1、由于图形简明、直观,因此很多数学问题的求解往往借助于图形来分析,下面例析运用集合中Venn图的三个阶梯:识图用图构图.阶梯一识图:用集合的交、并、补运算表示给出的Venn图【例1】(2020山东泰安一模,1)已知全集U=R,集合M=x|-3x1,N=x|x|1,则阴影部分表示的集合是()A.-1,1B.(-3,1C.(-,-3)(-1,+)D.(-3,-1)答案D解析由图可知,阴影部分表示的集合为M(UN).由U=R,N=x|x|1,可得UN=x|x1,又M=x|-3x1,所以M(UN)=x|-3x-1.故选D.对点训练1如图,I是全集,M,P,S是I的3个子集,则阴影部分所表示的集合是()A
2、.(MP)SB.(MP)SC.(MP)(IS)D.(MP)(IS)阶梯二用图:借助Venn图求集合或集合的交、并、补【例2】设全集U=x|0x10,xN+,若AB=3,A(UB)=1,5,7,(UA)(UB)=9,则A=,B=.答案1,3,5,72,3,4,6,8解析由题知U=1,2,3,9,根据题意,画出Venn图如右图所示,由Venn图易得A=1,3,5,7,B=2,3,4,6,8.对点训练2已知M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N(IM)=,则MN=.阶梯三构图:构造Venn图解某些应用题【例3】(2020新高考全国1,5)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢
3、足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%答案C解析设既喜欢足球又喜欢游泳的学生比例数为x.由Venn图可知,82%-x+60%=96%,解得x=46%,故选C.对点训练3向100名学生调查对A,B两件事的看法,得到如下结果:赞成A的人数是全体的35,其余不赞成;赞成B的人数比赞成A的人数多3人,其余不赞成.另外,对A,B都不赞成的人数比对A,B都赞成的学生人数的13多1人,则对A,B都赞成的学生人数为,对A,B都不赞成的学生人数为.解答集合问题时应注意的五点注意事项(1)注意集
4、合中元素的性质互异性的应用,解答时要注意检验.(2)注意描述法给出的集合的代表元素的特征.如y|y=2x,x|y=2x,(x,y)|y=2x表示不同的集合.(3)注意的特殊性.在利用AB解题时,应对A是否为进行讨论.(4)注意数形结合思想的应用.在进行集合运算时,要尽可能借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.(5)注意补集思想的应用.在解决AB时,可以利用补集思想,先研究AB=的情况,再取补集.素养提升微专题1运用Venn图解题的三个阶梯对点训练1C阴影部分是集合M与P的公共部分,且在集合S的外部,即(MP)(IS),故选C.对点训练2M因为M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,N(IM)=,所以由Venn图可知NM,所以MN=M.对点训练33613由题意知赞成A的人数为10035=60,赞成B的人数为60+3=63.如图,记100名学生组成的集合为U,赞成A的学生的全体记为集合A,赞成B的学生的全体记为集合B,并设对A,B都赞成的学生数为x,则对A,B都不赞成的人数为x3+1,由题意,知(60-x)+(63-x)+x+x3+1=100,解得x=36.所以对A,B都赞成的学生人数为36人,对A,B都不赞成的学生人数为13人.
