1、2016年上海市延安中学高考数学三模试卷（理科）一、填空题：本题满分56分，每小题4分1（x+1）5的展开式中x2项的系数为2已知集合A=x|x23x0，xN*，则用列举法表示集合A=3若=0，则x=4函数f（x）=x2，（x2）的反函数是5在极坐标系中，已知点P（1，）和Q（2，），则|PQ|=6已知双曲线=1的一条渐近线过点（4，3），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=20x的准线上，则双曲线的方程为7在复平面上，已知复数z1与z2的对应点关于直线y=x对称，且满足z1z2=9i，则|z1|=8设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是
2、9将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是10随机变量的取值为0，1，2，若P（=0）=，E（）=1，则D（）=11已知函数f（x）=3sinx+4cosx，若对任意xR均有f（x）f（），则tan的值等于12如图所示，求一个棱长为的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体切去四个角后得到，类比这种分法，一个相对棱长都相等的四面体ABCD，其三组棱长分别为AB=CD=，AD=BC=，AC=BD=，则此四面体的体积为13已知等差数列an的公差d（0，1），且=1，若a1（，）时，则数列an的前n项和为Sn取得最
3、小值时n的值为14已知AB为单位圆上的弦，P为单位圆上的点，若f（）=|的最小值为m（其中R），P在单位圆上运动时，m的最大值为，则|的值为二、选择题（本题满分20分，每小题5分.）15已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A若，垂直于同一平面，则与平行B若m，n平行于同一平面，则m与n平行C若，不平行，则在内不存在与平行的直线D若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面16已知定义在R上的函数f（x）=2|xm|1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCcabDcba17
4、“a0”是“函数f（x）=|（ax1）x|在区间（0，+）内单调递增”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件18已知数列an满足，首项a1=a，若数列an是递增数列，则实数a的取值范围是（）AB（0，1）（2，+）C（0，1）D（2，+）三、解答题（本题满分74分）19如图所示，长方体ABCDEFGH，底面是边长为2的正方形，DH=2，P为AH中点（1）求四棱锥FABCD的体积；（2）若点M在正方形ABCD内（包括边界），且三棱锥PAMB体积是四棱锥FABCD体积的，请指出满足要求的点M的轨迹，并在图中画出轨迹图形20已知函数f（x）=2sin（+）sin（
5、）sin（+x），若函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于y轴对称；（1）求函数g（x）的解析式；（2）若存在x0，使等式g（x）2g（x）+m=0成立，求实数m的取值范围21某地拟建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示：曲线AB是以点E的圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0t25），GF是圆的切线，且GFAD，曲线BC是抛物线y=ax2+50（a0）的一部分，CDAD，且CD恰好等于圆E的半径（1）若CD=30米，AD=24米，求t与a的值；（2）若体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围22定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比；（1）设圆C0
6、：x2+y2=1，求过P（2，0）的直线关于圆C0的距离比=的直线方程；（2）若圆C与y轴相切于点A（0，3），且直线y=x关于圆C的距离比=，求此圆C的方程；（3）是否存在点P，使过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆C1：（x+1）2+y2=1与C2：（x3）2+（y3）2=4的距离比始终相等？若存在，求出相应的P点坐标；若不存在，请说明理由23设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，a3，an为n阶“期待数列”：a1+a2+a3+an=0；|a1|+|a2|+|a3|+|an|=1（1）若等比数列an为2k阶“期待数列”（ kN*），求公比q；（2）若一个等差数列an既是2k阶“期
7、待数列”又是递增数列（ kN*），求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”ai的前k项和为Sk（k=1，2，3，n）求证：|Sk|；若存在m1，2，3，n使Sm=，试问数列Si能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由2016年上海市延安中学高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本题满分56分，每小题4分1（x+1）5的展开式中x2项的系数为10【考点】二项式系数的性质【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2项的系数【解答】解：（x+1）5的展开式的通项公式为 Tr+1=x5r，令5r=2，求得
8、r=3，可得展开式中x2项的系数为=10，故答案为：102已知集合A=x|x23x0，xN*，则用列举法表示集合A=1，2【考点】集合的表示法【分析】通过列举法表示即可【解答】解：由集合A=x|x23x0，xN*可得，条件等价于集合A=x|0x3，xN*=1，2故填：1，23若=0，则x=4【考点】对数的运算性质【分析】由二阶行列式展开式性质得2log2x4=0，由此利用对数运算法则和性质能求出x【解答】解：=0，2log2x4=0，log2x=2，解得x=4故答案为：44函数f（x）=x2，（x2）的反函数是【考点】反函数【分析】直接利用反函数的定义求解即可【解答】解：函数f（x）=x2，（
9、x2），则y4可得x=，所以函数的反函数为：故答案为：5在极坐标系中，已知点P（1，）和Q（2，），则|PQ|=【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】求出P，Q的直角坐标，利用两点的距离公式求|PQ|【解答】解：点P（1，）和Q（2，），点P（，）和Q（0，2），|PQ|=故答案为：6已知双曲线=1的一条渐近线过点（4，3），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=20x的准线上，则双曲线的方程为【考点】双曲线的简单性质【分析】求出抛物线的准线方程求出c，然后根据双曲线的渐近线和点的关系，求出a，b即可得到结论【解答】解：抛物线y2=20x的准线方程为x=5，双曲线的一个焦点在抛物线y2=20x的准线，
10、c=5，双曲线=1的渐近线方程为y=x，双曲线=1的一条渐近线过点（4，3），（4，3）在直线y=x上，即4=3，即4b=3a，b=a，平方得b2=a2=c2a2=25a2，则a2=25，则a2=16，b2=2516=9，即双曲线的方程为，故答案为：7在复平面上，已知复数z1与z2的对应点关于直线y=x对称，且满足z1z2=9i，则|z1|=3【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】设z1=x+yi（x，yR），由已知条件可得z2=y+xi，利用复数的乘法运算求解即可得答案【解答】解：设z1=x+yi（x，yR），又复数z1与z2的对应点关于直线y=x对称，则z2=y+xiz1z2=（x+yi）
11、（y+xi）=xy+x2i+y2i+xyi2=（x2+y2）i=9ix2+y2=9则|z1|=故答案为：38设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；=，它们的侧面积相等，=故答案为：9将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是96【考点】排列、组合及简单计数问题
12、【分析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4=96种故答案为：9610随机变量的取值为0，1，2，若P（=0）=，E（）=1，则D（）=【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】结合方差的计算公式可知，应先求出P（=1），P（=2），根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得【解答】解析：设P（=1）=p，P（=2）=q，则由已知得p+q=，解得，所以故答案为：11已知函数
13、f（x）=3sinx+4cosx，若对任意xR均有f（x）f（），则tan的值等于【考点】三角函数的最值；同角三角函数基本关系的运用【分析】利用辅助角公式求得函数f（x）=5sin（x+），其中，cos=，sin=，由题意可得f（）=5，此时，sin=，cos=，由此求得tan的值【解答】解：函数f（x）=3sinx+4cosx=5sin（x+），其中，cos=，sin=，对任意xR均有f（x）f（），则f（）=5，此时，sin=，cos=，则tan=，故答案为：12如图所示，求一个棱长为的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体切去四个角后得到，类比这种分法，一个相对棱长都相等的四面体A
14、BCD，其三组棱长分别为AB=CD=，AD=BC=，AC=BD=，则此四面体的体积为2【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】设四面体所在长方体棱长分别为a，b，c，则长方体的对角线长为，利用勾股定理列方程求出a，b，c，使用做差法求出四面体体积【解答】解：设四面体ABCD所在长方体的棱长分别为a，b，c，则，解得四面体的体积V=abc4=abc=2故答案为：213已知等差数列an的公差d（0，1），且=1，若a1（，）时，则数列an的前n项和为Sn取得最小值时n的值为10【考点】等差数列的前n项和【分析】利用三角函数的降幂公式化简=1，得出=sin（a3+a7），再利用和差化积公式得出sin（
15、a7a3）=1，求出公差d的值，写出通项公式an，令an0，即可求得n的值【解答】解：an为等差数列，且=1，=1，=sin（a3+a7），由和差化积公式得：（2）sin（a7+a3）sin（a7a3）=sin（a3+a7），又sin（a3+a7）0，sin（a7a3）=1，4d=2k+（0，4）；取k=0，得4d=，解得d=；又a1（，），an=a1+（n1），an（+，+）；令an0，得+0，解得n10；n=10时，数列an的前n项和Sn取得最小值故答案为：1014已知AB为单位圆上的弦，P为单位圆上的点，若f（）=|的最小值为m（其中R），P在单位圆上运动时，m的最大值为，则|的值为【考
16、点】平面向量数量积的运算【分析】设=，则=，而点C在直线AB上，则问题即是求动点P到直线AB上的点C距离的最值问题，则CPAB时，距离最小，由CP过圆心O时，取得最大值，再由垂径定理和勾股定理，即可得到AB的长【解答】解：设=，则=，又C点在直线AB上，要求f（）=|的最小值，即求|的最小值，显然当CPAB时，CP最小，可得f（）的最小值m为点P到AB的距离又m的最大值为，可得CP过圆心O时m取得最大值，即有|=2=故答案为：二、选择题（本题满分20分，每小题5分.）15已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A若，垂直于同一平面，则与平行B若m，n平行于同一平面，则m
17、与n平行C若，不平行，则在内不存在与平行的直线D若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【分析】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答【解答】解：对于A，若，垂直于同一平面，则与不一定平行，例如墙角的三个平面；故A错误；对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行相交或者异面；故B错误；对于C，若，不平行，则在内存在无数条与平行的直线；故C错误；对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；故选D16已知定义
18、在R上的函数f（x）=2|xm|1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCcabDcba【考点】函数单调性的性质【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=2|x|1，这样便知道f（x）在0，+）上单调递增，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间0，+）上：a=f（|log0.53|），b=f（log25），c=f（0），然后再比较自变量的值，根据f（x）在0，+）上的单调性即可比较出a，b，c的大小【解答】解：f（x）为偶函数；f（x）=f（x）；2|xm|1=2|xm|1；|
19、xm|=|xm|；（xm）2=（xm）2；mx=0；m=0；f（x）=2|x|1；f（x）在0，+）上单调递增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=f（log25），c=f（0）；0log23log25；cab故选：C17“a0”是“函数f（x）=|（ax1）x|在区间（0，+）内单调递增”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】对a分类讨论，利用二次函数的图象与单调性、充要条件即可判断出【解答】解：当a=0时，f（x）=|x|，在区间（0，+）内单调递增当a0时，结合二次函数图象可知函数f
20、（x）=|（ax1）x|在区间（0，+）内单调递增若a0，则函数f（x）=|（ax1）x|，其图象如图它在区间（0，+）内有增有减，从而若函数f（x）=|（ax1）x|在区间（0，+）内单调递增则a0a0是”函数f（x）=|（ax1）x|在区间（0，+）内单调递增”的充要条件故选：C18已知数列an满足，首项a1=a，若数列an是递增数列，则实数a的取值范围是（）AB（0，1）（2，+）C（0，1）D（2，+）【考点】数列递推式【分析】利用数列an是递增数列，对a讨论，通过第二项大于第一项，求出a的范围即可【解答】解：数列an满足，首项a1=a，若数列an是递增数列，所以，则，即，当a0时，解
21、得a（0，1）（2，+）当a0时，不等式无解故选B三、解答题（本题满分74分）19如图所示，长方体ABCDEFGH，底面是边长为2的正方形，DH=2，P为AH中点（1）求四棱锥FABCD的体积；（2）若点M在正方形ABCD内（包括边界），且三棱锥PAMB体积是四棱锥FABCD体积的，请指出满足要求的点M的轨迹，并在图中画出轨迹图形【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征【分析】（1）VFABCD=；（2）设点M到AB的距离为h，则VPAMB=SAMB1=1，解出h即可得出M的轨迹【解答】解：（1）VFABCD=8（2）设点M到AB的距离为h，则SAMB=P为AH的中点，点P到平面AMB的
22、距离为1，VPAMB=1，点M的轨迹是连接AD中点和BC中点的线段20已知函数f（x）=2sin（+）sin（）sin（+x），若函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于y轴对称；（1）求函数g（x）的解析式；（2）若存在x0，使等式g（x）2g（x）+m=0成立，求实数m的取值范围【考点】三角函数中的恒等变换应用【分析】（1）三角函数中两角互余的诱导公式及函数对称问题，通过g（x）上的点对称点在f（x）上，求出g（x）的解析式（2）根据存在x0，使等式g（x）2g（x）+m=0成立，换元转化为二次函数求值，从而求实数m的取值范围【解答】解：（1）由题意得f（x）=2因为g（x）的图象与f（
23、x）的图象关于y轴对称，设g（x）上任意一点P（x，y）关于y轴对称的点P（x，y）在y=f（x）的图象上即 g（x）=2sin（x+），故g（x）=2sin（x）（2），由（1）得g（x） 令t=g（x），t则等式g（x）2g（x）+m=0成立等价为m=t2+t在t上成立m=t2+t=（t）2+，当t=1时m最小值为2，当t=时m的最大值为在故m的取值范围为21某地拟建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示：曲线AB是以点E的圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0t25），GF是圆的切线，且GFAD，曲线BC是抛物线y=ax2+50（a0）的一部分，CDAD，且CD恰好等于圆E的半径
24、（1）若CD=30米，AD=24米，求t与a的值；（2）若体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围【考点】直线和圆的方程的应用【分析】（1）由CD=30米，AD=24米，代入抛物线的方程，结合圆的方程，即可解得答案；（2）问题转化为+恒成立，根据基本不等式的性质解出即可【解答】解：（1）因为圆E的半径为OBOE=50t，所以CD=50t=30，t=20，令y=ax2+50=50t，得圆E：x2+（y20）2=302，令y=0，得，所以，即，又t=20，得（2）由题意得：对t（0，25恒成立，所以恒成立，当，即t=25时，所以，解得，故a的取值范围为）22定义：圆心到直线的距离与圆的
25、半径之比为直线关于圆的距离比；（1）设圆C0：x2+y2=1，求过P（2，0）的直线关于圆C0的距离比=的直线方程；（2）若圆C与y轴相切于点A（0，3），且直线y=x关于圆C的距离比=，求此圆C的方程；（3）是否存在点P，使过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆C1：（x+1）2+y2=1与C2：（x3）2+（y3）2=4的距离比始终相等？若存在，求出相应的P点坐标；若不存在，请说明理由【考点】圆方程的综合应用【分析】（1）设过P（2，0）的直线方程为y=k（x2），求得已知圆的圆心和半径，由新定义，可得方程，求得k，即可得到所求直线方程；（2）设圆C的方程为（xa）2+（yb）2=r
26、2，由题意可得a2+（3b）2=r2，|a|=r，=r，解方程可得a，b，r，进而得到所求圆的方程；（3）假设存在点P（m，n），设过P的两直线为yn=k（xm）和yn=（xm），求得两圆的圆心和半径，由新定义可得方程，化简整理可得k（2m+n1）+（m2n3）=0，或k（2mn+5）+（3m2n）=0，再由恒成立思想可得m，n的方程，解方程可得P的坐标【解答】解：（1）设过P（2，0）的直线方程为y=k（x2），圆C0：x2+y2=1的圆心为（0，0），半径为1，由题意可得=，解得k=，即有所求直线为y=（x2）；（2）设圆C的方程为（xa）2+（yb）2=r2，由题意可得a2+（3b）2=
27、r2，|a|=r，=r解方程可得a=3，b=3，r=3，或a=1，b=3，r=1则有圆C的方程为（x+3）2+（y3）2=9或（x1）2+（y3）2=1；（3）假设存在点P（m，n），设过P的两直线为yn=k（xm）和yn=（xm），又C1：（x+1）2+y2=1的圆心为（1，0），半径为1，C2：（x3）2+（y3）2=4的圆心为（3，3），半径为2，由题意可得=，化简可得k（2m+n1）+（m2n3）=0，或k（2mn+5）+（3m2n）=0，即有或，解得或则存在这样的点P（1，1）和（，），使得使过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆的距离比始终相等23设满足以下两个条件的有穷数列
28、a1，a2，a3，an为n阶“期待数列”：a1+a2+a3+an=0；|a1|+|a2|+|a3|+|an|=1（1）若等比数列an为2k阶“期待数列”（ kN*），求公比q；（2）若一个等差数列an既是2k阶“期待数列”又是递增数列（ kN*），求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”ai的前k项和为Sk（k=1，2，3，n）求证：|Sk|；若存在m1，2，3，n使Sm=，试问数列Si能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（1）对q是否等于1进行讨论，令S2k=0解出q；（2）由S2k=0得出下标和为2k+1的两
29、项和为0，根据数列的单调性得出前k项和为，后k项和为，根据等差数列的性质将后k项和减去前k项和即可得出公差d与k的关系，再利用求和公式得出首项a1；（3）根据条件即可得出数列的所有正项和为，所有负项和为，故而Sk；由可知ai的前m项全为非负数，后面的项全是负数，于是Si的前m项和为，故而得出am=，于是得出|S1|+|S2|+|Sn|=S1+S2+Sn【解答】解：（1）若q=1，由得：a12k=0，得a1=0，不合题意，舍去；若q1，由得：，解得q=1（2）设等差数列的公差是d（d0），因为，a1+a2k=ak+ak+1=0，d0，ak0，ak+10，则，两式相减得：k2d=1，又a1+a2+
30、a3+ak=，解得，（3）记a1，a2，a3，an中非负项和为A，负项和为B，则A+B=0，AB=1，Sk，若存在m1，2，3，n，使，则a10，a20，am0，am+10，am+20，an0，且，若数列Si（i=1，2，3，n）是n阶“期待数列”，记Si（i=1，2，3，n）的前k项和为Tk，由得，S1+S2+Sm1=0，a10，a20，am0，S1=S2=Sm1=0，a1=a2=am1=0，又am+10，am+20，an0，Sm+10，Sm+20，Sn0，|S1|+|S2|+|Sn|=S1+S2+SnS1+S2+Sn=0与|S1|+|S2|+|Sn|=1不能同时成立，即数列Si（i=1，2，3，n）不能为n阶“期待数列”2016年8月1日
