1、2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系素养目标定方向 课程标准学法解读1掌握直线与圆的三种位置关系2会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系3理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用1能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系(逻辑推理)2能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题(数学建模)必备知识探新知 知识点1 直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数_2_个_1_个_0_个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d_dr_dr_dr_代数法：由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式_0_0_0_思
2、考：几何法、代数法判断直线与圆的位置关系各有什么特点？提示：“几何法”侧重于图形的几何性质，步骤较简洁；“代数法”则侧重于“坐标”与“方程”，判断直线与圆的位置关系，一般用几何法知识点2 解决实际问题的一般程序仔细读题(审题)建立数学模型解答数学模型检验，给出实际问题的答案知识点3 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线，将平面几何问题转化为代数问题第二步：通过代数运算，解决代数问题第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论关键能力攻重难 题型探究题型一判断直线与圆的位置关系典例1已知直线方程mxym10，圆的方程x2y
3、24x2y10当m为何值时，直线与圆(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点？分析可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可求出圆心到直线的距离，通过与半径比较大小判断解析方法1：将直线mxym10代入圆的方程，化简、整理，得(1m2)x22(m22m2)xm24m404m(3m4)，当0，即m0或m时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当0，即m0或m时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当0，即m0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点方法2：已知圆的方程可化为(x2)2(y1)24，即圆心为(2,1)，半径r2圆心(2,1)到直线mxym10的距离d当d2，即m
4、0或m时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点，当d2，即m0或m时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d2，即m0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点规律方法直线与圆的位置关系的判断方法直线与圆的位置关系反映在三个方面：一是点到直线的距离与半径大小的关系；二是直线与圆的公共点的个数；三是两方程组成的方程组解的个数因此，若给出图形，可根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出交点解题时可根据条件作出恰当的选择题型二直线与圆相切典例2过点A(4，3)作圆C：(x3)2(y1)21的切线，求此切线的方程分析利用圆心到切线的距离等于
5、圆的半径求出切线斜率，进而求出切线方程解析因为(43)2(31)2171，所以点A在圆外(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4)因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为1，所以1，即|k4|，所以k28k16k21，解得k所以切线方程为y3(x4)，即15x8y360(2)若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x4距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x4综上，所求切线方程为15x8y360或x4规律方法切线方程的求法1求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系，切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方
6、程若k0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为yb或xa2求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解：设切线方程为yy0k(xx0)，即kxykx0y00，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出但要注意，此时的切线有两条，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可通过数形结合求出【对点训练】(1)过圆x2y22x4y0上一点P(3,3)的切线方程为(B)A2xy90B2xy90C2xy90D2xy90(2)由直线yx1上任一点向圆(x3)2y21引切线，则该切线长的最小值为(C)A1B2CD3解析(1)x2y22x4y0的圆心为C(1,2)，
7、kPC，切线的斜率k2，切线方程为y32(x3)，即2xy90(2)圆心C(3,0)到yx1的距离d2所以切线长的最小值为l题型三直线与圆相交典例3求直线l：3xy60被圆C：x2y22y40截得的弦长分析解法一求出直线与圆的交点坐标，解法二利用弦长公式，解法三利用几何法作出直角三角形，三种解法都可求得弦长解析解法一：由得交点A(1,3)，B(2,0)，故弦AB的长为|AB|解法二：由消去y，得x23x20设两交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系，得x1x23，x1x22|AB|，即弦AB的长为解法三：圆C：x2y22y40可化为x2(y1)25，其圆心
8、坐标(0,1)，半径r，点(0,1)到直线l的距离为d，所以半弦长为，所以弦长|AB|规律方法直线与圆相交时的弦长求法几何法利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2d22解题代数法若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长弦长公式法设直线l：ykxb与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l|x1x2|【对点训练】过圆x2y28内的点P(1,2)作直线l交圆于A，B两点若直线l的倾斜角为135，则弦AB的长为_解析由题意知直线l的方程为y2(x1)，即xy10，圆心O(0,0)到直线l的距
9、离为d，则有|AB|22题型四直线与圆的方程的应用典例4一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解析以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2y29，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为1，即4x7y280，圆心(0,0)到l：4x7y280的距离d，因为
10、3，所以直线与圆相离故轮船不会受到台风的影响规律方法解决直线与圆的实际应用题的步骤(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去【对点训练】设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x2)2(y3)24表示，村外一小路方程可用xy20表示，则从村庄外围到小路的最短距离是_2_解析从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，3)到直线xy20的距离减去圆的半径2，即22易错警示忽视隐含条件典例5已知圆x2y22x2yk0和定点P(1，1)，若过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是(C)A(2，)B(，2)C(2,2)D(，2)(2，)错解选A由题意知点P(1，1)必须在圆的外部，则12(1)2212(1)k0，解得k2答案：A辨析产生错解的原因是忽视了一个隐含条件：必须保证方程x2y22x2yk0表示一个圆正解因为方程x2y22x2yk0表示一个圆，所以444k0，解得k2又由错解知，要使P在圆外，则k2，故2k2，故选C
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