1、正弦定理和余弦定理的应用 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 1仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线时叫仰角，目标视线在水平视线时叫俯角(如图(a)第八节正弦定理和余弦定理的应用图(a)图(b)上方下方正弦定理和余弦定理的应用 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2方位角从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角如 B 点的方位角为(如图(b)3方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)度正弦定理和余弦定理的应用 结
2、 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 1如图，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB105，则 A，B 两点的距离为_ m答案：50 2小题体验2(教材习题改编)海面上有 A，B，C 三个灯塔，AB10 n mile，从 A 望 C 和 B 成 60视角，从 B 望 C 和 A 成 75视角，则 BC_ n mile答案：5 6正弦定理和余弦定理的应用 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向线与
3、目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角正弦定理和余弦定理的应用 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 1在某次测量中，在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角是 60，C 点的俯角是 70，则BAC_小题纠偏答案：130正弦定理和余弦定理的应用 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2若点 A 在点 C 的北偏东 30，点 B 在点 C 的南偏东 60，且 ACBC，则点 A 在点 B 的_方向上解析：如图所示，ACB90，又 ACBC，CBA45，而 30，9045
4、3015点 A 在点 B 的北偏西 15答案：北偏西 15正弦定理和余弦定理的应用 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 考点一 测量高度问题典例引领(2015湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m正弦定理和余弦定理的应用 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 解析：由题意，在ABC 中，BAC30，ABC18075105，故ACB45
5、又 AB600 m，故由正弦定理得 600sin 45 BCsin 30，解得 BC300 2(m)在 RtBCD 中，CDBCtan 30300 2 33 100 6(m)答案：100 6正弦定理和余弦定理的应用 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 由题悟法求解高度问题应注意的 3 个问题(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)
6、注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题正弦定理和余弦定理的应用 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 即时应用(2016湖北七市(州)协作体联考)如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的 A，B 两点处进行测量，在点 A 处测得塔顶 C 在西偏北 20的方向上，仰角为 60；在点 B 处测得塔顶 C在东偏北 40的方向上，仰角为 30若 A，B 两点相距 130 m，求塔的高度 CD解：分析题意可知，设 CDh，则 AD h3，BD 3h，在ADB 中，ADB1802040120，由余弦定理 AB2BD2AD22BDADcos 120，
7、可得 13023h2h23 2 3h h312，解得 h10 39，故塔的高度为 10 39(m)正弦定理和余弦定理的应用 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 考点二 测量距离问题研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解常见的命题角度有：(1)两点都不可到达；(2)两点不相通的距离；(3)两点间可视但有一点不可到达 锁定考向正弦定理和余弦定理的应用 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 题点全练角度一：两点都不可到达1
8、如图，A，B 两点在河的同侧，且 A，B 两点均不可到达，要测出 A，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点 C，D，测得 CDa，同时在 C，D 两点分别测得BCA，ACD，CDB，BDA在ADC 和BDC 中，由正弦定理分别计算出AC 和 BC，再在ABC 中，应用余弦定理计算出 AB若测得 CD 32 km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，则 A，B 两点间的距离为_km正弦定理和余弦定理的应用 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 解析：ADCADBCDB60，ACD60，DAC60，ACDC 32 (km)在BCD 中，DBC45，
9、由正弦定理，得 BCDCsinDBCsinBDC32sin 45sin 30 64 在ABC 中，由余弦定理，得 AB2AC2BC22ACBCcos 4534382 32 64 22 38AB 64(km)A，B 两点间的距离为 64 km答案：64正弦定理和余弦定理的应用 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 角度二：两点不相通的距离2如图所示，要测量一水塘两侧 A，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置 C，用经纬仪测出角，再分别测出 AC，BC 的长 b，a，则可求出 A，B 两点间的距离即 AB a2b22abcos 若测得 CA400 m，
10、CB600 m，ACB60，则 A，B两点的距离为_m解析：在ABC中，由余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcos ACB，AB24002 60022400600cos 60 280 000AB200 7(m)即 A，B 两点间的距离为 200 7 m答案：200 7正弦定理和余弦定理的应用 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 角度三：两点间可视但有一点不可到达3如图所示，A，B 两点在一条河的两岸，测量者在 A 的同侧，且 B 点不可到达，要测出 A，B的距离，其方法在 A 所在的岸边选定一点 C，可以测出 A，C 的距离 m，再借助仪器，测
11、出ACB，CAB，在ABC 中，运用正弦定理就可以求出 AB若测出 AC60 m，BAC75，BCA45，则 A，B 两点间的距离为_m解析：ABC180754560，所以由正弦定理得，ABsin C ACsin B，ABACsin Csin B 60sin 45sin 6020 6(m)即 A，B 两点间的距离为 20 6 m答案：20 6正弦定理和余弦定理的应用 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 通法在握求距离问题的2个注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定
12、三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理正弦定理和余弦定理的应用 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 演练冲关1已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地间的距离为()A10 km B10 3 kmC10 5 km D10 7 km解析：由余弦定理可得：AC2AB2CB22ABCBcos 1201022022102012 700AC10 7(km)，故选D答案：D 正弦定理和余弦定理的应用 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后
13、三 维 演 练 2一艘船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60方向，行驶 4 h 后，船到达 B 处，看到这个灯塔在北偏东 15方向，这时船与灯塔的距离为()A15 2 km B30 2 kmC45 2 km D60 2 km解析：如图所示，依题意有 AB15460，DAC60，CBM15，MAB30，AMB45在AMB 中，由正弦定理，得60sin 45 BMsin 30，解得 BM30 2，故选 B答案：B 正弦定理和余弦定理的应用 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 考点三 测量角度问题典例引领在一次
14、海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值正弦定理和余弦定理的应用 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 解：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC14x，BC10 x，ABC120根据余弦定理得(14x)2122(10 x)2240 xcos 120，解得x2故AC28，BC20根据
15、正弦定理得 BCsin ACsin 120，解得sin 20sin 120285 314 所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角的正弦值为5 314 正弦定理和余弦定理的应用 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 由题悟法解决测量角度问题的3个注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点正弦定理和余弦定理的应用 结 束 课 前 双 基 落 实 课
16、堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 即时应用如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos 的值 正弦定理和余弦定理的应用 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 解：在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，解得BC20 7由正弦定理，得ABsinACBBCsinBACsinACBABBCsinBAC 217 由BAC 120，知ACB为锐角，则cosACB2 77 由ACB30，得cos cos(ACB30)cos ACB cos 30sinACBsin 30 2114 板块命题点专练（六）点击此处
