1、第六章6.26.2.4A组素养自测一、选择题1已知ABC中，a，b，若ab0，则ABC是(A)A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D任意三角形解析由ab0易知a，b为钝角.2对于向量a、b、c和实数，下列命题中真命题是(B)A若ab0，则a0或b0B若a0，则0或a0C若a2b2，则ab或abD若abac，则bc解析A中，若ab0，则a0或b0或ab，故A错；C中，若a2b2，则|a|b|，C错；D中，若abac，则可能有ab，ac，但bc，故只有选项B正确，故选B3若向量a与b的夹角为60，|b|4，(a2b)(a3b)72，则|a|(C)A2B4C6D12解析(a2b)(a3b)72，a2
2、ab6b272|a|2|a|b|cos606|b|272|a|22|a|240又|a|0，|a|64已知非零向量a，b满足|b|4|a|，且a(2ab)，则a与b的夹角为(C)ABCD解析由题意，得a(2ab)2a2ab0，即ab2a2，所以cosa，b，所以a，b，故选C5P是ABC所在平面上一点，若，则P是ABC的(D)A外心B内心C重心D垂心解析由得()0，即0，PBCA.同理PABC，PCAB，P为ABC的垂心.二、填空题6已知e1、e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2，若ab0，则实数k的值为_.解析由ab0得(e12e2)(ke1e2)0整理，得k2(12k)co
3、s0，解得k.7(2020全国卷理)设a，b为单位向量，且|ab|1，则|ab|_.解析因为a，b为单位向量，所以|a|b|1，所以|ab|1，解得2ab1，所以|ab|.8已知向量a，b，其中|a|，|b|2，且(ab)a，则|2ab|_2_.解析设向量b和a的夹角是，因为|a|，|b|2，且(ab)a，所以(ab)aa2ab2ab22cos 0，所以cos ，所以|2ab|24a2b24ab84424，故|2ab|2三、解答题9已知|a|10，|b|12，a与b的夹角为120，求：(1)ab；(2)(3a)；(3)(3b2a)(4ab).解析(1)ab|a|b|cos1012cos1206
4、0(2)(3a)(ab)(60)36(3)(3b2a)(4ab)12ba3b28a22ab10ab3|b|28|a|210(60)3122810296810已知向量a与b的夹角为120，|a|2，|b|3，m3a2b，n2akb.若mn，求实数k的值.解析因为向量a与b的夹角为120，|a|2，|b|3，所以ab|a|b|cos 120233又mn且m3a2b，n2akb，所以mn(3a2b)(2akb)6a2(3k4)ab2kb20所以622(3k4)(3)2k320，所以k.B组素养提升一、选择题1(多选)下列命题中正确的是(ACD)A对于任意向量a、b，有|ab|a|b|B若ab0，则a
5、0或b0C对于任意向量ab，有|ab|a|b|D若a、b共线，则ab|a|b|解析当ab时，ab0也成立，故B错误，A、C、D均正确.2定义：|ab|a|b|sin，其中为向量a与b的夹角，若|a|2，|b|5，ab6，则|ab|等于(B)A8B8C8或8D6解析由|a|2，|b|5，ab6，得cos，sin，|ab|a|b|sin2583(2020全国卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是(A)A(2,6)B(6,2)C(2,4)D(4,6)解析如图，的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是(1,3)，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与
6、在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是(2,6)，故选A4已知ABC中，若 2，则ABC是(C)A等边三角形B锐角三角形C直角三角形D钝角三角形解析解法1：由 2，得()()，即，0，()0，则0，即，所以ABC是直角三角形，故选C解法2：由条件得2()2，0，.二、填空题5若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_.解析|a|3|b|a2b|，|a|29|b|2(a2b)2|a|24|b|24ab，ab|b|2，cosa，b.6如图所示，已知圆O为ABC的外接圆，AB6，BC7，CA8，则_.解析|cos(180BAO)，|cos(180BAO)|cosBAO|，|
7、2，同理，|2，|2，(627282).三、解答题7已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61(1)求|ab|；(2)求向量a在向量ab方向上的投影向量的长度.解析(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261|a|4，|b|3，ab6，|ab|.(2)a(ab)|a|2ab42610，向量a在向量ab上的投影向量的长度为.8在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，以点A为圆心，r为半径作圆，如图所示，其中PQ为圆A的直径，试判断P，Q在什么位置时，有最大值.解析，()()()2r2()r2|cosBACr2bccosBACr2.当与同向时，的最大值为|ra，即当与共线且同向时，有最大值bccosBACarr2
