1、基础诊断考点突破课堂总结第7讲 解三角形应用举例 基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理 1.仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线_叫仰角，目标视线在水平视线_叫俯角(如图1).上方下方基础诊断考点突破课堂总结2.方位角：从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫作方位角.如B点的方位角为(如图2).3.方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.基础诊断考点突破课
2、堂总结诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)东北方向就是北偏东 45的方向.()(2)从 A 处望 B 处的仰角为，从 B 处望 A 处的俯角为，则，的关系为 180.()(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，2.()(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.()解析(2).(3)俯角是视线与水平线所构成的角.答案(1)(2)(3)(4)基础诊断考点突破课堂总结2.若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()A.北偏东15B.北偏西15C.北偏东10D.北偏西10 解析 如图所示，AC
3、B90，又 ACBC，CBA45，而 30，90453015.点 A 在点 B 的北偏西 15.答案 B 基础诊断考点突破课堂总结3.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔 18 km，速度为 1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为 30，经过 1 min 后又看到山顶的俯角为 75，则山顶的海拔高度为(精确到 0.1 km，参考数据：31.732)()A.11.4 kmB.6.6 km C.6.5 kmD.5.6 km 基础诊断考点突破课堂总结解析 AB1 000 160503(km)，BCABsin 45sin 30 503 2(km).航线离山顶 h 503
4、2sin 75 503 2sin(4530)11.4(km).山高为 1811.46.6(km).答案 B 基础诊断考点突破课堂总结4.(教材改编)如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是m米，BAC，ACB，则A，B两点间的距离为()A.msin sin B.msin sin（）C.msin sin（）D.msin（）sin sin 基础诊断考点突破课堂总结解析 在ABC 中，ABC()，ACm，由正弦定理，得 ABsin ACsinABC，所以 ABmsin sin（）msin sin（）.答案 C 基础诊断考点突破课
5、堂总结5.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是_n mile.解 析 设 两 船 之 间 的 距 离 为 d，则 d2 502 302 25030cos 1204 900，d70，即两船相距70 n mile.答案 70 基础诊断考点突破课堂总结考点一 测量高度问题【例1】(2015湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD
6、_m.基础诊断考点突破课堂总结解析 在ABC 中，AB600，BAC30，ACB753045，由正弦定理得BCsinBACABsinACB，即 BCsin 30 600sin 45，所以 BC300 2(m).在 RtBCD 中，CBD30，CDBCtanCBD300 2tan 30100 6(m).答案 100 6基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又
7、不容易搞错.(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.基础诊断考点突破课堂总结【训练1】(2017郑州一中月考)如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为，在塔底C处测得A处的俯角为.已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.解 由已知得，BCA90，ABC90，BAC，CAD.在ABC 中，由正弦定理得ACsinABCBCsinBAC，基础诊断考点突破课堂总结即ACsin（90）BCsin（），AC BCcos sin（）hcos sin（）.在Rt ACD中，CD ACsin CAD ACsin hcos sin sin（）.故山高 CD 为hcos sin sin
8、（）.基础诊断考点突破课堂总结考点二 测量距离问题【例 2】如图，A，B 两点在河的同侧，且 A，B 两点均不可到达，要测出 AB 的距离，测量者可以在河岸边选定两点 C，D，测得 CDa，同时在 C，D 两点分别测得BCA，ACD，CDB，BDA.在ADC 和BDC 中，由正弦定理分别计算出 AC 和 BC，再在ABC 中，应用余弦定理计算出 AB.基础诊断考点突破课堂总结若测得 CD 32km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，求 A，B 两点间的距离.解 ADCADBCDB60，ACD60，DAC60，ACDC 32(km).在BCD 中，DBC45，由正弦定理，得 BCDCsi
9、nDBCsinBDC32sin 45sin 30 64(km).基础诊断考点突破课堂总结在ABC 中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 4534382 32 64 22 38.AB 64(km).A，B 两点间的距离为 64km.规律方法(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】如图所示，要测量一水塘两侧 A，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置 C，用经纬仪测出角，再分别测出 A
10、C，BC 的长 b，a，则可求出 A，B 两点间的距离，即 AB a2b22abcos.若测得 CA400 m，CB600 m，ACB60，试计算 AB 的长.基础诊断考点突破课堂总结解 在ABC 中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB，AB2400260022400600cos 60280 000，AB200 7(m)，即 A，B 两点间的距离为 200 7 m.基础诊断考点突破课堂总结考点三 测量角度问题【例 3】某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在 A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为 45，距离 A 为 10 海里的 C 处，并测得渔船正沿方位角为 1
11、05的方向，以 10 海里/时的速度向小岛 B 靠拢，我海军舰艇立即以 10 3海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.基础诊断考点突破课堂总结解 如图所示，设所需时间为 t 小时，则 AB10 3t，CB10t，在ABC 中，根据余弦定理，则有 AB2AC2BC22ACBCcos 120，可得(10 3t)2102(10t)221010tcos 120.整理得 2t2t10，基础诊断考点突破课堂总结解得 t1 或 t12(舍去)，所以舰艇需 1 小时靠近渔船，此时 AB10 3，BC10.在ABC 中，由正弦定理得BCsinCABABsin 120，sinCABBCsin
12、120AB10 3210 3 12.CAB30.所以舰艇航向为北偏东 75.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义.(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.基础诊断考点突破课堂总结【训练3】如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD等于()A.30B.45 C.60D.75 基础诊断考点突破课堂总结解析 依题意可得 AD2
13、0 10m，AC30 5m，又 CD50 m，所以在ACD 中，由余弦定理得 cosCADAC2AD2CD22ACAD（30 5）2（20 10）2502230 520 10 6 0006 000 2 22，又 0CAD180，所以CAD45，所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45.答案 B 基础诊断考点突破课堂总结思想方法 1.利用解三角形解决实际问题时：(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义.2.在三角形和三角函数的综合问题中，要注意边角关系相互制约，推理题中的隐含条件.基础诊断考点突破课堂总结易错防范 1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误.
