1、高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网第第第第 28282828 讲讲讲讲:三角函数的最值（值域）的求法三角函数的最值（值域）的求法三角函数的最值（值域）的求法三角函数的最值（值域）的求法【考纲要求】1、能利用单位圆中的三角函数线推导出+,2的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出xyxyxytan,cos,sin=的图象，了解三角函数的周期性。2、理解正弦函数、余弦函数在区间2,0的性质（如单调性、最大值和最小值以及与 x轴的交点等）。理解正切函数在区间2,2的单调性。【基础知识】1、sin,cos,tanyxyxyx=正弦函数余弦函数正切函数的图象与性质性质sinyx=cosyx=t
2、anyx=图象定义域RR,2x xkk+值域1,11,1R最值当22xk=+()k 时，max1y=；当22xk=()k 时，min1y=当()2xkk=时，max1y=；当2xk=+()k 时，min1y=既无最大值，也无最小值周期性22奇偶性sin()sin,xx=奇函数cos()cos,xx=偶函数tan()tan,xx=奇函数单调性在 2,222kk+在()2,2kkk 上是增函数；在2,2kk+在,22kk+高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网()k 上是增函数；在32,222kk+()k 上是减函数()k 上是减函数()k 上是增函数对称性对称中心()(),0kk对称轴
3、()2xkk=+，既是中心对称又是轴对称图形。对称中心(),02kk+对称轴()xkk=，既是中心对称又是轴对称图形。对称中心(),02kk 无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形。2、复合函数的单调性设()yf u=，()ug x=,xa b，,um n都是单调函数，则()yf g x=在,a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：【方法讲评】方法一利用三角函数的单调区间求函数的最值使用情景一般是区间上的三角函数的最值。解题步骤先求三角函数的单调区间，再根据单调区间求出函数的最值。例 1
4、已知函数()cos(2)2sin()sin()344f xxxx=+（）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程（）求函数()f x 在区间,12 2上的值域高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网13cos2sin 2cos222xxx=+sin(2)6x=2T2=周期【点评】（1）研究函数的问题，要想到利用函数的性质来研究它，求出了它的单调区间，就知道了函数的大致走势，就可以确定函数的最值(值域)。（2）求三角函数sin()yAwxh=+的单调区间，一般要根据复合函数的单调性来求。【变式演练 1】已知函数2()sincoscos2.222xxxf x=+（）将函数()f x
5、 化简成sin()(0,0,0,2)AxB A+的形式，并指出()f x 的周期；（）求函数17(),12f x在上的最大值和最小值例 2已知函数2()sin3sinsin2f xxxx=+（0）的最小正周期为（）求 的值；高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网（）求函数()f x 在区间20 3，上的取值范围解：（）1 cos23()sin222xf xx=+311sin2cos2222xx=+1sin 262x=+【点评】（1）对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数sin()yAwxh=+
6、的最值。（2）这种方法的关键是由72666x得到1sin 2126x，这一步的完成主要是把 2x-6 看成一个整体，通过观察正弦函数的图像得到。【变式演练 2】已知函数117(),()cos(sin)sin(cos),(,).112tf tg xx fxx fx xt=+（）将函数()g x 化简成sin()AxB+（0A，0，0,2)）的形式；（）求函数()g x 的值域.例 3已知函数(x)f22cos 2sin4cosxxx=+。高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网（）求()3f 的值；（）求()f x 的最大值和最小值。因为cos1,1,x 所以当 cos1x=时，()f
7、x 取最大值 6；当2cos3x=时，取最小值73。【点评】（1）看到形如2sinsin(0)yaxbxc a=+的函数要联想到二次函数，构造二次函数。（2）换元时一定要注意新“元”的范围，要注意命题的等价性。【变式演练 3】求函数2474sincos4cos4cosyxxxx=+的最大值与最小值。【点评】（1）由于2(sincos)12sin cos1 sin 2xxxxx=，所以当已知中同时有sincos,sincosxxxx+或者同时有 sincos,sincosxxxx时，可以考虑换元，化成一个二次函数。（2）换元时注意利用三角函数的知识求准新元的范围。【变式演练 4】求函数()sin
8、 22 2 cos()34f xxx=+的值域。【高考精选传真】1.【2012 高考真题湖南理 6】函数 f（x）=sinx-cos(x+6)的值域为A -2,2B.-3,3 C.-1,1 D.-32,32高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网2222、（2012201220122012 高考真题四川理 18181818）函数2()6cos3 cos3(0)2xf xx=+在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B、C 为图象与 x 轴的交点，且 ABC为正三角形。（）求 的值及函数()f x 的值域；（）若08 3()5f x=，且010 2(,)33x ，求0(1)f x
9、+的值。解析解析解析解析（）由已知可得：2()6cos3 cos3(0)2xf xx=+=3cos=3cos=3cos=3cosx+x+x+x+)3sin(32sin3+=xx又由于正三角形 ABCABCABCABC 的高为 2222 3，则 BC=4BC=4BC=4BC=4所以，函数482824)(=，得，即的周期Txf所以，函数32,32)(的值域为xf。6666 分3、（2012 高考真题重庆理 18）、（本小题满分 13 分（）小问 8 分（）小问 5 分）设()4cos()sincos(2)6fxxxx=+，其中.0（）求函数()yf x=的值域（）若()f x 在区间3,22 上为
10、增函数，求 的最大值。高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网（2222）因sinyx=在 每 个 闭 区 间()2,222kkkZ+上 为 增 函 数，故()3sin 21f xx=+()0 在每个闭区间(),44kkkZ+上为增函数。依题意知3,22,44kk+对某个 kZ成立，此时必有0k=，于是32424，解得16，故 的最大值为 16。4444、（2012201220122012 高 考 真 题 天 津 理15151515）（本 小 题 满 分13 分）已 知 函 数2()=sin(2+)+sin(2)+2cos133f xxxx，xR.()求函数()f x 的最小正周期；（
11、）求函数()f x 在区间,4 4 上的最大值和最小值.（2）322sin(2)11()24444424xxxf x+当 2()428xx+=时，()2maxf x=，当 2()444xx+=时，min()1f x=【反馈训练】1、函数()cos 22sinf xxx=+的最小值和最大值分别为（）高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网A.3，1B.2，2C.3，32D.2，322.函数2()sin3sincosf xxxx=+在区间,4 2 上的最大值是()A.1B.132+C.32D.1+33、已知函数 f(x)sin2x，g(x)cos(2x+6)，直线 xt（tR）与函数 f(
12、x)、g(x)的图像分别交于 M、N 两点当 t4时，求|MN|的值求|MN|在 t0,2时的最大值5设函数 f(x)2cos2xsin2xa(aR)(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当 x0，6时，f(x)的最大值为 2，求 a 的值，并求出 yf(x)(xR)的对称轴方程6.函数 f(x)Asin(x)(xR，A0，0,02)的部分图像如图所示(1)求 f(x)的解析式；(2)设 g(x)f(x12)2，求函数 g(x)在 x6，3上的最大值，并确定此时 x 的值高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网7求当函数 ysin2xacosx12a32的最大值为 1
13、 时 a 的值8.求函数 yyyysinsinsinsin xxxxcoscoscoscos xxxxsinsinsinsin xxxxcoscoscoscos x.x.x.x.的值域。9是否存在实数 a，使得函数 y=sin2x+acosx+85 a 23 在闭区间0，2 上的最大值是 1？若存在，求出对应的 a 值；若不存在，试说明理由【变式演练详细解析】【变式演练 1 详细解析】()11cos1323()sin2(sincos)sin()2222242xf xxxxx+=+=+=+.故()f x 的周期为 2k kZ 且 k0.()由x 1217，得35445+x.因为 f(x)23)4
14、sin(22+x在45,上是减函数，在1217,45上是增函数.故当 x=45 时，f(x)有最小值223+；而 f()=2，f(1217)466+2，所以当 x=时，f(x)有最大值2.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网（）由1712x，得 55.443x+【变式演练 3 详细解析】2474sincos4cos4cosyxxxx=+()2272sin 24cos1 cosxxx=+2272sin 24cossinxxx=+272sin 2sin 2xx=+()21 sin 26x=+由于函数()216zu=+在11，中的最大值为()2max1 1610z=+=最小值为()2mi
15、n1 166z=+=故当sin 21x=时 y 取得最大值10，当sin 21x=时 y 取得最小值 6【反馈训练详细解析】高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网1、C【解析】：()221312sin2sin2 sin22fxxxx=+=+当1sin2x=时，()max32fx=，当sin1x=时，()min3fx=；故选；4.【解析】：（I）3133()cos2sin 2sin(2)22232f xxxxa=+=+依题意得126322+=（II）由（I）知，3()sin()32f xx=+又当5,36x 时，70,36x+，故1sin()123x+，从而()f x 在区间 536，
16、上的最小值为13322a=+，故31.2a+=(3)ysin xcos xsin xcos x(sin xcos x)212 2sin(x4)sin2(x4)2sin(x4)12sin(x4)2221，所以当 sin(x4)1 时，y 取最大值 1 21212 2.当 sin(x4)22时，y 取最小值1，该函数值域为1，12 25.【解析】：(1)f(x)2cos2xsin2xa高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网1cos2xsin2xa 2sin(2x4)1a，即 x8时，sin(2x4)1.所以 f(x)max 21a2a1 2.令 2x4k2则 xk28(kZ)为 f(x)的对称轴6.【解析】：(1)由图知 A2，T43，则243，32.又 f(6)2sin32(6)2sin(4)0，sin(4)0.02，44=+=若时 即则当时
