1、高三数学（理）一轮复习 教案 第九编 解析几何 总第49期9.7 双曲线基础自测1.已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为 .答案 =12.过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长是 .答案 14+83.已知椭圆=1（ab0）与双曲线=1（m0,n0）有相同的焦点（-c，0）和（c，0）.若c是a与m的等比中项，n2是m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率等于 .答案 4.设F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点.若双曲线上存在点A，使F1AF2=90且|AF1|=3|AF2|,则双曲线的离心率
2、为 .答案 5.（2008上海春招）已知P是双曲线=1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-y=0,设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点.若|PF2|=3，则|PF1|= .答案 5例题精讲 例1 已知动圆M与圆C1：（x+4）2+y2=2外切，与圆C2：（x-4）2+y2=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程.解 设动圆M的半径为r， 则由已知|MC1|=r+，|MC2|=r-，|MC1|-|MC2|=2.又C1（-4，0），C2（4，0），|C1C2|=8，2|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1（-4，0）、C2（4，0）为焦点的双曲线的右支.a=，c=4，b2=c2-a2=
3、14，点M的轨迹方程是=1（x）.例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）与双曲线=1有共同的渐近线，且过点（-3，2）；（2）与双曲线=1有公共焦点，且过点（3，2）.解 （1）设所求双曲线方程为=(0),将点（-3,2）代入得=,所以双曲线方程为=，即=1.(2)设双曲线方程为=1.由题意易求c=2.又双曲线过点（3，2），-=1.又a2+b2=（2）2，a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为=1.例3 双曲线C：=1 (a0,b0)的右顶点为A，x轴上有一点Q（2a，0），若C上存在一点P，使=0，求此双曲线离心率的取值范围.解 设P点坐标为（x,y），则由=0，得APPQ，则
4、P点在以AQ为直径的圆上，即+y2=又P点在双曲线上，得=1由，消去y,得 (a2+b2)x2-3a3x+2a4-a2b2=0.即（a2+b2）x2-（2a3-ab2）（x-a）=0.当x=a时，P与A重合，不符合题意，舍去.当x=时，满足题意的P点存在，需x=a,化简得a22b2,即3a22c2,.离心率e=.例4 已知双曲线C：-=1（01）的右焦点为B，过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点，试确定的范围，使=0，其中点O为坐标原点.解 设M（x1，y1），N（x2，y2），由已知易求B（1，0），当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，设M（1，y0），N（1，-y0）（y00），由
5、=0，得y0=1，M（1，1），N（1，-1）.又M（1，1），N（1，-1）在双曲线上，-=12+-1=0=，因为01,所以=.当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k(x-1).由,得-(1-)k2x2+2(1-)k2x-(1-)(k2+)=0,由题意知：-(1-)k20,所以x1+x2=,x1x2=,于是y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=,因为=0,且M、N在双曲线右支上，所以.由，知.巩固练习 1.由双曲线=1上的一点P与左、右两焦点F1、F2构成PF1F2，求PF1F2的内切圆与边F1F2的切点坐标.解 由双曲线方程知a=3,b=2,c=.如右图，根据从圆外一点引圆的两条切线
6、长相等及双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a.由于|NF1|-|NF2|=|PF1|-|PF2|=2a.|NF1|+|NF2|=2c.由得|NF1|=a+c.|ON|=|NF1|-|OF1|=a+c-c=a=3.故切点N的坐标为（3，0）.根据对称性，当P在双曲线左支上时，切点N的坐标为（-3，0）.2.已知双曲线的渐近线的方程为2x3y=0,（1）若双曲线经过P（，2），求双曲线方程；（2）若双曲线的焦距是2，求双曲线方程；（3）若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程.解 方法一 （1）由双曲线的渐近线方程y=x及点P（，2）的位置可判断出其焦点在y轴上，（a0,b0）故可设双曲线方程
7、为.依题意可得故所求双曲线方程为.(2)若焦点在x轴上，可设双曲线方程为.依题意此时所求双曲线方程为=1.若焦点在y轴上，可设双曲线方程为.依题意此时所求双曲线方程为.故所求双曲线方程为=1或.（3）若焦点在x轴上，则a=3,且=.a=3,b=2,双曲线方程为=1.若焦点在y轴上，则a=3,且=.a=3,b=,双曲线方程为.故所求双曲线方程为=1或.方法二 由双曲线的渐近线方程=0,可设双曲线方程为(0).(1)双曲线经过点P（，2），=,即=-,故所求双曲线方程为=1.(2)若0，则a2=9,b2=4,c2=a2+b2=13.由题设2c=2,则13=13,即=1.此时，所求双曲线方程为=1.
8、若0，则a2=-4,b2=-9,c2=a2+b2=-13.由题设2c=2,得=-1.此时，所求双曲线方程为=-1.故所求双曲线方程为=1或=1.（3）若0，则a2=9,由题设知2a=6.=1，此时所求双曲线方程为=1.若0，则a2=-4,由题设知2a=6,知=-.此时所求双曲线方程为.故所求双曲线方程为=1或.3.已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为,且过点P（4，-）.（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：=0；（3）求F1MF2的面积.（1）解 e=，可设双曲线方程为x2-y2=(0).过点（4，-），16-10=，即=6.双曲线方程为x2-y2
9、=6.（2）证明 方法一 由（1）可知，双曲线中a=b=,c=2,F1(-2,0),F2(2,0),=,=,=-.点（3，m)在双曲线上，9-m2=6,m2=3,故=-1,MF1MF2，=0.方法二 =（-3-2，-m），=（2-3，-m），=（3+2）（3-2）+m2=-3+m2.M点在双曲线上，9-m2=6，即m2-3=0,=0.（3）解 F1MF2的底|F1F2|=4,F1MF2的高h=|m|=,=6.4.（2008天津理，21）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线的方程是x-2y=0.(1)求双曲线C的方程;(2)若以k(k0)为斜率的直线l与双曲线C相交于
10、两个不同的点M,N且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求k的取值范围.解 （1）设双曲线C的方程为=1（a0,b0）.由题设得 解得所以双曲线C的方程为=1.（2）设直线l的方程为y=kx+m (k0).点M（x1，y1），N（x2，y2）的坐标满足方程组 将式代入式，得-=1,整理得 (5-4k2)x2-8kmx-4m2-20=0.此方程有两个不等实根，于是5-4k20,且=(-8km)2+4(5-4k2)(4m2+20)0,整理得m2+5-4k20.由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x0,y0）满足x0=,y0=kx0+m=.从而线段MN的垂直平分线的方程为y-.此
11、直线与x轴、y轴的交点坐标分别为,.由题设可得=.整理得m2=,k0.将上式代入式得+5-4k20,整理得(4k2-5)(4k2-|k|-5)0,k0.解得0|k|或|k|.所以k的取值范围是(-,- )(-,0)(0, )(,+).回顾总结 知识方法思想课后作业 一、填空题1.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m= .答案 -2.双曲线=1和椭圆=1 (a0,mb0)的离心率互为倒数，那么以a,b,m为边长的三角形是 三角形.答案 直角3.（2008重庆理）已知双曲线=1（a0,b0）的一条渐近线为y=kx（k0）,离心率e=k，则双曲线方程为 .答案 =14.已知双曲线=1的
12、右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是 .答案 5.如图，F1和F2分别是双曲线=1(a0,b0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为 .答案 1+6.设F1、F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若点P在双曲线上，且=0,则|+|= .答案 27.若双曲线x2-y2=1右支上一点P（a，b）到直线y=x的距离为，则a+b的值是 .答案 8.（2008安徽文，14）已知双曲线=1的离心率为,则n= .答案 4二、解答题9.求与双曲线=1共渐近线，且过点A（2，-3
13、）的双曲线方程.解 方法一 双曲线=1的渐近线方程为y=x，分两种情况讨论：(1)设所求双曲线方程为=1，=，A（2，-3）在双曲线上，=1联立，得方程组无解，(2)设双曲线方程为=1，=点A（2，-3）在双曲线上，=1 由联立方程组，解得a2=，b2=4.双曲线方程为：=1.方法二 由题意，设双曲线方程为=t（t0），点A（2，-3）在双曲线上，=t，t=-，双曲线方程为：=1.10.已知定点A（0，7）、B（0，-7）、C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程.解 设F（x，y）为轨迹上的任意一点，A、B两点在以C、F为焦点的椭圆上，|FA|+|CA|=2a，
14、|FB|+|CB|=2a（其中a表示椭圆的长半轴长），|FA|+|CA|=|FB|+|CB|，|FA|-|FB|=|CB|-|CA|=-=2.|FA|-|FB|=2.由双曲线的定义知，F点在以A、B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上，点F的轨迹方程是y2-=1(y-1).11.已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线x2-=1于A、B两点，且=（+）.（1）求直线AB的方程；（2）若过N的直线交双曲线于C、D两点，且=0，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？解 （1）由题意知直线AB的斜率存在.设直线AB：y=k（x-1）+2，代入x2-=1得(2-k2)x2-2k(2-k)x-(2-k
15、)2-2=0.(*)令A（x1,y1）,B(x2,y2),则x1、x2是方程（*）的两根，2-k20且x1+x2=.=（+），N是AB的中点，=1,k（2-k）=-k2+2,k=1,直线AB的方程为y=x+1.（2）将k=1代入方程（*）得x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3,不妨设A（-1，0），B（3，4）.=0，CD垂直平分AB，CD所在直线方程为y=-(x-1)+2,即y=3-x,代入双曲线方程整理得x2+6x-11=0,令C（x3,y3）,D(x4,y4)及CD中点M（x0,y0）则x3+x4=-6,x3x4=-11,x0=-3，y0=6，即M(-3,6).|CD|=|x3-x4
16、|=4；|MC|=|MD|=|CD|=2， |MA|=|MB|=2，即A、B、C、D到M距离相等，A、B、C、D四点共圆.12.直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B.（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.解 （1）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后，整理得(k2-2)x2+2kx+2=0 依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故解得k的取值范围为-2k-.(2)设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则由式得 假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0），则由FAFB得（x1-c）(x2-c)+y1y2=0.即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.整理得： (k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0把式及c=代入式化简得5k2+2k-6=0.解得k=-或k=(-2,-)（舍去）.可知k=-使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.
