1、7正切函数学 习 目 标核 心 素 养1.理解任意角的正切函数的定义2能画出ytan x，xk，kZ的图象(重点)3理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间内的单调性(重点)4正切函数诱导公式的推导及应用(难点)1. 通过正切函数概念的学习，培养数学抽象素养2通过正切函数的图象与性质的应用，培养数学运算与逻辑推理素养.1正切函数的定义在直角坐标系中，如果角满足：R，k(kZ)，且角的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么比值叫作角的正切函数，记作ytan ，其中R，k(kZ)思考：1.设角的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么何时有意义？正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？提示：
2、当a0时，有意义tan ，R， k(kZ)2正切函数的诱导公式tan(k)tan (kZ)tan()tan tan()tan tan()tan tantan3正切函数的图象与性质图象性质定义域值域R奇偶性奇函数周期性周期为k(kZ，k0)，最小正周期为单调性在，kZ上是增加的对称性该图象的对称中心为，kZ思考：2.能否说正切函数在整个定义域内是增函数？提示：不能正切函数ytan x在每段区间，kZ上是增函数，但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数1函数ytan x的对称中心坐标为()A，kZB，kZC，kZD，kZCytan x的图象及其渐近线与x轴的交点都是对称中心2函数f(x)tan的单
3、调递增区间为()A，kZB(k，(k1)，kZC，kZD，kZC由kxk，kZ.解得kxk，kZ故选C3若角的终边经过点A，且tan ，则m_ .由tan . m.4函数ytan(2x)图象的一个对称中心为，求的值解因为函数ytan(2x)的一个对称中心为，2，kZ.，kZ.又，当k2时，；当k1时，.满足题意的为或.正切函数的概念【例1】(1)已知点P是角终边上的异于原点的一点，求tan ；(2)已知P是角终边上的一点，且tan ，求x的值思路点拨(1)直接利用正切函数的定义求解；(2)根据正切函数的定义列出关于x的方程，求解即可解(1)由题意知a0，tan .(2)由正切函数的定义得，ta
4、n ，又tan ，则，解得x.1解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan .2已知角终边上的一点M，求该角的正切函数值，或者已知角的正切值，求角终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解1用三角函数的定义证明：tan .证明设点P是角终边上的与单位圆的交点，由三角函数的定义得，tan .正切函数的图象【例2】作出函数ytan|x|的图象，判断函数的奇偶性及周期性. 思路点拨去掉绝对值号，先作出x0时的图象，再利用图象变换作出x0时的图象解ytan |x|当x0时，函数ytan|x|在y轴右侧的图象即为ytan x在y轴右侧的图象当x0时，ytan |x|在y轴左侧的图象为ytan x在y
5、轴右侧的图象关于y轴对称的图象，如图所示由图象知，函数ytan|x|是偶函数，但不是周期函数作正切函数的图象时，先画一个周期的图象，再把这一图象向左、右平移.从而得到正切函数的图象，通过图象的特点，可用“三点两线法”，这三点是，两线是直线x为渐近线.2作出函数y的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性解由y得 ，y其图象如图由图象可知，函数y|tan x|是偶函数，单调递增区间为，kZ，单调递减区间为，kZ.正切函数的性质【例3】已知f(x)2tan.(1)判断f(x)在x上的奇偶性；(2)求f(x)的最小正周期思路点拨(1)通过f(x)与f(x)的关系判断奇偶性；(2)由正切函数图象的特点可
6、判断函数的最小正周期解(1)f(x)2tan2tan x，x，f(x)2tan(x)2tan xf(x)又定义域关于原点对称，f(x)为奇函数(2)f(x)的最小正周期为.1若将例3中的函数变为“f(x)2|tan|”，则它的最小正周期是多少？解f(x)的最小正周期不变还是.2例3中的条件不变，求f(x)的单调区间解ytan x在，kZ上是递增的，f(x)在，kZ上是递减的3例3中的条件不变，求f(x)在上的值域. 解f(x)在上单调递减，故x时，f(x)取最大值，fmax2，所以，f(x)在上的值域是.对于形如yAtan(A，为非零常数)的函数性质和图象的研究，应以正切函数的性质与图象为基础
7、，运用整体思想和换元法求解.如果0，一般先利用诱导公式将x的系数化为正数，再进行求解.1作正切曲线简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线x，x，然后描出三个点(0,0)，用光滑的曲线连接得到一条曲线，再平移至各个单调区间内即可2正切函数与正弦、余弦函数都是三角函数，但应用它们的性质时应注意它们的区别(1)正弦、余弦函数是有界函数，值域为1,1，正切函数是无界函数，值域为R.(2)正弦、余弦函数的图象是连续的，定义域为R，正切函数的图象是不连续的，定义域为.(3)正弦、余弦函数均是既有递增区间又有递减区间，而正切函数在每一个区间，kZ上都是递增的1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)正
8、切函数为定义域上的增函数()(2)存在区间，使正切函数ytan x单调递减()(3)若x是第一象限的角，则ytan x是增函数()(4)正切函数ytan x的对称中心为(k，0)，kZ()答案(1)(2)(3)(4)2若角的终边上有一点P(2x1,3)，且tan ，则x的值为()A7B8C15DB由正切函数的定义知tan ，解得x8.3函数ytan 2x的定义域为_. 由正切函数的定义知，若使ytan 2x有意义，则2xk(kZ)解得x(kZ)4函数ytan x，x的值域是_0,1函数ytan x在上是递增的，所以ymaxtan1，ymintan 00.5角的终边经过点P且cos ，求tan 的值解由已知可知点P在第二象限，a0.cos ，解得a3，tan .
