1、3.1.2.1椭圆的简单几何性质 知识要点要点椭圆的简单几何性质标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)焦点位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形范围_x_，_y_y_，_x_对称性关于_轴、_轴对称，关于原点对称 顶点坐标A1_，A2_，B1_，B2_A1_，A2_，B1_，B2_轴长长轴长|A1A2|_，短轴长|B1B2|_离心率e_(0eb0，ac0)如图 a，b，c 恰好构成一个直角三角形明确了 a，b 的几何意义，可得“已知椭圆的四个顶点求焦点”的几何作法只要以短轴的端点 B1(或 B2)为圆心，以 a 为半径作弧，交长轴于两点，这两点就是焦点(3)计算离心
2、率常见形式，e ca1b2a2.答疑解惑你能运用三角函数的知识解释，为什么 eca越大，椭圆越扁平？eca越小，椭圆越接近于圆吗？提示：可用椭圆的离心率与椭圆的特征三角形的关系解释如图，在 RtOB2F2 中，sin OB2F2 的值即椭圆的离心率，即 esinOB2F2.可以看出：eca越大，在 RtOF2B2 中，sin OB2F2ca越大，则OB2F2越大，椭圆越扁平；eca越小，sin OB2F2ca越小，则OB2F2 越小，椭圆越接近于圆基础自测1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)椭圆x2a2y2b21(ab0)的长轴长等于 a.()(2)椭圆的离心率 e 越小，椭圆越圆(
3、)(3)椭圆x24y291 的离心率 e 52.()(4)椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为(0，69)()2椭圆 6x2y26 的长轴的端点坐标是()A(1,0)，(1,0)B(6,0)，(6,0)C(6，0)，(6，0)D(0，6)，(0，6)解析：椭圆方程可化为 x2y261，则长轴的端点坐标为(0，6)故选 D.答案：D3已知椭圆x210m y2m21，长轴在 y 轴上若焦距为 4，则 m 等于()A8 B7C5 D4解析：由题意得 m210m 且 10m0，于是 6m0)的离心率为12，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点
4、坐标解析：椭圆方程可化为x24y2m1.(1)当 0m4 时，a m，b2，c m4，eca m4m 12，解得 m163，a4 33，c2 33，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为8 33，4，焦点坐标为 F10，2 33，F20，2 33，顶点坐标为 A10，4 33，A20，4 33，B1(2,0)，B2(2,0)方法技巧长轴长、短轴长、焦距不是 a，b，c，而应是 a，b，c 的两倍用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式(2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出 a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质题型二根据椭圆几何性质求其标准方程例 1求适合下列条件的椭
5、圆的标准方程(1)长轴长是 10，离心率是45.(2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 6.(3)经过点 M(1,2)，且与椭圆x212y261 有相同离心率的椭圆的标准方程解析：(1)设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)或y2a2x2b21(ab0)，由已知得 2a10，故 a5.eca45，c4，b2a2c225169.椭圆的标准方程为x225y291 或y225x291.(2)依题意可设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)如图所示，A1FA2 为一等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2 的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，则 cb3
6、，故 a2b2c218，故所求椭圆的标准方程为x218y291.(3)方法一：由题意知 e21b2a212，所以b2a212，即 a22b2，设所求椭圆的方程为 x22b2y2b21 或 y22b2x2b21.将点 M(1,2)代入椭圆方程得12b2 4b21 或 42b2 1b21，解得 b292或 b23.故所求椭圆方程为x29y2921 或y26x231.方法二：设所求椭圆方程为 x212y26 k1(k10)或 y212x26 k2(k20)，将点 M 的坐标代入可得 11246k1 或 41216k2，解得 k134，k212，故x212y2634或y212x2612，即所求椭圆的标
7、准方程为x29y2921 或y26x231.方法技巧利用椭圆的几何性质求标准方程的思路(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：确定焦点位置；设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有 b2a2c2，e ca等(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个变式训练 1(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为 18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为()A.x
8、29y2161B.x225y2161C.x216y2251D.x216y291解析：(1)由题意，得2a2b18，c3，a2b2c2，解得a5，b4.因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以椭圆的标准方程为x225y2161.答案：(1)B(2)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是_解析：(2)由 2a18，得 a9.又因为 2c183 6，所以 c3.所以 b2a2c281972.所以所求椭圆的标准方程为x281y2721.答案：(2)x281y2721(3)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点
9、，椭圆的长轴长为 6，且 cos OFA23，则椭圆的标准方程是_解析：(3)因为椭圆的长轴长是 6，cos OFA23，所以点 A 不是长轴的端点(是短轴的端点)所以|OF|c，|AF|a3，所以c323，所以 c2，b232225，所以椭圆的方程是x29y251 或x25y291.答案：(3)x29y251 或x25y291题型三椭圆的离心率问题探究 1定义法求椭圆的离心率例 2椭圆x2a2y2b21(ab0)的一个焦点为 F，该椭圆上有一点A，满足OAF 是等边三角形(O 为坐标原点)，则椭圆的离心率是_解析：如图，设 F(c,0)，由OAF 是等边三角形，得 Ac2，3c2，点 A 在
10、椭圆上，有 c24a23c24b21，在椭圆中有 a2b2c2，联立，得 c2(42 3)a2，即 c(31)a，则其离心率 eca 31答案：31探究 2构造齐次方程例 3设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是 C 上的点，PF2F1F2，PF1F230，则 C 的离心率为()A.36B.13C.12D.33解析：解法一 由题意可设|PF2|m，结合条件可知|PF1|2m，|F1F2|3m，故离心率 eca2c2a|F1F2|PF1|PF2|3m2mm 33.解法二 由 PF2F1F2 可知 P 点的横坐标为 c，将 xc 代入椭圆方程可解得 yb2a
11、，所以|PF2|b2a.又由PF1F230，可得|F1F2|3|PF2|，故 2c 3b2a，变形可得 3(a2c2)2ac，等式两边同除以 a2，得 3(1e2)2e，解得 e 33 或 e 3(舍去)答案：D探究 3求椭圆离心率的取值范围例 4若椭圆x2a2y2b21(ab0)上存在一点 M，使得F1MF290(F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点)，求椭圆的离心率 e 的取值范围方法一：由F1MF290 联想到MF1 MF2 0，结合椭圆方程求出点 M 的横坐标，利用该坐标的范围构造关于 e 的不等式求解；方法二：设点 M 的坐标是(x0，y0)，由已知可知，该点既在椭圆上也在圆 x20y
12、20c2 上，从而可求出 x 20的范围，再利用 x 20的范围构造关于 e 的不等式求解解析：解法一：设 M(x0，y0)，则|x0|a.F1(c,0)，F2(c,0)，MF1(cx0，y0)，MF2(cx0，y0)F1MF290，MF1 MF2 0，x20y20c2.又点 M(x0，y0)在椭圆上，y20b2b2a2x20，x20y20b2c2a2x20b2，a2)，即 c2b2，a2)，c2b2a2c2，c2a212，e 22.又 0e1，故椭圆的离心率 e 的取值范围是22，1.解法二：设点 M 的坐标是(x0，y0)，则x20a2y20b21，x20y20c2，消去 y0，得 x20
13、a2c2b2c2.因为 0 x20a2，所以a2c2b2c20，a2c2b2c2a2.由得 c2b2，即 c2a2c2，所以 a22c2，所以 e2c2a212.又 0e1，所以 e22，1由得 c2b2b0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为()A.14B.13C.12D.23解析：(1)由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形的面积相等得122cb12(2a2c)b3得，a2c，即 eca12，故选 C.答案：(1)C(2)设 F1，F2 分别为椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，若直线 xa2c 上存在点 P，使线段
14、PF1 的中垂线过点 F2，则椭圆离心率的取值范围是()A（0，22B(0，33 C.22，1)D.33，1)解析：(2)由垂直平分线的性质知|F1F2|PF2|，设直线 xa2c 与x 轴的交点为 M，则|PF2|F2M|，即|F1F2|F2M|，则 2ca2c c，即 3c2a2，所以 e2c2a213，又 0e1，所以 33 e1.故选 D.答案：(2)D(3)已知 F1，F2 是椭圆的两个焦点，过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，若ABF2 是正三角形，则该椭圆的离心率是_解析：(3)不妨设椭圆的焦点在 x 轴上，因为 ABF1F2，且ABF2 为正三角形，所以在
15、RtAF1F2 中，AF2F130，令|AF1|x，则|AF2|2x，所以|F1F2|AF2|2|AF1|2 3x2c，再由椭圆的定义，可知|AF1|AF2|2a3x，所以 e2c2a 3x3x 33.答案：(3)33易错辨析忽视隐含条件致错例 5若直线 ykx1 与椭圆x25 y2m1 恒有公共点，则实数 m的取值范围是_解析：由于直线 ykx1 过定点(0,1)，故点(0,1)恒在椭圆内或椭圆上，所以 m1，)又因为 m5，所以实数 m 的取值范围是1,5)(5，)答案：1,5)(5，)【易错提醒】易错原因纠错心得本题容易忽视隐含条件 m5 致错，错误答案为1，).注意圆不是椭圆的特殊情况，解答此类问题时，一定要排除圆的情况.谢谢 观 看
