1、第九节导数概念及其运算热点命题分析学科核心素养从近五年的考查情况来看，本节一直是高考的热点，主要考查导数的运算、求导法则以及导数的几何意义导数的运算一般不单独考查，而是在考查导数的应用时与单调性、极值与最值综合考查，导数的几何意义最常见的是求切线方程和已知切线方程求参数值，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问，难度中等.本节通过导数的运算及其几何意义考查考生的数学运算、逻辑推理、直观想象核心素养.授课提示：对应学生用书第37页知识点导数的概念及运算1函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率li li 为函数yf(x)在xx0处的导数，
2、记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)li li .(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2函数yf(x)的导函数如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数yf(x)在开区间内的导函数记作f(x)或y.3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)exf(x)
3、exf(x)ax(a0，且a1)f(x)axln_af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，且a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)5复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与 u对x的导数的乘积 温馨提醒 二级结论1奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数2函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号
4、反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”必明易错1利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x)x1与指数函数的求导公式(ax)axln a混淆2求曲线切线方程时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者3曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有区别1函数yxcos xsin x的导数为()Axsin xBxsin xCxcos x Dxcos x答案：B2(2021郑州模拟)曲线y1在点(1，1)处的切线方程为 _.答案：2xy103有一机器人的运动方程为st2(t
5、是时间，s是位移)，则该机器人在t2时的瞬时速度为_答案：4(易错题)已知直线yx1是函数f(x)ex图象的切线，则实数a_.答案：e2授课提示：对应学生用书第38页题型一导数的运算自主探究1(2021宜昌模拟)已知f(x)是函数f(x)的导数，f(x)f(1)2xx2，则f(2)()A.BC. D2答案：C2(2021泰安模拟)已知f(x)x(2 019ln x)，若f(x0)2 020，则x0()Ae2B1Cln 2De答案：B3(2020高考全国卷)设函数f(x).若f(1)，则a_.解析：f(x)，可得f(1)，即，解得a1.答案：1题型二导数的几何意义多维探究导数的几何意义是每年高考
6、的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中、低档题常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)求切点坐标；(3)求与切线有关的参数取值(范围).考法(一)求切线方程例1(1)(2020高考全国卷)曲线yln xx1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为_(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为_解析(1)设切点坐标为(x0，y0)，因为yln xx1，所以y1，所以切线的斜率为12，解得x01.所以y0ln 1112，即切点坐标为(1,2)，所以切线方程为y22(x1)，即2xy0.(2)因为
7、点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，所以设切点为(x0，y0)又因为f(x)1ln x，所以直线l的方程为y1(1ln x0)x.所以由解得x01，y00.所以直线l的方程为yx1，即xy10.答案(1)2xy0(2)xy10求曲线yf(x)的切线方程若已知曲线yf(x)过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线方程(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P(x1，f(x1)；第二步：写出过点P(x1，f(x1)的切线方程yf(x1)f(x1)(xx1)；第三步：将点P的坐标(x0，
8、y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程yf(x1)f(x1)(xx1)可得过点P(x0，y0)的切线方程考法(二)求切点坐标例2(2019高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线yln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是_解析设A(m，n)，则曲线yln x在点A处的切线方程为yn(xm)又切线过点(e，1)，所以有n1(me)再由nln m，解得me，n1.故点A的坐标为(e,1)答案(e,1)考法(三)求参数值或范围例3(1)已知曲线yaexxln x在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()Aae，b1Bae，b
9、1Cae1，b1 Dae1，b1(2)(2021成都模拟)若曲线f(x)ln xax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是()A. BC(0，) D0，)解析(1)略(2)f(x)2ax(x0)，根据题意有f(x)0(x0)恒成立，2ax210(x0)恒成立，即2a(x0)恒成立，a0，故实数a的取值范围为0，)答案(1)D(2)D与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值kf(x0)(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0)，则切线方
10、程为yf(x0)f(x0)(xx0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.题组突破1(2021钟祥模拟)已知函数f(x)，则函数f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程为()Axy10Bxy10Cxy10Dxy10答案：B2(2021太原模拟)已知函数f(x)xln xa的图象在点(1，f(1)处的切线经过原点，则实数a的值为()A1B0C.D1答案：A3若曲线C1：yax2(a0)与曲线C2：yex存在公共切线，则a的取值范围为_解析：由yax2(a0)，得y2ax.由yex，得yex.曲线C1：yax2(a0)与曲线C2：yex存在公共切线，设公共切线与曲线C1切于点(x1，a
11、x)，与曲线C2切于答案：导数几何意义应用中的核心素养(一)数学运算两曲线的公切线应用题例1(1)已知定义在(0，)上的函数f(x)x2m，h(x)6ln x4x，设两曲线yf(x)与yh(x)在公共点处的切线相同，则m值等于()A3B1C3D5(2)(2020高考全国卷)若直线l与曲线y和圆x2y2都相切，则l的方程为()Ay2x1 By2xCyx1 Dyx解析(1)设函数f(x)x2m，h(x)6ln x4x在公共点(a，b)处的切线相同(a0)，由题得f(x)2x，h(x)4，所以解得a1，b4，m5.(2)圆x2y2的圆心为原点，半径为，经检验原点与选项A，D中的直线y2x1，yx的距
12、离均为，即两直线与圆x2y2均相切，原点与选项B，C中的直线y2x，yx1的距离均不是，即两直线与圆x2y2均不相切，所以排除B，C.将直线方程y2x1代入y，得2()210，判别式0，所以直线y2x1与曲线y不相切，所以排除A.答案(1)D(2)D1.两曲线yf(x)，yg(x)在公共点(a，b)处有相同的切线，则满足方程组解此方程组可得a，进而得b后得出切线方程2求曲线yf(x)，yg(x)切点不同的公切线，分别设出切点坐标(x1，f(x1)，(x2，g(x2)，满足方程组f(x1)g(x2)，据此解得x1或者x2，即可求得公切线方程(二)创新应用导数的几何意义与函数性质的交汇问题例2(2
13、021石家庄模拟)设aR，函数f(x)exaex的导函数是f(x)，且f(x)是奇函数若曲线yf(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为()Aln 2 Bln 2C. D解析对f(x)exaex求导得f(x)exaex，又f(x)是奇函数，故f(0)1a0，解得a1，故有f(x)exex，设切点为(x0，y0)，则f(x0)ex0ex0，解得ex02或ex0(舍去)，所以x0ln 2.答案A求解导数的几何意义与函数性质交汇问题的2个注意点(1)要注意函数相关性质在解题中的作用(2)抓住导数的几何意义，利用函数性质或图象求解问题题组突破1已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为()A3xy40B3xy40C3xy20D3xy40答案：A2已知f(x)ex(e为自然对数的底数)，g(x)ln x2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为()Ayx或yx1Byex或yx1Cyex或yx1Dyx或yx1解析：设切点分别为(x1，ex1)，(x2，ln x22)，因为f(x)ex，g(x)，所以ex1，所以，所以(x21)(ln x21)0，所以x21或x2，因此直线l的方程为y21(x1)或y1e，即yex或yx1.答案：C
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