1、第三节函数的奇偶性与周期性1函数的奇偶性奇偶性条件图象特点偶函数对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)关于y轴对称奇函数对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 1奇、偶函数的一个必要不充分条件：奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称函数的定义域关于原点对称是
2、函数具有奇偶性的必要不充分条件2奇偶性的两个等价定义在定义域内恒有若f(x)f(x)0或1(f(x)0)，则f(x)为奇函数；若f(x)f(x)0或1(f(x)0)，则f(x)为偶函数3奇偶性的六个重要结论：(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(x)f(|x|).(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)0，xD，其中定义域D是关于原点对称的非空数集(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最
3、大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数(6)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇4函数周期性常用的结论：对f(x)定义域内任一自变量的值x，(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0).(2)若f(xa)，则T2a(a0).(3)若f(xa)，则T2a(a0).5函数对称性问题的结论：(1)若函数yf(xa)是偶函数，即f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2a
4、x)，则yf(x)的图象关于直线xa对称；(3)若函数yf(xb)是奇函数，即f(xb)f(xb)0，则函数yf(x)关于点(b，0)中心对称1(基础知识：函数奇偶性判断)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()Ayx1 Byx3Cy Dyx|x|答案：D2(基础知识：奇函数定义)设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则f(1)_答案：1e3(基本应用：奇偶性应用)设函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，则a_答案：14(基本应用：利用周期求函数值)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1，1)时，f(x)则f_解析：由题意得，ff421.答案：15(基本能力：研究函数对称
5、性)函数f(x)的对称中心为_答案：(0，0)题型一函数奇偶性的判断 1函数f(x)，则f(x)为()A奇函数B偶函数C既是奇函数，又是偶函数D非奇非偶函数解析：由得x1，f(x)的定义域为1，1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，故f(x)既是奇函数，又是偶函数答案：C2已知函数f(x)3x，则f(x)()A是偶函数，且在R上是增函数B是奇函数，且在R上是增函数C是偶函数，且在R上是减函数D是奇函数，且在R上是减函数解析：xR，f(x)3x3xf(x)，f(x)为奇函数，又y13x为增函数，y2为增函数，故y3x为增函数答案：B3已知函数f(x)ln (x)，则f(x)是()A奇函数B
6、偶函数C既是奇函数，又是偶函数D非奇非偶函数解析：xR，f(x)ln (x)，f(x)f(x)ln (x)ln (x)ln 10，f(x)f(x)，f(x)为奇函数答案：A4设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数解析：由题意可知f(x)f(x)，g(x)g(x)，对于选项A，f(x)g(x)f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故选项A错误；对于选项B，|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g
7、(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故选项B错误；对于选项C，f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故选项C正确；对于选项D，|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故选项D错误答案：C方法总结 1函数yf(x)具有奇偶性，首先其定义域必须关于原点对称，这样f(x)与f(x)才有意义2对一个函数而言，其奇偶性结果为：是偶函数，是奇函数，既是奇函数又是偶函数，是非奇非偶函数，必居其一3判定奇偶性的方法：(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称若对称，再化简解析式后验证f(
8、x)f(x)或其等价形式f(x)f(x)0是否成立(2)图象法：(3)性质法：利用奇偶性的运算关系 题型二函数的周期性及应用 典例剖析典例(2021四川南充模拟)设f(x)是周期为4的奇函数，当0x1时，f(x)x(1x)，则f()A BC D审题互动：能否直接把x代入f(x)x(1x)?0，1，如何利用周期将f转化？解析：f(x)是周期为4的奇函数，fff.又0x1时，f(x)x(1x)，故ff.答案：A方法总结1若函数的最小正周期为T，在图象上表现为每隔T单位，图象相同，只是位置不同，在函数值上表现为f(xT)f(x).当x不属于所给定区间时，利用f(xT)f(x)将f(x)转化，故首先确
9、定f(x)的周期T.2求函数周期的方法：方法解读适合题型定义法具体步骤为：对于函数yf(x)，如果能够找到一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么T就是函数yf(x)的周期非零常数T容易确定的函数递推法采用递推的思路进行，再结合定义确定周期如：若f(xa)f(x)，则f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)，所以2a为f(x)的一个周期含有f(xa)与f(x)的关系式换元法通过换元思路将解析式化简为定义式的结构，如：若f(xa)f(xa)，令xat，则xta，则f(t2a)f(taa)f(taa)f(t)，所以2a为f(x)的一个周期f(bxa)f(bxc)
10、型关系式对点训练1设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：f(x)f(x)0；f(x)f(x2)；当0x1时，f(x)2x1，则ff(1)ff(2)f_解析：依题意知，函数f(x)为奇函数且周期为2，所以ff(1)ff(2)fff(1)ff(0)fff(1)ff(0)fff(1)f(0)21211201.答案：2已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0，6上与x轴的交点个数为_解析：因为当0x2时，f(x)x3x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)0，则f(6)f(4)f(2)f(0)0.又f(1)0，所以f
11、(3)f(5)f(1)0，故函数yf(x)的图象在区间0，6上与x轴的交点有7个答案：73定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在0，2上为增函数，若方程f(x)m(m0)在区间8，8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的值为_解析：因为f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，由f(x4)f(x)可得f(x2)f(x6)f(x2)，因为f(x)是奇函数，所以f(x2)f(x2)f(2x)，所以f(x)的图象关于直线x2对称，结合f(x)在0，2上为增函数，可得函数f(x)的大致图象如图所示，由图看出，四个交点中的左
12、边两个交点的横坐标之和为2(6)，另两个交点的横坐标之和为22，所以x1x2x3x48.答案：8题型三函数性质的综合应用 典例剖析类型 1求函数解析式例1设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x0，1时，f(x)log2(x1)，则函数f(x)在1，2上的解析式是_解析：令x1，0，则x0，1，结合题意可得f(x)f(x)log2(x1)，令x1，2，则x21，0，故f(x)log2(x2)1log2(3x)，故函数f(x)在1，2上的解析式是f(x)log2(3x).答案：f(x)log2(3x)方法总结在哪个区间上求解析式，就设x在哪个区间上，利用奇偶性或周期性关系，将x变到已知区间
13、上，再代入解析式进行转化类型 2求函数值例2(1)对任意的实数x都有f(x2)f(x)2f(1).若yf(x1)的图象关于x1对称，且f(0)2，则f(2 019)f(2 020)()A0 B2C3 D4解析：yf(x1)的图象关于x1对称，则函数yf(x)的图象关于x0对称，函数f(x)是偶函数，对于f(x2)f(x)2f(1)，令x1，则f(12)f(1)2f(1)，则f(1)f(1)2f(1)0，即f(1)0，则f(x2)f(x)2f(1)0，即f(x2)f(x)，则函数f(x)的周期是2，又f(0)2，则f(2 019)f(2 020)f(1)f(0)022.答案：B(2)(2020湖
14、北武汉重点中学11月联考)若函数f(x)是R上的单调函数，且对任意的实数x都有f，则f(log22 020)()A1 B2 020C D解析：令tf(x)，则f(t)，且f(x)t，从而f(t)t，当且仅当t1时，f(t).因为函数f(x)是R上的单调函数，所以f(x)1.所以f(log22 020)1.答案：D方法总结挖掘函数性质，综合应用，将所求函数值转化：根据周期性，将f(x)转化为f(xT)；根据奇偶性，将f(x)转化为f(x)；根据关于直线xa对称，将f(x)转化为f(2ax)；根据关于(a，b)对称，将f(x)转化为2bf(2ax)；对于f(f(x)型采用换元法，设tf(x).类型
15、 3求参数例3(1)设函数f(x)exaex(a为常数).若f(x)为奇函数，则a_解析：f(x)为奇函数，f(x)f(x)，exaexexaex，(1a)ex(1a)ex0，a1.答案：1(2)若函数f(x)x ln (x)为偶函数，则a_解析：由题意得f(x)x ln (x)f(x)x ln ( x)，所以 x，解得a1.答案：1方法总结利用奇偶性求参数，一般利用奇偶性定义：f(x)f(x)或f(x)f(x)恒成立建立所有参数的方程，也可采用特殊值法，如奇函数(xR)时，f(0)0.类型4解不等式、比较大小例4(1)已知函数f(x)|x|(10x10x)，不等式f(12x)f(3)0的解集
16、为()A(，2) B(2，)C(，1) D(1，)解析：f(x)|x|(10x10x)f(x)，f(x)为奇函数，当x0时，f(x)x(10x10x)为增函数，f(x)在R上是递增函数，故f(12x)f(3)0f(12x)f(3)f(3)，所以12x3，解得x2.答案：A(2)已知定义在R上的奇函数满足f(x4)f(x)，且在区间0，2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)解析：f(x4)f(x)，f(x8)f(x4)，f(x8)f(x)，f(x)的周期为8，f(25)f(1)，f(80
17、)f(0)，f(11)f(3)f(14)f(1)f(1).又奇函数f(x)在区间0，2上是增函数，f(x)在区间2，2上是增函数，f(25)f(80)f(11).答案：D方法总结 此类问题是先利用性质将原问题转化为形如“f(x)f(y)”型，再根据单调性去“f”，得到x与y的大小关系，同时考虑函数的定义域 题组突破1f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)x3ln (1x)，则当x0时，f(x)()Ax3ln (1x) Bx3ln (1x)Cx3ln (1x) Dx3ln (1x)解析：当x0时，x0，f(x)(x)3ln (1x).f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)f(x)(x)3
18、ln (1x)x3ln (1x).答案：C2已知函数f(x)x3sin x1(xR)，若f(a)2，则f(a)的值为()A3 B0C1 D2解析：设F(x)f(x)1x3sin x，显然F(x)为奇函数，又F(a)f(a)11，所以F(a)f(a)11，所以f(a)0.答案：B3定义在R上的函数f(x)满足f(x1)f(x1)且f(x)其中aR.若f(5)f(4.5)，则a()A0.5 B1.5C2.5 D3.5解析：由f(x1)f(x1)得f(x2)f(x1)1f(x1)1f(x)，T2.又f(5)f(4.5)，f(1)f(0.5)，1a1.5，a2.5.答案：C4(2020河北邯郸模拟)已
19、知f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2xm，则f(2)()A3 BC D3解析：由f(x)为R上的奇函数，知f(0)0，即f(0)20m0，解得m1，则f(2)f(2)(221)3.答案：A5若函数f(x)是奇函数，则使f(x)3成立的x的取值范围为()A(，1) B(1，0)C(0，1) D(1，)解析：f(x)，由f(x)f(x)得，即1a2x2xa，化简得a(12x)12x，所以a1，f(x).由f(x)3得0x1.答案：C6已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)，且当x0，2)时，f(x)log2(x1)，则f(2 017)f(2 019)的值为
20、_解析：当x0时，f(x2)，f(x4)f(x)，即4是f(x)(x0)的一个周期，f(2 017)f(2 017)f(1)log221，f(2 019)f(3)1，f(2 017)f(2 019)0.答案：07(母题变式)将例4(1)的函数变为f(x)10x10x，求不等式f(12x)f(3)0的解集解析：f(x)10x10x，f(x)为偶函数，当x(0，)时，f(x)为增函数，原不等式可化为f(12x)f(3)，得|12x|3，得12x3或12x3，x2或x1.原不等式的解集为x|x21(2019高考全国卷)设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当x0时，f(x)()Aex1
21、Bex1Cex1 Dex1解析：当x0，当x0时，f(x)ex1，f(x)ex1.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)ex1.答案：D2(2018高考全国卷)已知(x)是定义域为(，)的奇函数，满足(1x)(1x).若(1)2，则(1)(2)(3)(50)()A50 B0C2 D50解析：(x)是奇函数，(x)(x)，(1x)(x1).由(1x)(1x)，(x1)(x1)，(x2)(x)，(x4)(x2)(x)(x)，函数(x)是周期为4的周期函数由(x)是定义域为(，)的奇函数得(0)0.又(1x)(1x)，(x)的图象关于直线x1对称，(2)(0)0，(2)0.又(1)2，(1)2，(1)
22、(2)(3)(4)(1)(2)(1)(0)20200，(1)(2)(3)(4)(49)(50)012(49)(50)(1)(2)202.答案：C(2020四川绵阳南山中学10月模拟)已知函数f(x)为定义在3，t2上的偶函数，且在3，0上单调递减，则满足f(x22x3)f的实数x的取值范围是()A(1，) B(0，1C(1， D0，解析：因为f(x)为定义在3，t2上的偶函数，所以3t20，解得t5，即f(x)为定义在3，3上的偶函数，所以f(x22x3)f等价于f(x22x3)f(x21)，又x22x3(x1)222，x211，f(x)在3，0上单调递减，所以3x21x22x30，解得1x. 答案：C
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