上海市徐汇区2021届高三高考二模数学试卷 WORD版含解析.doc

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1、2021年上海市徐汇区高三高考数学二模试卷一、填空题（共12小题）.1集合Ax|x22x0，Bx|x|1，则AB 2已知函数，则方程f1（x）4的解x 3等比数列an（nN*）中，若，则a8 4若方程x22x+30的两个根为和，则|+| 5函数的部分图象如图所示，则f（x） 6双曲线的焦点到渐近线的距离等于 7在二项式（1+ax）7（aR）的展开式中，x的系数为，则的值是 8已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的八个顶点都在同一球面上，若AB1，AA1，则A、C两点间的球面距离是 9在ABC中，已知AB1，BC2，若，则y的最小值是 10已知三行三列的方阵中有9个数aij（i1，2，3；j1，

2、2，3），从中任取三个数，则有且仅有两个数位于同行或同列（注意：不能同时出现既有两数同行、又有两数同列的情况）的概率是 .（结果用分数表示）11在ABC中，BN与CM交于点E，则（用、表示）12已知实数a、b使得不等式|ax2+bx+a|x对任意x1，2都成立，在平面直角坐标系xOy中，点（a，b）形成的区域记为若圆x2+y2r2上的任一点都在中，则r的最大值为二、选择题（每小题5分）.13设：x1且y2，：x+y3，则是成立的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件14设z1、z2为复数，下列命题一定成立的是（）A如果z12+z220，那么z1z20B如果|z

3、1|z2|，那么z1z2C如果|z1|a，a是正实数，那么az1aD如果|z1|a，a是正实数，那么15若f（x）是R上的奇函数，且f（x）在0，+）上单调递增，则下列结论：y|f（x）|是偶函数；对任意的xR都有f（x）+|f（x）|0；yf（x）f（x）在（，0上单调递增；反函数yf1（x）存在且在（，0上单调递增其中正确结论的个数为（）A1B2C3D416已知an是公差为d（d0）的等差数列，若存在实数x1，x2，x3，x9满足方程组，则d的最小值为（）ABCD三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17如图，在直三棱柱ABCA1B1C1

4、中，BABC，BABCBB12（1）求异面直线AB1与A1C1所成角的大小；（2）若M是棱BC的中点求点M到平面A1B1C的距离18已知函数（1）若，求函数f（x）的零点；（2）针对实数a的不同取值，讨论函数f（x）的奇偶性19元宵节是中国的传统节日之一要将一个上底为正方形ABCD的长方体状花灯挂起，将两根等长（长度大于A、C两点距离）的绳子两头分别拴住A、C；B、D，再用一根绳子OP与上述两根绳子连结并吊在天花板上，使花灯呈水平状态，如图花灯上底面到天花板的距离设计为1米，上底面边长为0.8米，设PAC，所有绳子总长为y米（打结处的绳长忽略不计）（1）将y表示成的函数，并指出定义域；（2）要

5、使绳子总长最短，请你设计出这三根绳子的长（精确到0.01米）20（16分）已知椭圆1上有两点P（2，1）及Q（2，1），直线l：ykx+b与椭圆交于A、B两点，与线段PQ交于点C（异于P、Q）（1）当k1且时，求直线l的方程；（2）当k2时，求四边形PAQB面积的取值范围；（3）记直线PA、PB、QA、QB的斜率依次为k1、k2、k3、k4.当b0且线段AB的中点M在直线yx上时，计算k1k2的值，并证明：k12+k222k3k421（18分）若数集M至少含有3个数，且对于其中的任意3个不同数a，b，c（abc），a，b，c都不能成为等差数列，则称M为“集”（1）判断集合1，2，4，8，2n（

7、）中，若，则a84解：因为等比数列an（nN*）中，所以q38，即q2，所以a84故答案为：44若方程x22x+30的两个根为和，则|+|解：方程x22x+30的两个根为和，设x+yi，则xyi，所以x2+y23，所以|+|2|2故答案为：25函数的部分图象如图所示，则f（x）解：根据图象顶点的纵坐标可得A2，624，故函数为y2sin（ x+），由五点法作图可得（0+）0，0，故f（x）2sinx，故答案为2sin x6双曲线的焦点到渐近线的距离等于3解：由题意可得双曲线中，a2，b3，c，故其焦点为（，0），渐近线方程为yxx，不妨取焦点（，0），渐近线yx，即3x+2y0，由点到直线的距

8、离公式可得：所求距离d故答案为：37在二项式（1+ax）7（aR）的展开式中，x的系数为，则的值是解：二项式（1+ax）7（aR）的展开式中，x的系数为 a，a，则（1），故答案为：8已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的八个顶点都在同一球面上，若AB1，AA1，则A、C两点间的球面距离是解：正四棱柱的对角线为球的直径，由4R21+1+24得R1，ACR2+R2，所以AOC（其中O为球心）A、C两点间的球面距离为，故答案为：9在ABC中，已知AB1，BC2，若，则y的最小值是解：根据题意，cos2Csin2C12sin2C，又由在ABC中，而AB1，BC2，即，变形可得sinA2sinC，则

9、有sinC，则y12sin2C12（）2，即y的最小值是；故答案为：10已知三行三列的方阵中有9个数aij（i1，2，3；j1，2，3），从中任取三个数，则有且仅有两个数位于同行或同列（注意：不能同时出现既有两数同行、又有两数同列的情况）的概率是.（结果用分数表示）解：从9个数中任取3个，共有84种选法；当3个数中位于同行或同列时，共有6种选法；当3个数中都位于不同行或不同列时，共有16种选法；当3个数中既有两数同行、又有两数同列时共有36种选法；从中任取三个数，则有且仅有两个数位于同行或同列（注意：不能同时出现既有两数同行、又有两数同列的情况）的概率，故答案为：11在ABC中，BN与CM交于

11、x2+y2r2上的任一点都在中，故r的最大值满足1r，解得r故答案为：二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13设：x1且y2，：x+y3，则是成立的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件解：若“x1且y2”则“x+y3”成立当x5，y1时，满足x+y3，但x1且y2不成立，故x1且y2”是“x+y3”的充分不必要条件，故选：A14设z1、z2为复数，下列命题一定成立的是（）A如果z12+z220，那么z1z20B如果|z1|z2|，那么z1z2C如果|z1|a，a是正实数，

12、那么az1aD如果|z1|a，a是正实数，那么解：对于A，如果z11i，z21+i，所以z1z20不正确对于B，如果z11i，z21+i，|z1|z2|，那么z1z2不正确对于C，|z1|a，a是正实数，说明复数对应的点到原点的距离小于a，所以az1a不正确对于D，|z1|a，a是正实数，那么a2，正确故选：D15若f（x）是R上的奇函数，且f（x）在0，+）上单调递增，则下列结论：y|f（x）|是偶函数；对任意的xR都有f（x）+|f（x）|0；yf（x）f（x）在（，0上单调递增；反函数yf1（x）存在且在（，0上单调递增其中正确结论的个数为（）A1B2C3D4解：f（x）是R上的奇函数，

13、且f（x）在0，+）上单调递增，对于，y|f（x）|是偶函数，故正确；对于，对任意的xR，不一定有f（x）+|f（x）|0，故错误；对于，yf（x）f（x）f（x）2在（，0上单调递增，故正确；对于，由于原函数和和反函数yf1（x）的图象关于yx对称，则所以函数的单调性相同，存在且在（，0上单调递增，故正确故选：C16已知an是公差为d（d0）的等差数列，若存在实数x1，x2，x3，x9满足方程组，则d的最小值为（）ABCD解：把方程组中的an都用a1和d表示得：a1sinx1+（a1+d）sinx2+（a1+2d）sinx3+（a1+8d）sinx925，把sinx1+sinx2+sinx9

14、0代入得：d，根据分母结构特点及sinx1+sinx2+sinx90可知：当sinx1sinx2sinx3sinx41，sinx50，sinx7sinx8sinx91时，d取最大值故选：C三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BABC，BABCBB12（1）求异面直线AB1与A1C1所成角的大小；（2）若M是棱BC的中点求点M到平面A1B1C的距离解：（1）由于A1C1AC，所以CAB1（或其补角）即为异面直线AB1与A1C1所成角，连接CB1，在AB1C中，由于，所以AB1C是等边三角形，所以，所以

15、异面直线AB1与A1C1所成角的大小为（2）解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为C（0，0，2）、B1（0，2，0）、A1（2，2，0）、M（0，0，1）设平面A1B1C的法向量为，则，且，取v1，得平面A1B1C的一个法向量为，且，又，于是点M到平面A1B1C的距离所以，点M到平面A1B1C的距离等于解法二：过点M作MNCB1交CB1于N，由MN平面A1B1C在RtCMN中，由，CM1，得，所以，点M到平面A1B1C的距离等于18已知函数（1）若，求函数f（x）的零点；（2）针对实数a的不同取值，讨论函数f（x）的奇偶性解：（1）根据题意，函数，则有1x20，解可得1x1

16、，即函数f（x）的定义域为1，1，由，得，化简得，即1，1，所以，函数f（x）的零点为；（2）函数f（x）的定义域为1，1，若函数f（x）为奇函数，则必有f（1）+f（1）0；代入得|a+1|+|a1|0于是无解，所以函数f（x）不能为奇函数，若函数f（x）为偶函数，由f（1）f（1）得|1+a|1+a|解得a0；又当a0时，则；对任意x1，1都成立，综上，当a0时，函数f（x）为偶函数，当a0时，函数f（x）为非奇非偶函数19元宵节是中国的传统节日之一要将一个上底为正方形ABCD的长方体状花灯挂起，将两根等长（长度大于A、C两点距离）的绳子两头分别拴住A、C；B、D，再用一根绳子OP与上述两

17、根绳子连结并吊在天花板上，使花灯呈水平状态，如图花灯上底面到天花板的距离设计为1米，上底面边长为0.8米，设PAC，所有绳子总长为y米（打结处的绳长忽略不计）（1）将y表示成的函数，并指出定义域；（2）要使绳子总长最短，请你设计出这三根绳子的长（精确到0.01米）解：（1）设上底中心为M，则|AM|0.4，|PM|0.4tan，|PA|，故y4|PA|+|OP|4|PA|+|OM|PM|，（2）记A，则sin+Acos4，即，由sin（+）1，得，等号成立时，从而ymin0.4+119（米），此时这三根绳子长分别约为1.17米，1.17米，0.85米20（16分）已知椭圆1上有两点P（2，1）

18、及Q（2，1），直线l：ykx+b与椭圆交于A、B两点，与线段PQ交于点C（异于P、Q）（1）当k1且时，求直线l的方程；（2）当k2时，求四边形PAQB面积的取值范围；（3）记直线PA、PB、QA、QB的斜率依次为k1、k2、k3、k4.当b0且线段AB的中点M在直线yx上时，计算k1k2的值，并证明：k12+k222k3k4解：（1）设C（a，b），则，由，得解得所以，直线l的方程为，即xy+10（2）直线l的方程为y2x+b，代入椭圆方程，整理得9x2+8bx+2b260（*）则|AB|，由l与线段PQ相交，有，得5b5，由，kl2知kPQkl1，所以ABPQ且，故四边形PAQB的面积S

19、，其取值范围为（3）将直线l的方程l：ykx+b，代入椭圆方程，整理得（1+2k2）x2+4kbx+2b260 （*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB中点坐标为，且x1，x2为方程（*）的两根，则x1+x2由条件，有，即x1+x2+y1+y20，又y1kx1+b，y2kx2+b，故有（1+k）（x1+x2）+2b0，即，解得b0（舍）或k当k时，x1+x2，x1x2，则k1k2，又由于k3k4，由k1k2，利用基本不等式有成立（16分）21（18分）若数集M至少含有3个数，且对于其中的任意3个不同数a，b，c（abc），a，b，c都不能成为等差数列，则称M为“集”（1）判断集合1，

20、2，4，8，2n（nN*，n3）是否是集？说明理由；（2）已知kN*，k3集合A是集合1，2，3，k的一个子集，设集合Bx+2k1|xA，求证：若A是集，则AB也是集；（3）设集合，判断集合C是否是集，证明你的结论解：（1）任取三个不同元素2i2j2k（其中0ijkn），若此三数成等差数列，则2i+2k22j，但2i+2k2k2j+122j，因此这三个数不能成等差数列所以，集合1，2，4，8，2n（nN*，n3）是“集”（2）反证法假设AB不是“集”，即AB中存在三个不同元素xyz，使x，y，z成等差数列，则x+z2y因为A是“集”，所以，x，y，z不能全在A中；如果x，y，z全在B中，则x（

21、2k1）+z（2k1）2y（2k1）依然成立，且x（2k1），y（2k1），z（2k1）都在A中，这说明A中存在三个数构成等差数列，即A不是“集”，与条件矛盾，因此，x，y，z也不能全在B中，由于B中最小可能元素（为2k）大于 A中最大可能元素（为k），所以必有xA，zB从而，y（x+z）k+k+（2k1）2k2k，故yB；同样，y（x+z）1+1+（2k1）k+k，故yA这与yAB矛盾，故AB也是“集“（3）集合C是“集”，证明如下：记，则，故a1a2a3a4an任取ai，aj，akC（其中1ijk），则aiajak当kj+2时，（这是由于ji1，故j2），即ai+ak2aj；当kj+1时，若ai，aj，ak成等差数列，则ai+ak2aj，即ai+aj+12aj，化简得（j+1）（j+2）（i+1）2ji+1（*）从而（j+1）（j+2）是2ji+1的正整数倍，由于j+1与j+2互质（为两个连续正整数），因此j+1是2ji+1的正整数倍或j+2是2ji+1的正整数倍，若j+1是2ji+1的正整数倍，则j+12ji+1，而j+2j+1i+1，则（*）式不成立；若j+2是2ji+1的正整数倍，则j+22ji+1，而j+1i+1，（*）仍不成立综上可知，ai，aj，ak不能成等差数列，即证明了集合C是“集“

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