1、专题8 概率与统计第37练 概率的两类模型概率是高中数学的重要内容，也是高考的必考知识点.在高考中，概率部分的命题主要有三个方面的特点：一是以古典概型的概率公式为考查对象，二是以几何概型的概率公式为考查对象，三是古典概型与其他知识相交汇，题目多以填空题的形式出现.题型分析 高考展望 体验高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 123451.(2015课标全国改编)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为_.所以概率为 110.解析 从1,2,3,4,5中任取3个不同
2、的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，11012345解析答案 2.(2015山东改编)在区间0,2上随机地取一个数x，则事件“1 1”发生的概率为_.解析 由1 1，得12x122，121log()2x 121log()2x 0 x32.由几何概型的概率计算公式得所求概率 P3202034.3412345解析答案 3.(2015福建改编)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点 C 与点
3、D 在函数 f(x)x1，x0，12x1，x0的图象上.若在矩形 ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_.解析 由图形知C(1,2)，D(2,2)，S 矩形 ABCD6，S 阴影123132，P32614.1412345解析答案 4.(2016课标全国乙改编)某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是_.根据几何概型得所求概率 P10104012.解析 如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等
4、车的时间不超过10分钟，1212345解析答案 返回 解析 事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，5.(2016天津改编)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为_.所以甲不输的概率为121356.56 高考必会题型 题型一 古典概型问题 例1(1)(2016课标全国丙改编)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是_.密码正确只有一种，概率为 115.解析答案 解析 第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5
5、中的一个数字，所以总的基本事件的个数为15，115解析答案(2)某班级的某一小组有6位学生，其中4位男生，2位女生，现从中选取2位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率：选取的2位学生都是男生；解 设4位男生的编号分别为1,2,3,4,2位女生的编号分别为5,6.从6位学生中任取2位学生的所有可能结果为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种.从6位学生中任取2位学生，所取的2位全是男生的方法数，即从4位男生中任取2个的方法数，共有6种，即(1,
6、2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4).所以选取的 2 位学生全是男生的概率为 P1 61525.解析答案 点评 选取的2位学生一位是男生，另一位是女生.另一位是女生的概率为 P2 815.解 从6位学生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种.所以选取的2位学生一位是男生，解析答案 变式训练1(2016北京改编)从甲，乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为_.则甲被选中的概率为 41025.解析 从甲，乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲
7、被选中有4种情况，25题型二 几何概型问题 解析 如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域.易知该阴影部分的面积为4，例 2(1)设不等式组0 x2，0y2表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是_.解析答案 因此满足条件的概率是44.44点评(2)在区间0，内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)x22axb2有零点的概率为_.得所求概率为 11422 34.解析答案 解析 所求概率为几何概型，测度为面积，则4a24b240a2b2 34变式训练
8、 2(1)已知 P 是ABC 所在平面内一点，PBPC2PA0，现将一粒黄豆随机撒在ABC 内，则黄豆落在PBC 内的概率是_.解析 答案 12解析答案(2)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1 内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为_.解析 V 正238，V 半球12431323，V半球V正 283 12，故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 1 12.1 12返回 高考题型精练 12345678910 11 12解析答案 1.从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是_.故
9、所求概率为2613.解析 从1,2,3,4中任取2个不同的数共有6种不同取法，其中取出的2个数之差的绝对值为2的有2种不同取法，1312345678910 11 12解析答案 2.(2015广东改编)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为_.解析 从袋中任取 2 个球共有 C215105(种)取法，其中恰好 1 个白球 1 个红球共有 C110C1550(种)取法，所以所取的球恰好 1 个白球 1 个红球的概率为 501051021.102112345678910 11 12解析答案 3.(2016课标全
10、国甲改编)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为_.解析 至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为40154058.5812345678910 11 12解析答案 4.在区间0,10内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间0,10内的概率为_.在正方形中形成的阴影面积为104，解析 设这两个数为x，y，则0 x10,0y10，构成一个正方形，面积为102，这两个数的平方和x2y20,10，因此所求概率为104102 40.4012345678910 11 125.如图，已知点A在坐标原点，点B在直
11、线 y1上，点C(3,4)，若AB 10，则ABC 的面积大于 5 的概率是_.解析 答案 52412345678910 11 12解析答案 6.一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形的内部爬行，某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为_.解析 因为三角形的面积为12346，离三角形的三个顶点的距离不超过 1 的面积为12122，所以某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的概率 P626 1 12.1 1212345678910 11 127.(2015湖北改编)在区间0,1上随机取两个数 x，y，记 p1 为事件“xy12”的概率，p2 为事件“xy12”的概率，
12、则_.p1p212；p212p1；12p2p1;p112b且cb时称为“凹数”.若a，b，c4,5,6,7,8，且a，b，c互不相同，任取一个三位数abc，则它为“凹数”的概率是_.解析 答案 1312345678910 11 12解析答案(1)求乙、丙各自闯关成功的概率；11.甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛，三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为13，甲、乙都闯关成功的概率为16，乙、丙闯关成功的概率为15，每人闯关成功得 2 分，三人得分之和记为小组团体总分.12345678910 11 12解析答案(2)求团体总分为4分的概率；P1231225131225131235
13、310，解 每人闯关成功记2分，要使团体总分为4分，则需要两人闯关成功，两人都闯关成功的概率 即团体总分为 4 分的概率 P1 310.12345678910 11 12(3)若团体总分不小于4分，则小组可参加复赛，求该小组可参加复赛的概率.三人都闯关成功的概率 P2131225 115.解 团体总分不小于4分，则团体总分可能为4分，可能为6分，团体总分为6分，需要三人都闯关成功，由(2)知团体总分为 4 分的概率 P1 310，团体总分不小于 4 分的概率 PP1P2 310 1151130.解析答案 12345678910 11 12解析答案(1)求p和q的值；12.如图是一个方形迷宫，甲
14、、乙两人分别位于迷宫的 A、B 两处，两人同时以每一分钟一格的速度向东、西、南、北四个方向行走，已知甲向东、西行走的概率都为14，向南、北行走的概率为13和 p，乙向东、西、南、北四个方向行走的概率均为 q.解 141413p1，p16，又4q1，q14.即所求的概率为 372 304.解析答案 返回 12345678910 11 12(2)问最少几分钟，甲乙二人相遇？并求出最短时间内可以相遇的概率.则 pC(1616)(1414)13616，解 最少需要2分钟，甲乙二人可以相遇(如图，在C、D、E三处相遇).设在C、D、E三处相遇的概率分别为pC、pD、pE，pD2(1614)2(1414)1616，pE(1414)(1414)11616，pCpDpE 132(1181318)372 304，