1、福建师大附中2003年高考数学（文科）模拟试卷（四）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分. 考试时间120分钟，满分150分.参考公式： 三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式： （其中、分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长）球体的体积公式： （其中表示球的半径）第卷（选择题，共60分）一、选择题：（本题包括12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意.）1. 若复数的辐角为，实部为，则等于（ ）A. B. C. D. 2. 已知集合、，则满足的、的组数共有（ ）A. 4组B. 6组C. 8组D. 9组3. 不等式的解集是（ ）A.
2、 B. C. D.4. 如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长10.4%，那么经过年可以增长到原来的倍，则函数的图象大致为（ ）5. 若圆上有且仅有两点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（ ）A. （4，6）B. C. D.6. 在中，若，则是（ ）A. 等腰三角形但非直角三角形B. 直角三角形但非等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形7. 把一块半圆形薄铁板卷成一个高为的圆锥筒（无底），若不计损耗，则此圆锥的底面半径为（ ）A. B. C. D. 8. 如图，正方形中，是以为圆心、为半径的弧，若以为轴旋转一周，则图中、各部分旋转后所得的旋转体的体积比为（ ）A. 123B. 1
3、11C. 312D. 29. 已知二次函数对任意实数都有，且在闭区间上有最大值5，最小值1，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 10. 已知自然数满足，则展开式中常数项为（ ）A. -12B. -60C. -160D. 6011. 右表是高考第一批录取的一份志愿表.现有4所重点院校，每所院校有3个专业供你选择.如果此表格须填满且要求所选的学校不许重复，所选的同一院校的专业也不许重复，那么满足以上条件的填写不同的方法共有（ ）学 校专 业（）12（）12（）12A. 5184种B. 864种C. 648种D. 112种12. 用一张正方形包装纸把一个棱长为的立方体木块包住，包装纸的最小面
4、积是（ ）A. B. C. D. 第卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本题包括4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.）13. 直线交椭圆于、两点，弦的中点为，若（为坐标原点），则 .14. 一个热气球在第一分钟时间里上升了25米高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热气球最多能上升 米.15. 给定以下四个命题：函数是偶函数；是函数的图象的一条对称轴方程；若、均是第一象限角，且，则；“”是“”的既不充分也不必要条件.其中正确命题的序号是 .16. 函数如果方程有且只有一个实根，那么 .三、解答题：（本题包括6小题，共74分. 解答应写出
5、文字说明、证明过程或演算步骤.）17. (本小题满分12分)已知函数.(1) 求函数的最小正周期及单调递增区间；(2) 该函数图象可由的图象经过怎样平移和伸缩变换而得到？(3) 用五点法画出该函数在一个周期内的图象.18. (本小题满分12分)如图，在棱长为的正方体中，为的中点.(1) 求证：；(2) 求点到平面的距离； (3) 求二面角的余弦值.19. (本小题满分12分) 若动点与两定点、 的连线的斜率的乘积为常数，求动点的轨迹方程，并判定轨迹是什么图形.20. (本小题满分12分)某小学考虑到教室的采光要求，需将过去的50个窗户换成大窗户，新窗户的规格是0.81.5平方米. 窗框为塑钢材
6、料，该种材料每根长6米，价格200元. 问购买多少根最省钱？（要求：窗户的每一边不能有接缝.）21. (本小题满分12分)已知、为常数，且，函数同时满足条件：；方程有惟一解，求、的值.22. (本小题满分14分)在1与2之间插入个正数使这个数成等比数列；又在1与2之间插入个正数，使这个数成等差数列. 记，.(1) 求数列和的通项公式；(2) 当时，比较与的大小，并加以证明.试卷（四）一、选择题1. A 2. C 3. D 4. D 5. A 6. C 7. D 8. B 9. B 10. D 11. A 12. C 提示：如图：二、填空题13. 14.125 15. 16. 1三、解答题17.
7、 解：（满分12分） . （1）最小正周期为. 由 ，得： ， .单调递增区间为. . （2）该函数图象由图象右移单位，得图象，再把图象上各点的横坐标缩小到原来的,纵坐标不变，得到图象，再把图象向下平移单位，就得到该函数图象. （3）列表：00100 画图： 18. 解：（满分12分） （1）连结正方体对角线及面对角线， 为正方形，与互相垂直平分. 设，连.为中点，为中点，.在底面的射影为，由三垂线定理知 .同理可证，又，.已证，.又，. （2）设到平面距离为，由（1）知，在Rt中， . 由，得，. . 中可求得. ，. . 把代入得 . （3）取中点，则. 作于，连，则. 为二面角的平面角.
8、 ， . 所求二面角的平面角为的补角，其余弦值为.19. 解：（满分12分）如图，依题意，得.，即为动点M的轨迹方程.（1）当时，表示中心在原点、焦点在轴上的双曲线.（2） 当时，表示中心在原点、焦点在轴上的椭圆； 当时，表示圆心在原点、半径为的圆； 当时，表示中心在原点、焦点在轴上的椭圆.20. 解：（满分12分） 50个窗户需要0.8米长的料和1.5米长的料各100根. 现将6米长的料的截法及残料列表如下：方 案12345678根数0.8米765432101.5米00112234残 料0.4米1.2米0.5米1.3米0.6米1.4米0.7米0米 要使购买根数最少，每根的残料应尽量少. 从表
9、中可以看出第8种方案没有残料，但它只能获得1.5米长的料，故需与残料第二少的第1种方案结合.因此，先购买25根，可截得1.5米长的料100根，再购买15根，可截得0.8米长的料105根，所以购买的最少根数是：25+15=40（根）.21. 解：（满分12分） ，. 时，方程有惟一解，此时代入得. . 时，方程有惟一解，此时，代入得. ，方程解为. 时，无解. ， 或 ， .22. 解：（满分14分） （1）1，2是正项的等比数列，.，即. 1，2是正项的等差数列，. （2）当时，以下用数学归纳法证明之. ， . 假设时， ，即. 则当时，. ， 要证，只要证 . 当时，整理得，两边都加上，得 ，. 时，成立. 由知对于都有成立.
