1、6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示素养目标定方向素养目标学法指导1了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.(逻辑推理)2理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则.(数学运算)1平面向量运算的坐标表示依然可以类比数的运算来学习，注意坐标运算的二维特征.2由于使用了正交分解，因此平面向量的坐标运算其实是同名坐标之间的运算.必备知识探新知知识点平面向量的正交分解及坐标表示1平面向量正交分解的定义把一个向量分解为两个_垂直_的向量，叫做把向量作正交分解.2平面向量的坐标表示(1)定义：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个_单位向量_
2、分别为i，j，取i，j作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a_(x，y)_.我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y).此式叫做向量a的坐标表示.(2)特殊向量的坐标：i(1,0)，j(0,1)，0(0,0).知识解读点的坐标与向量坐标的区别和联系点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向，向量仅由大小和方向决定，与位置无关.1联系：(1)当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标.(2)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同.即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab注意：相等向量的
3、坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同.2区别：(1)书写不同，如a(1,2)，A(1,2).(2)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一个有序实数对，由于向量可以平移，故以这个有序实数对为坐标的向量有无穷多个.因此，符号(x，y)在平面直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量.为了加以区分，在叙述中，常说点(x，y)或向量(x，y).3平面向量的坐标运算设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的_和_ab_(x1x2，y1y2)_减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量
4、相应坐标的_差_ab_(x1x2，y1y2)_数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的_相应坐标_a_(x1，y1)_向量坐标公式一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则_(x2x1，y2y1)_关键能力攻重难题型探究题型一平面向量的坐标表示典例1如图，在平面直角坐标系xOy中，OA4，AB3，AOx45，OAB105，a，b.四边形OABC为平行四边形.(1)求向量a，b的坐标.(2)求向量的坐标.(3)求点B的坐标.解析(1)作AMx轴于点M，则OMOAcos 4542，AMOAsin 4542，所以A(2，2)，
5、故a(2，2).因为AOC18010575，AOy45，所以COy30.又OCAB3，所以C，所以，即b.(2).(3)(2，2).B归纳提升求向量坐标的三个步骤： 【对点练习】已知向量a在射线yx(x0)上，且起点为坐标原点O，又|a|，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，则向量a的坐标为(A)A(1,1)B(1，1)C(，)D(，)解析由题意，a(cos 45)i(sin 45)jij(1,1).题型二平面向量的坐标运算典例2已知平面上三个点A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)，求、.分析先计算出，的坐标，再进行向量的线性运算.解析A(4,6)、B(7,5)、C(1
6、,8)(7,5)(4,6)(3，1)；(1,8)(4,6)(3,2)；(3，1)(3,2)(0,1)；(3，1)(3,2)(6，3).归纳提升平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比实数的运算进行.【对点练习】(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量(A)A(7，4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)(2)已知A(1，2)，B(2,1)，C(3,2)和D(2,3)，试用坐标来表示.解析(1)解法1：设C(x，y
7、)，则(x，y1)(4，3).即x4，y2，故C(4，2)，则(7，4)，故选A解法2：(7，4).(2)(3,5)，(4,2)，(5,1)，(3,5)(4,2)(5,1)(12，8).题型三平面向量坐标运算的综合应用典例3已知平面上三点的坐标分别为A(2,1)，B(1，3)，C(3,4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点.分析利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，进而求出D点的坐标.解析设点D的坐标为(x，y)，当平行四边形为ABCD时，由(1,2)，(3x，4y)，且，得D(2,2).当平行四边形为ACDB时，由(1,2)，(x3，y4)，且，得D(4,6).当平行
8、四边形为ACBD时，由(5,3)，(1x,3y)，且，得D(6,0)，故点D的坐标为(2,2)或(4,6)或(6,0).归纳提升平行四边形顶点坐标的求解(1)已知平行四边形的三个顶点的坐标求第四个顶点的坐标主要是利用平行四边形的对边平行且相等这个性质，则其对应的向量相等，即向量的坐标相等.(2)当平行四边形的顶点顺序未确定时，要分类讨论.【对点练习】如果将绕原点O逆时针方向旋转120得到，则的坐标是(D)ABC(1，)D解析因为所在直线的倾斜角为30，绕原点O逆时针方向旋转120得到所在直线的倾斜角为150，所以A，B两点关于y轴对称，由此可知B点坐标为，故的坐标是.易错警示误把向量的坐标当作
9、点的坐标典例4已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若(R)，试求当点P在第三象限时，的取值范围.错解由已知得(52,43)(72,103)(3,1)(5,7)(35，17)，又点P在第三象限，所以所以，故的取值范围为(，).错因分析错解中误把向量的坐标当作点P的坐标，混淆了点的坐标与向量的坐标的概念.正解同错解得(35，17)，设点P(x，y)，则(x2，y3).于是(x2，y3)(35，17)，即又点P在第三象限，所以解得1所以的取值范围为(，1).误区警示向量的坐标反映的是向量的长度和向量的方向，与终点坐标无关，只有当向量的始点是坐标原点时，向量的坐标与终点的坐标才是一致的.【对点练习】已知点O是ABC内一点，AOB150，BOC90，设a，b，c且|a|2，|b|1，|c|3，求向量，的坐标.(以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系)解析建立如图所示的平面直角坐标系.因为|1，AOB150，所以B(cos30，sin30)，所以B(，).因为|3，BOC90，所以C(3sin30，3cos30)，即C(，).所以(，)(，)(，)，易知A(2,0)，所以(，)(2,0)(2，).
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