1、第三节 简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词基础梳理1.命题 的真假判断,pq pqp真真真假假真假假pqpqppq真真真真真真假假假假假假2.全称量词(1)“”、“”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“”表示“对任意x”.（2）含有 的命题，叫做全称命题.（3M,p(x),其中M为给定集合,p(x)是一个含有x的语句.xx所有任意存在量词3.存在量词（1）“”、“”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“”表示“存在x”.（2）含有 的命题，叫做存在性命题.（3M，p(x),其中M为给定集合，p(x)是一个含有x的语句.xx有一个有些存在量词
2、4.含有一个量词的命题的否定 命题的否定M,p(x)M,p(x)xx,()xMp x,()xMp x 基础达标1.(选修2-1P11例2改编)有下列命题：2004年10月1日既是国庆节，又是中秋节；10的倍数一定是5的倍数；梯形不是矩形;方程x2=1的解为x=1.其中使用逻辑联结词的命题的序号是 .解析：中有“且”；中没有；中有“非”；中有“或”2.(2010安徽)命题“存在xR,使得x2+2x+5=0”的否定是 .3.若“p且q”与“或q”均为假命题，则p ,q .(填“真”或“假”).p存在xR,使得 x2+2x+5=0真假3.解析：p且q为假，则p与q不可能全真，而或q为假，则与q均为假
3、，从而p为真，q为假pp4.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x2)0”用符号“”写成存在性命题为 .5.(2011苏南三校调研)存在实数x，使得 x2-4bx+3b0成立，则b的取值范围是 .20,(1)(1 9)0 xxRxx 且304bb或5.解析：由已知D=16b2-12b0，解得b0或b34.经典例题题型一含有逻辑联结词的命题真假判定【例1】写出由下列各组命题构成的“pq”、“pq”、“”形式的命题，并判断真假.（1）p:1是素数；q:1是方程x2+2x3=0的根；（2）p:平行四边形的对角线相等；q:平行四边形的对角线互相垂直；（3）p:方程x2+x1=0的两实根符号相同；
4、q:方程x2+x-1=0的两实根的绝对值相等.p分析(1)利用“或”、“且”、“非”把两个命题联结成新命题；(2)根据命题p和命题q的真假判断新命题的真假.解:(1)pq:1是素数或是方程x2+2x-3=0的根.真命题.pq:1既是素数又是方程x2+2x-3=0的根.假命题.:1不是素数.真命题.(2)pq:平行四边形的对角线相等或互相垂直.假命题.pq:平行四边形的对角线相等且互相垂直.假命题.:有些平行四边形的对角线不相等.真命题.pp(3)pq:方程x2+x1=0的两实根符号相同或绝对值相等.假命题.pq:方程x2+x1=0的两实根符号相同且绝对值相等.假命题.:方程x2+x1=0的两实
5、根符号不相同.真命题.p题型二 全称命题、存在性命题及其真假的判断【例2】判断下列命题是否是全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假.(1)有一个实数,sin2+cos21;(2)任何一条直线都存在斜率；(3)所有的实数a,b,方程ax+b=0恰有唯一解；(4)存在实数x，使得 .2121xx分析 首先明确命题中的量词，再确定命题的名称解(1)是一个存在性命题，用符号表示为：aR，sin2a+cos2a1，是一个假命题(2)是一个全称命题，用符号表示为：直线l，l存在斜率，是一个假命题(3)是一个全称命题，用符号表示为：a，bR，方程ax+b=0恰有唯一解，是一个假命题(4)是一个
6、存在性命题，用符号表示为：xR，=2，是一个假命题211xx变式2-1判断下列命题的真假.(1)每个指数函数都是单调函数；(2)任何实数都有算术平方根；(3)任意xx|x是无理数，x2是无理数；(4)存在xR,x30.解析：(1)指数函数的形式为y=ax(其中a0且a1)，定义域x|xR，对每一个符合题意的a，函数y=ax都是单调的，当a1时，函数y=ax在R上为增函数，当0a1时，函数y=ax在R上为减函数，所以，全称命题“每个指数函数都是单调函数”是真命题(2)-1是实数，但x2=-1无解，也就是无意义，所以，全称命题“任何实数都有算术平方根”是假命题(3)是无理数，=3是有理数，所以，全
7、称命题“任意xx|x是无理数，x2是无理数”是假命题(4)由于-1R，当x=-1时，x30，所以，存在性命题“存在xR，x30”是真命题132(3)题型三 含有一个量词的命题的否定【例3】写出下列命题的否定并判断真假.（1）p:不论m取何实数，方程x2+mx1=0必有实数根；（2）p:有的三角形的三条边相等；（3）p:菱形的对角线互相垂直；（4）p:.2000,210 xN xx 分析：根据命题所含量词，确定是全称命题还是存在性命题，对其否定做判断解(1)p：存在一个实数m，使方程x2+mx-1=0没有实数根因为该方程的判别式D=m2+40恒成立，故p为假命题(2)p：所有的三角形的三条边不全
8、相等显然p为假命题(3)p：有的菱形对角线不垂直显然p为假命题(4)p：xN，x2-2x+10.显然当x=1时，x2-2x+10不成立，故p是假命题变式3-1写出下列命题的否定形式.(1)有些三角形的三个内角都等于60;(2)能够被3整除的整数，能够被6整除；(3)R,使得函数y=sin(2x+)是偶函数；(4)x,yR,|x+1|+|y-1|0.解析：(1)任意一个三角形的三个内角不都等于60.(2)存在一个能够被3整除的整数，不能够被6整除(3)qR，函数y=sin(2x+)都不是偶函数(4)x，yR，|x+1|+|y-1|0.题型四复合命题真假判断的综合应用【例4】(2011兴化中学调研
9、)设命题p:函数的定义域是R,命题q:不等式对一切正实数x均成立.(1)如果p是真命题，求实数a的取值范围；(2)如果p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围.21()lg()16f xaxxa39xxa分析 由p是真命题，知ax2-x+a0，对任意实数都成立，可求a的范围116解(1)由题意，若p是真命题，则ax2-x+a0对任意实数都成立；若a=0，显然不成立；若a0，显然a0，且=1-0，解得a2.故如果p是真命题时，实数a的取值范围是(2，+)(2)若命题q为真命题时，则3x-9xa对一切正实数x均成立，x0，3x1，3x-9x(-，0)，所以如果q是真命题时，a0.又p
10、或q为真命题时，命题p且q为假命题，所以命题p与q必有一真一假，或解得0a2.综上所述，实数a的取值范围是0,211624a21139324xxx 20aa 20aa【例】已知命题p:函数f(x)=(52m)x是减函数.若 为真命题，求实数m的取值范围.错解命题p:f(x)=(52m)x是减函数，：函数f(x)=(52m)x为增函数,052m1,2m,实数m的取值范围是 .易错警示pp525(2,)2错解分析本题的错误在于由p得到 :函数f(x)是增函数.事实上，命题p的否定包括“函数f(x)是增函数”和“f(x)不单调”两种情形.为了避免出错，处理这类问题时，不宜直接得到命题 ,一般是先由原命题为真得出参数的取值范围，再研究 为真或为假时参数的取值范围.ppp正解：由f(x)=-(5-2m)x是减函数，知5-2m1，m2，当綈p为真时，m2，实数m的取值范围是2，+)链接高考(2010安徽)命题“对任何xR,|x-2|+|x-4|3”的否定是.知识准备:全称命题的否定是存在性命题.解：存在xR，|x-2|+|x-4|3.
