人大附中高二年级第一学期期末数学（理）练习.docx

1、人大附中高二年级第一学期期末数学（理）练习&选修2-1模块考核试卷2022年1月14日命题人：吴中才 候立伟 审卷人：梁丽平说明：本试卷分I卷和II卷，I卷17道题，共100分，作为模块成绩；II卷4道题，共50分；I卷、II卷共21题，合计150分，作为期中成绩；考试时间120分钟；请在密封线内填写个人信息。I卷（共17题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1. 集合，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件2. 若,

2、，则 ( )A. B. C. D. 3. 如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，则等于（ ）A. B. C. D. 4. 给定原命题：“若，则全为”，那么下列命题形式正确的是（ ）A. 逆命题：若全为，则B. 否命题：若，则全不为C. 逆否命题：若全不为，则D. 否定：若，则全不为05. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程是（ ）A. B. C. D. 6. 已知点是双曲线上一点，若，则的面积为（ ）A. B. C. 5 D. 7. 已知是经过抛物线的焦点的弦，若点、的横坐标分别为和，则该抛物线的准线方程为（ ）A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，动点到两条坐标轴的距离之

3、和等于它到点的距离，记点的轨迹为曲线，则下列命题中：曲线关于原点对称； 曲线关于轴对称；曲线关于轴对称； 曲线关于直线对称所有真命题的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9. 以为渐近线且经过点的双曲线方程为_.10. 已知向量，若，则_.11. 设、是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，若，则_，_.12. 已知的顶点,是边上的高，则点的坐标为_.13. 已知命题 方程有两个不相等的负根；命题：方程无实根.若为真，为假，则的取值范围为_.14. 已知点，点，直线的斜率之积为，记点的轨迹为.（I）曲线的方程为_；

4、（II）设为曲线上的两点，满足(为原点)，则面积的最小值是_三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本题满分12分）已知向量，.（I） 计算和；（II） 求 16. （本题满分14分） 如图，在直三棱柱中，.（I） 求证：;（II） 求直线与平面所成的角的正弦值.17. （本题满分12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，经过点的直线与抛物线相交于两点.（I） 求抛物线的标准方程；（II） 若的面积为，求.II卷（共6道题，满分50分）一、 填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18. 已知点为抛物线上的一个动点

5、，过点作1的两条切线，切点为.（I）当最小时，点的坐标为_；（II）四边形的面积的最小值为_.19. 在四面体中，若分别是棱、的中点，则相交于一点，则点为四面体的重心.设，.（I）重心的坐标为_；（II）若的重心为，则_.二、解答题（本大题共2小题，满分30分.请把解答过程写在答题纸上.）20. （本题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点分别为、，过点的直线与椭圆相交于两点，且的周长为.（I） 求椭圆的标准方程；（II） 若原点O关于直线的对称点在椭圆上，求直线的方程.21. （本题满分16分）如图(1)，在中，是边上一点，沿将图形折叠成图（2），使得二面角是直二面角.（I） 若是边的

6、中点，求二面角的大小；（II） 若，求点到平面的距离；（III） 是否存在一点，使得二面角是直二面角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. （1） （2）人大附中2022-2022学年度第一学期期末高二年级数学（理）练习&必修1-1模块考核试卷参考答案I卷（共17题，满分100分）一、 选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）题号12345678答案ACCADCDA二、 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9. 10. 11. ， 12. 13. 14. （I） （II） 三、解答题（本大题共3小题，共38分）15. 解:（I） （II） 又，故 16. 解：（I）证明：如

7、图所示，连接，交于点. 由题意可知：在直三棱柱中，底面 而 故由线面垂直的性质定理可得：， 又，即， 故由线面垂直的判定定理可得： 而 故由线面垂直的性质定理可得： 又在正方形中， ， 于是有： 而，故可得： （II）以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.，由题意易知：A点坐标为 ，B点坐标为 点坐标为，点坐标为 故有：， 设平面的法向量 则有：， 即 取，可得： 故平面的法向量设直线与平面所成角为，则 17. 解：（I）依题意可设：抛物线的标准方程为 由其焦点为易得： 故所求抛物线的标准方程为 （II） 当直线斜率不存在即与轴垂直时，易知： 此时的面积为 不

8、符合题意，故舍去. 当直线斜率存在时，可设其为，则此时直线的方程为 将其与抛物线的方程：联立化简整理可得： 设两点坐标分别为， 由韦达定理可得： 法1：由弦长公式可得： 由点到直线的距离公式可得：坐标原点到直线的距离为 故的面积为 解得： 法2： 而 故 解得：， 又 因此，当的面积为4时，所求弦的长为16.II卷（共6道题，满分50分）一、 填空题（本题共2小题，每题10分，共20分）18. （I）或 （II） 19. （I） （II） 二、解答题（本大题共2小题，满分30分.）20. 解：（I）依题意可设椭圆的标准方程为 由左右焦点坐标可知： 由的周长为可得： 于是得： 又 故可得： 所求

9、椭圆的方程为 （II）由题意易知：直线的斜率存在，可设其为，故直线的方程为 设原点关于直线的对称点的坐标为 则线段的中点的坐标为 由题意可知：点在直线上，故有 点在椭圆上，故有 线段与直线垂直，故有 由可得： 将其代入可得： 故所求直线的方程为或 21. 解：（I）法一：在图（1）中， 当为边的中点时， 且有 在图（2）中取的中点 易知：在中， 在中， 故即为半平面与半平面所成角在图（2）中， 又， 故由线面垂直的判定定理可得： 而 再由线面垂直的性质定理可得： 因二面角为直二面角， 且， 故 又 因此， 于是在中， 又在图（1）中， 故在中， 即所求二面角的大小为 法二： 以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系 由题意可知： 四点坐标分别为A，B C，D 于是有：， ， 设平面的法向量，平面的法向量 则有 即 即 取， 可得平面的法向量为，平面的法向量 设二面角的大小为，由图（2）可知：为锐角故 因此，所求二面角的大小为.（II）在图（1）中，当时，有， 过点作交于点，易知， 在中， 过点作于点，过点作于点 易得：， 于是： 在图（2）中，由二面角为直二面角可知： 设点到平面的距离为 在三棱锥中，有 即： 于是 故点到平面的距离为 18 / 18