1、专题8 概率与统计第37练 概率的两类模型概率是高中数学的重要内容,也是高考的必考知识点.在高考中,概率部分的命题主要有三个方面的特点:一是以古典概型的概率公式为考查对象,二是以几何概型的概率公式为考查对象,三是古典概型与其他知识相交汇,题目多以填空题的形式出现.题型分析 高考展望 体验高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 123451.(2015课标全国改编)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为_.所以概率为 110.解析 从1,2,3,4,5中任取3个不同
2、的数共有如下10个不同的结果:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中勾股数只有(3,4,5),11012345解析答案 2.(2015山东改编)在区间0,2上随机地取一个数x,则事件“1 1”发生的概率为_.解析 由1 1,得12x122,121log()2x 121log()2x 0 x32.由几何概型的概率计算公式得所求概率 P3202034.3412345解析答案 3.(2015福建改编)如图,矩形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(1,0),且点 C 与点
3、D 在函数 f(x)x1,x0,12x1,x0的图象上.若在矩形 ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于_.解析 由图形知C(1,2),D(2,2),S 矩形 ABCD6,S 阴影123132,P32614.1412345解析答案 4.(2016课标全国乙改编)某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是_.根据几何概型得所求概率 P10104012.解析 如图所示,画出时间轴:小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中,而当他的到达时间落在线段AC或DB时,才能保证他等
4、车的时间不超过10分钟,1212345解析答案 返回 解析 事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件,5.(2016天津改编)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是12,甲获胜的概率是13,则甲不输的概率为_.所以甲不输的概率为121356.56 高考必会题型 题型一 古典概型问题 例1(1)(2016课标全国丙改编)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是_.密码正确只有一种,概率为 115.解析答案 解析 第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5
5、中的一个数字,所以总的基本事件的个数为15,115解析答案(2)某班级的某一小组有6位学生,其中4位男生,2位女生,现从中选取2位学生参加班级志愿者小组,求下列事件的概率:选取的2位学生都是男生;解 设4位男生的编号分别为1,2,3,4,2位女生的编号分别为5,6.从6位学生中任取2位学生的所有可能结果为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种.从6位学生中任取2位学生,所取的2位全是男生的方法数,即从4位男生中任取2个的方法数,共有6种,即(1,
6、2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).所以选取的 2 位学生全是男生的概率为 P1 61525.解析答案 点评 选取的2位学生一位是男生,另一位是女生.另一位是女生的概率为 P2 815.解 从6位学生中任取2位,其中一位是男生,而另一位是女生,其取法包括(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),共8种.所以选取的2位学生一位是男生,解析答案 变式训练1(2016北京改编)从甲,乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为_.则甲被选中的概率为 41025.解析 从甲,乙等5名学生中随机选2人共有10种情况,甲
7、被选中有4种情况,25题型二 几何概型问题 解析 如图所示,正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D,且区域D的面积为4,而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域.易知该阴影部分的面积为4,例 2(1)设不等式组0 x2,0y2表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是_.解析答案 因此满足条件的概率是44.44点评(2)在区间0,内随机取两个数分别记为a,b,则使得函数f(x)x22axb2有零点的概率为_.得所求概率为 11422 34.解析答案 解析 所求概率为几何概型,测度为面积,则4a24b240a2b2 34变式训练
8、 2(1)已知 P 是ABC 所在平面内一点,PBPC2PA0,现将一粒黄豆随机撒在ABC 内,则黄豆落在PBC 内的概率是_.解析 答案 12解析答案(2)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCDA1B1C1D1 内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为_.解析 V 正238,V 半球12431323,V半球V正 283 12,故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 1 12.1 12返回 高考题型精练 12345678910 11 12解析答案 1.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是_.故
9、所求概率为2613.解析 从1,2,3,4中任取2个不同的数共有6种不同取法,其中取出的2个数之差的绝对值为2的有2种不同取法,1312345678910 11 12解析答案 2.(2015广东改编)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为_.解析 从袋中任取 2 个球共有 C215105(种)取法,其中恰好 1 个白球 1 个红球共有 C110C1550(种)取法,所以所取的球恰好 1 个白球 1 个红球的概率为 501051021.102112345678910 11 12解析答案 3.(2016课标全
10、国甲改编)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为_.解析 至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为40154058.5812345678910 11 12解析答案 4.在区间0,10内随机取出两个数,则这两个数的平方和在区间0,10内的概率为_.在正方形中形成的阴影面积为104,解析 设这两个数为x,y,则0 x10,0y10,构成一个正方形,面积为102,这两个数的平方和x2y20,10,因此所求概率为104102 40.4012345678910 11 125.如图,已知点A在坐标原点,点B在直
11、线 y1上,点C(3,4),若AB 10,则ABC 的面积大于 5 的概率是_.解析 答案 52412345678910 11 12解析答案 6.一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形的内部爬行,某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为_.解析 因为三角形的面积为12346,离三角形的三个顶点的距离不超过 1 的面积为12122,所以某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的概率 P626 1 12.1 1212345678910 11 127.(2015湖北改编)在区间0,1上随机取两个数 x,y,记 p1 为事件“xy12”的概率,p2 为事件“xy12”的概率,
12、则_.p1p212;p212p1;12p2p1;p112b且cb时称为“凹数”.若a,b,c4,5,6,7,8,且a,b,c互不相同,任取一个三位数abc,则它为“凹数”的概率是_.解析 答案 1312345678910 11 12解析答案(1)求乙、丙各自闯关成功的概率;11.甲、乙、丙三人组成一组,参加一个闯关游戏团体赛,三人各自独立闯关,其中甲闯关成功的概率为13,甲、乙都闯关成功的概率为16,乙、丙闯关成功的概率为15,每人闯关成功得 2 分,三人得分之和记为小组团体总分.12345678910 11 12解析答案(2)求团体总分为4分的概率;P1231225131225131235
13、310,解 每人闯关成功记2分,要使团体总分为4分,则需要两人闯关成功,两人都闯关成功的概率 即团体总分为 4 分的概率 P1 310.12345678910 11 12(3)若团体总分不小于4分,则小组可参加复赛,求该小组可参加复赛的概率.三人都闯关成功的概率 P2131225 115.解 团体总分不小于4分,则团体总分可能为4分,可能为6分,团体总分为6分,需要三人都闯关成功,由(2)知团体总分为 4 分的概率 P1 310,团体总分不小于 4 分的概率 PP1P2 310 1151130.解析答案 12345678910 11 12解析答案(1)求p和q的值;12.如图是一个方形迷宫,甲
14、、乙两人分别位于迷宫的 A、B 两处,两人同时以每一分钟一格的速度向东、西、南、北四个方向行走,已知甲向东、西行走的概率都为14,向南、北行走的概率为13和 p,乙向东、西、南、北四个方向行走的概率均为 q.解 141413p1,p16,又4q1,q14.即所求的概率为 372 304.解析答案 返回 12345678910 11 12(2)问最少几分钟,甲乙二人相遇?并求出最短时间内可以相遇的概率.则 pC(1616)(1414)13616,解 最少需要2分钟,甲乙二人可以相遇(如图,在C、D、E三处相遇).设在C、D、E三处相遇的概率分别为pC、pD、pE,pD2(1614)2(1414)1616,pE(1414)(1414)11616,pCpDpE 132(1181318)372 304,