1、高三数学（理）一轮复习 教案 第五编 平面向量、解三角形 总第22期5.2 平面向量基本定理及坐标表示基础自测1.已知平面向量a=（1，1），b=(1,-1),则向量a-b= .答案 (-1,2)2.（2008 安徽理）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=(2，4)，=(1，3)，则= .答案 （-3，-5）3.若向量a=(1,1)，b=(1,-1),c=(-2,1),则c= （用a,b表示）.答案 -a-b4.已知向量a=,b=(x，1)，其中x0，若(a-2b）(2a+b)，则x的值为 .答案 45.设a=，b=，且ab，则锐角x为 .答案 例题精讲例1 设两个非零向量e1和e2
2、不共线.（1）如果=e1-e2，=3e1+2e2，=-8e1-2e2，求证：A、C、D三点共线；（2）如果=e1+e2，=2e1-3e2，=2e1-ke2，且A、C、D三点共线，求k的值.（1）证明 =e1-e2，=3e1+2e2, =-8e1-2e2, =+=4e1+e2=-(-8e1-2e2)=-,与共线，又与有公共点C，A、C、D三点共线.（2）解 =+=（e1+e2）+（2e1-3e2）=3e1-2e2，A、C、D三点共线，与共线，从而存在实数使得=,即3e1-2e2=(2e1-ke2)，由平面向量的基本定理，得，解之得=，k=.例2、已知点A（1，0）、B（0，2）、C（-1，-2）
3、，求以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.解 设D的坐标为（x,y）.(1)若是ABCD，则由=得 (0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),即(-1,2)=(-1-x,-2-y), x=0，y=-4.D点的坐标为（0，-4）（如图中的D1）.（2）若是ADBC，则由=得（x，y）-（1，0）=（0，2）-（-1，-2），即(x-1,y)=(1,4).解得x=2,y=4.D点坐标为（2，4）（如图中的D2）.（3）若是ABDC，则由=得（0，2）-（1，0）=（x,y）-(-1,-2),即(-1,2)=(x+1,y+2).解得x=-2,y=0.D点的坐标为（-2，0）（
4、如图中的D3）.综上所述，以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为（0，-4）或（2，4）或（-2，0）.例3、平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列问题：（1）若（a+kc）(2b-a)，求实数k;（2）设d=(x,y)满足(d-c)(a+b)且|d-c|=1,求d.解 （1）（a+kc）（2b-a），又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k=-. （2）d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)(a+b)且|d-c|=1,，解得或d=或d=.巩固练习1.如图所示
5、，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知=c，=d，试用c，d表示，.解 方法一 设=a，=b，则a=+=d+b=+=c+将代入得a=d+a=-c,代入得b=c+c-d即=d-c，=c-d方法二 设=a，=b.因M，N分别为CD，BC的中点，所以=b，=a，因而,即=(2d-c), =(2c-d).2.已知A（-2，4）、B（3，-1）、C（-3，-4）且=3，=2，求点M、N及的坐标.解 A（-2，4）、B（3，-1）、C（-3，-4），=（1，8），=（6，3），=3=（3，24），=2=（12，6).设M（x，y），则有=（x+3，y+4），,M点的坐标为（0，20）
6、.同理可求得N点坐标为（9，2），因此=（9，-18），故所求点M、N的坐标分别为（0，20）、（9，2），的坐标为（9，-18）.3.已知A、B、C三点的坐标分别为（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且=，=.求证：.证明 设E、F两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则依题意，得=（2，2），=（-2，3），=（4，-1），=,=，=(x,y)-(-1,0)= ,=(x,y)-(3,-1)= 回顾总结 知识方法思想课后作业 一、填空题1.已知向量a=(2,3),b=(-1,2)，若ma+nb与a-2b共线，则= .答案 -2.设a、b是不共线的两个非零向量，已知=2a+pb
7、，=a+b，=a-2b.若A、B、D三点共线，则p的值为 .答案 -13.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),则= .答案 4.（2007北京文）已知向量a=(2,4),b=(1,1),若向量b(a+b)，则实数的值是 .答案 -35.（2008辽宁文）已知四边形ABCD的顶点A（0，2）、B（-1，-2）、C（3，1），且=2，则顶点D的坐标为 .答案 6.设02，已知两个向量=（cos，sin），=（2+sin，2-cos），则向量长度的最大值是 .答案 37.（2008全国文）设向量a=(1,2),b=(2,3)，若向量a+b与向量c=(-4,-7)共线，则= .答案 28.（20
8、08菏泽模拟）已知向量m=(a-2,-2),n=(-2,b-2),mn (a0,b0)，则ab的最小值是 .答案 16二、解答题9.已知A（-2，4），B（3，-1），C（-3，-4）.设=a，=b，=c，且=3c，=-2b，（1）求：3a+b-3c；（2）求满足a=mb+nc的实数m，n.解 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).（2）mb+nc=（-6m+n，-3m+8n），解得.10.若a,b为非零向量且ab,1,2R,且120.求证：1a+2
9、b与1a-2b为共线向量.证明 设a=(x1,y1),b=(x2,y2).ab,b0,a0,存在实数m,使得a=mb,即a=(x1,y1)=(mx2,my2),1a+2b=(m1+2)x2,(m1+2)y2) =(m1+2)(x2,y2)同理1a-2b=(m1-2)(x2,y2),(1a+2b)(1a-2b)b,而b0,(1a+2b)(1a-2b).11.在ABCD中，A（1，1），=（6，0），点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.（1）若=（3，5），求点C的坐标；（2）当|=|时，求点P的轨迹.解 （1）设点C坐标为（x0，y0）,又=+=（3，5）+（6，0）=（9，5）,即（
10、x0-1,y0-1）=（9，5），x0=10，y0=6，即点C（10，6）.（2）由三角形相似，不难得出=2设P（x,y），则=-=（x-1，y-1）-（6，0）=（x-7，y-1）,=+=+3=+3（-）=3-=（3（x-1），3（y-1）-（6，0）=（3x-9，3y-3），|=|，ABCD为菱形，ACBD，即（x-7，y-1）（3x-9，3y-3）=0.（x-7）（3x-9）+（y-1）（3y-3）=0，x2+y2-10x-2y+22=0（y1）.（x-5）2+（y-1）2=4（y1）.故点P的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径的圆去掉与直线y=1的两个交点.12.A(2,3),B(5,4),C(7,10),=+.当为何值时，（1）点P在第一、三象限的角平分线上；（2）点P到两坐标轴的距离相等？解 （1）由已知=（3，1），=（5，7），则+=(3，1)+(5，7)=（3+5，1+7）.设P（x，y），则=（x-2，y-3），.点P在第一、三象限的角平分线上，x=y，即5+5=4+7,=.(2）若点P到两坐标轴的距离相等，则|x|=|y|,即|5+5|=|4+7|,=或=-.147