=0,f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0,故f(x)在0,10和-10,0上均有两个解,从而可知函数y=f(x)在0,2 005上有402个解,在-2 005,0上有400个解,所以函数y=f(x)在-2 005,2 005上有802个解.36