1、4空间图形的基本关系与公理41空间图形基本关系的认识42空间图形的公理(第1课时)1空间图形的基本关系(1)空间点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外(2)空间点与平面的位置关系有两种：点在平面内和点在平面外2空间图形的公理(1)公理1过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面推论2：两条相交直线确定一个平面推论3：两条平行直线确定一个平面(2)公理2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)(3)公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线判断正误(正确的打
2、“”，错误的打“”)(1)直线l在平面内，可以记作：l.()(2)点A在平面外，可以记作：A.()(3)三点确定一个平面()(4)由公理3可知，两个不重合平面有两种位置关系：相交或平行()(5)直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行()答案(1)(2)(3)(4)(5)题型一 用符号语言表示点、线、面之间的位置关系【典例1】如下图所示，写出图形中的点、直线和平面之间的关系图(1)可以用符号表示为：_.图(2)可以用符号表示为：_.思路导引解答本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面，然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系，最后再用符号语言写出解
3、析图(1)中，平面与平面相交于直线AB，直线a在平面内，直线b在平面内，直线a平行于直线AB，直线b平行于直线AB.所以，图(1)可以用符号表示为： AB，a，b，aAB，bAB.图(2)中，平面与平面相交于直线MN，ABC的顶点A在直线MN上，点B在内但不在直线MN上，点C在平面内但不在直线MN上所以，图(2)可以用符号表示为：MN，ABC的三个顶点满足条件AMN，B，C，BMN，CMN.答案AB，a，b，aAB，bABMN，ABC的三个顶点满足条件AMN，B，C，BMN，CMN.(1)解答本题的关键是正确理解点、线、面表示的含义，点表示元素，线、面都是点的集合(2)符号语言是数学中常用的一
4、种语言，熟练掌握它与自然语言图形语言之间的转化，是解决几何问题的基础针对训练1如下图所示，请用符号语言表示其中的点、线、面的位置关系解(1)l，aA，aB.(2)l，a，b，alP，blP.题型二 共面问题【典例2】已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内思路导引先由两条相交直线确定一个平面，然后证明另外两条直线也在这个平面中，从而证明四条满足条件的直线共面证明已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面(1)若a，b，c三线共点于O，如图所示，Od，经过d与点O有且只有一个平面.A、B、C分别是d与a、b、c的交点，A、B、C三点在平面内由
5、公理2知a、b、c都在平面内，故a、b、c、d共面(2)若a、b、c、d无三线共点，如图所示，abA，经过a、b有且仅有一个平面，B、C.由公理2知c.同理，d，从而有a、b、c、d共面综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内证明点线共面常用的方法(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合针对训练2如图所示，已知直线abc，laA，lbB，lcC.求证：a，b，c，l共面. 证明ab，a，b确定一个平面，laA，lbB，A，B.又Al，Bl，l.bc，b，c确定
6、一个平面.同理可证l. 于是b，l，b，l，即b，l.又b与l不重合，与重合，a，b，c，l共面.题型三 点共线问题【典例3】已知ABC在平面外，ABP，ACR，BCQ，如图求证：P、Q、R三点共线. 思路导引只需证明点P、Q、R三点既在平面ABC中，又在平面中，由公理3即可证明三点共线证明证法一：ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC.由公理3可知：点P在平面ABC与平面的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面的交线上P、Q、R三点共线证法二：APARA，直线AP与直线AR确定平面APR.又ABP，ACR，平面APR平面PR.B面APR，C面APR，BC面APR.又Q面A
7、PR，Q，QPR.P、Q、R三点共线证明多点共线的方法(1)选择两点确定一条直线，然后证明其他点在这条直线上；(2)证明这些点都在两个平面内，而两平面相交，因此这些点都在两平面的交线上针对训练3如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：C1、O、M三点共线 证明由AA1CC1，则AA1与CC1确定一个平面A1C.A1C平面A1C，而OA1C，O平面A1C.又A1C平面BC1DO，O平面BC1D.O点在平面BC1D与平面A1C的交线上又ACBDM，M平面BC1D且M平面A1C.又C1平面BC1D且C1平面A1C，平面A1C平面BC1DC
8、1M，OC1M，即C1、O、M三点共线.题型四 线共点问题【典例4】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点求证：CE、D1F，DA三线交于一点思路导引先证两条直线相交一点，然后证明第三条直线也过那一点，从而证明三条直线共点证明如图，连接EF，D1C，A1B.E为AB的中点，F为AA1的中点，EF綊A1B.又A1B綊D1C，EF綊D1C，E，F，D1，C四点共面，D1F与CE相交，设交点为P.又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD，P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点又平面A1D1DA平面ABCDDA，根据公理3，可得PDA，即CE、D1F、DA
9、相交于一点线共点的思路：先由两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上针对训练4已知：平面，两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行求证：l1，l2，l3相交于一点证明如图，l1，l2，l3.l1，l2，且l1，l2不平行，l1与l2必相交设l1l2P，则Pl1，Pl2，Pl3，l1，l2，l3相交于一点P.1下列说法中正确的个数为()三角形一定是平面图形；若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；圆心和圆上两点只能确定一个平面；三条平行线最多可确定三个平面A1 B2 C3 D4解析圆心和圆上两点若在同一直线上，可确定无数个平面，故不正确；正确，故选C.答案C2“平面与
10、平面有一条公共直线l，且直线m在平面内”用符号语言可表示为_解析平面与平面有一条公共直线l，记作l，直线m在平面内，记作m.答案l，且m3下面是四个说法的叙述语(其中A，B表示点，a表示直线，表示平面)A，B，AB；A，B，AB；Aa，a，A；A，a，Aa.其中叙述方式和推理都正确的序号是_解析错应写为A，B；错应写为AB；错推理错误，有可能A；正确推理与表述都正确答案4给出下列命题：A，B，C三点确定一个平面；若直线a直线bA，则直线a与b能够确定一个平面；已知平面，直线l和点A，B，若Al，Bl，且A，B，则l.其中正确命题的序号是_解析中，只有不共线的三点才可以确定一个平面，因此错误；中
11、，由于两条直线相交，则必然确定一个平面，因此正确；中，由于点A，B既在直线l上又在平面内，即直线l上的两点在平面内，所以直线l在平面内，即l，因此正确综上，可知正确命题的序号是.答案课后作业(五)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1已知，为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是()AAa，A，Ba，BaBM，M，N，NMNCA，AADA，B，M，A，B，M，且A，B，M不共线，重合解析A由公理1知正确，B，D由公理3知正确A，A，A()由公理3可知为经过A的一条直线，而不是A，故A错误故选C.答案C2如果直线a平面，直线b平面，Ma，Nb，且Ml，Nl，那么()Al
12、BlClM DlN解析Ma，Nb，a，b，M，N.而M，N确定直线l，根据公理2可知l.故选A.答案A3下列命题中一定正确的是()A三个点确定一个平面 B三条平行直线必共面C三条相交直线必共面 D梯形一定是平面图形解析由公理1，知梯形是平面图形，故选D.答案D4下面给出了四个条件：空间三个点；一条直线和一个点；和直线a都相交的两条直线；两两相交的三条直线其中，能确定一个平面的条件有()A0个 B1个 C2个 D3个解析中空间三点共线时不能确定一个平面中点在直线上时不能确定一个平面中两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面中三条直线交于一点且不共面时不能确定一个平面答案A5一条直线和这条直线外不
13、共线的三点，最多可确定()A三个平面 B四个平面C五个平面 D六个平面解析直线和直线外的每一个点都可以确定一个平面，有三个平面，另外，不共线的三点可以确定一个平面，共可确定四个平面答案B6用符号表示“点A在直线l上，l在平面外”为_答案Al，l7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，试根据图形填空：(1)平面AB1平面A1C1_；(2)平面A1C1CA平面AC_；(3)平面A1C1CA平面D1B1BD_；(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共点为_答案(1)A1B1(2)AC(3)OO1(4)B18若直线l与平面相交于点O，A、Bl，C、D，且ACBD，则O，C，D三点的位置关系
14、是_解析ACBD，AC与BD确定一个平面，记作平面，则直线CD.lO，O.又OAB，O直线CD，O，C，D三点共线答案共线9用符号表示图中点、直线、平面之间的位置关系解直线l1，l2与平面，之间的位置关系为l1Q，l2R；直线l1，l2之间的位置关系为l1l2P；平面，之间的位置关系为a；点P，Q，R与直线l1，l2之间的位置关系为Pl1，Ql1，Rl2，Pl2，Ql2，Rl1；点P，Q，R与平面，之间的位置关系为P，P，Q，Q，R，R.10.如图所示，四边形ABCD中，已知ABCD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上证明因为A
15、BCD，所以AB，CD确定平面AC，ADH，因为H平面AC，H，由公理3可知，H必在平面AC与平面的交线上同理F、G、E都在平面AC与平面的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上应试能力等级练(时间25分钟)11设P表示一个点，a、b表示两条直线，、表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()Pa，Pa；abP，ba；ab，a，Pb，Pb；b，P，PPb.A B C D解析当aP时，Pa，P，但a，错；aP时，错；如图ab，Pb，Pa，由直线a与点P确定唯一平面又ab，由a与b确定唯一平面，但经过直线a与点P，与重合，b，故正确；两个平面的公共点必在其交线上，故正确，选D.答案D12
16、.如图，l，A，C，Cl，直线ADlD，过A、B、C三点确定的平面为，则平面、的交线必过()A点AB点BC点C，但不过点DD点C和点D解析A、B、C确定的平面与直线BD和点C确定的平面重合，故C、D，且C、D，故C，D在和的交线上答案D13给出以下说法：不共面的四点中，任意三点不共线；和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；三条两两相交的直线在同一平面内；有三个不同公共点的两个平面重合；依次首尾相接的四条线段不一定共面其中正确的个数是_. 解析易知正确；错误，因为在空间中，这两条直线可能是异面直线；错误，如正方体中，具有同一顶点的三条棱不在同一平面内；错误，三个不同的公共点可在两平面的交线上所
17、以正确命题的个数为2.答案214.如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1)画出直线l的位置；(2)设lA1B1P，求线段PB1的长解(1)延长DM交D1A1的延长线于E，连接NE，则NE即为直线l的位置(2)M为AA1的中点，ADED1ADA1EA1D1a.A1PD1N，且D1NaA1PD1Na于是PB1A1B1A1Paaa.15已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，ACBDP，A1C1EFQ.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线证明如图(1)连接B1D1，EF是D1B1C1的中位线，EFB1D1，在正方体AC1中，B1D1BD，EFBD.EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面(2)正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为，又设平面BDEF为.QA1C1，Q.又QEF，Q.则Q是与的公共点，同理P是与的公共点，PQ.又A1CR，RA1C.R，且R，则RPQ.故P，Q，R三点共线
