1、第三章测评(一)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.排列数A42=()A.6B.8C.12D.242.5人站成一排,甲乙之间恰有一个人的站法有()A.18种B.24种C.36种D.48种3.(2021安徽合肥肥东期中)x+13x8的展开式中的常数项为()A.8B.28C.56D.704.(2021北京西城校级期中)从2,4中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位奇数的个数为()A.36B.24C.18D.125.若将4个学生录取到某大学的3个不同专业,且每个专业至少要录取1个学生,则不同的录取方法共有(
2、)A.12种B.24种C.36种D.72种6.(2021河南郑州一模)x-y2x(x+y)5的展开式中,x3y3的系数为()A.3B.5C.15D.207.(2021湖南娄底模拟)某市高中生健美操代表队运动员由2名男生和3名女生共5名同学组成,这5名同学站成一排合影留念,则3名女生中有且只有两位女生相邻的排列数共有()A.36种B.54种C.72种D.144种8.(2021浙江期中)若二项式3x2-12x3n(nN+)的展开式中含有常数项,则n的最小值为()A.4B.5C.6D.8二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部
3、分选对的得2分,有选错的得0分.9.关于排列组合数,下列结论正确的是()A.Cnm=Cnn-mB.Cn+1m=Cnm-1+CnmC.Anm=mAn-1m-1D.Anm+mAnm-1=An+1m10.已知2x+1xn的展开式中二项式系数之和为64,则下列结论正确的是()A.展开式中各项系数之和为36B.展开式中二项式系数最大的项为160x32C.展开式中无常数项D.展开式中系数最大的项为90x311.(2021江苏张家港期中)从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛,则下列说法正确的有()A.如果4人中男生女生各有2人,那么有30种不同的选法B.如果男生中的甲和女生中的乙必须在内,那么有
4、28种不同的选法C.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内,那么有140种不同的选法D.如果4人中既有男生又有女生,那么有184种不同的选法12.若x-1xn的展开式中存在常数项,则n的取值可以是()A.3B.4C.5D.6三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.C40+C42+C44=.14.(x-2)5的展开式中x的系数是.15.设(1+x)n=a0+a1x+anxn,若a1+a2+an=63,则展开式中系数最大的项是.16.(2021江苏润州校级期中)某省农业厅派出6名农业技术专家(4男2女)并分成两组,到该省两个贫困县参加扶贫工作,若要求女专家不单独成组,且每组至多4
5、人,则不同的安排方案共有种.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021山东枣庄薛城校级月考)(1)解方程:Am3=6Cm4;(2)解不等式:C8x-13C8x.18.(12分)求x2+1x+25的展开式中的常数项.19.(12分)(2021江苏扬州邗江校级期中)(1)已知函数f(x)=(1+x)n,nN+,当n=8时,求展开式中系数最大的项;(2)化简:Cn02n-1+Cn12n-2+Cn22n-3+Cnn2-1.20.(12分)(2021安徽合肥庐阳校级期中)某晚会上有4个歌舞类节目和3个语言类节目,分别求满足以下各条件的不同表演顺
6、序种数.(1)前两个节目中既有歌舞类节目也有语言类节目;(2)3个语言类节目都不相邻;(3)3个语言类节目相邻,且指定的某个歌舞类节目不排在最后.21.(12分)(2021上海虹口校级期中)在二项式2x3+1x12的展开式中,(1)求该展开式中的常数项;(2)求该展开式中x4的系数;(3)求该展开式中二项式系数最大的项.22.(12分)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数.(1)在组成的三位数中,求所有偶数的个数;(2)在组成的三位数中,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,则称这个数为“凹数”,如213,301,423等都是“凹数”,试求“凹数”的个数.参考答案第
7、三章测评(一)1.CA42=43=12.2.C首先从除甲乙之外的三人中随机抽出一人放在甲乙之间,有3种可能,甲乙之间的人选出后,甲乙的位置可以互换,故甲乙的位置有2种可能,最后,把甲乙及其中间的那个人看作一个整体,与剩下的两个人全排列有A33=6(种)可能,所以共有326=36(种)可能,故选C.3.Bx+13x8的展开式的项Tk+1=C8kx8-k13xk=C8kx8-43k,令8-43k=0,解得k=6,所以T7=C86=C82=872=28,故x+13x8的展开式中的常数项为28.4.B从1,3,5中选两个数字,其中一个排在个位,另一个再和从2,4中选出的一个排在十位和百位,故符合条件的
8、奇数有C32C21C21A22=24(个).5.C根据题意,分两步进行分析:将4名大学生分为3组,有C42=6(种)分组方法;将分好的三组全排列,安排到三个专业,有A33=6(种)情况.则共有66=36(种)录取方法.6.B(x+y)5的展开式的项Tk+1=C5kx5-kyk,令k=3,可得x2y3的系数为C53,令k=1,可得x4y的系数为C51.用x乘含x2y3的项,可得含x3y3的项;用-y2x乘含x4y的项,也能得含x3y3的项,故x-y2x(x+y)5的展开式中,x3y3的系数为C53C51=10-5=5.7.C根据题意,分两步进行分析:先将2名男生排好,有A22=2(种)排法,排好
9、后有3个空位;将3名女生分为两组,有C31=3(种)分组方法,安排到3个空位中,共有C31A22A32=36(种)排法.一组的2名女生再排有A22=2(种)排法,则共有236=72(种)不同排法.8.B3x2-12x3n(nN+)的展开式的项Tk+1=Cnk-12k3n-kx2n-5k,由于展开式中含有常数项,所以2n-5k=0能成立,故当k=2时,n取得最小值5.9.ABD根据组合数的性质可得Cnm=Cnn-m,Cn+1m=Cnm-1+Cnm,故A,B正确;由排列数公式可得Anm=n(n-1)(n-2)(n-m+1),而mAn-1m-1=m(n-1)(n-2)(n-m+1),显然,n(n-1
10、)(n-2)(n-m+1)m(n-1)(n-2)(n-m+1),故C不正确;Anm+mAnm-1=n(n-1)(n-2)(n-m+1)+mn(n-1)(n-2)(n-m+2)=n(n-1)(n-2)(n-m+2)(n-m+1)+m=(n+1)n(n-1)(n-2)(n-m+2)=An+1m,故D正确.故选ABD.10.AB2x+1xn的展开式中二项式系数之和为2n=64,所以n=6.令x=1,可得展开式中各项系数之和为36,故A正确;展开式的项Tk+1=C6k26-kx6-3k2,第4项(k=3)的二项式系数最大,该项为160x32,故B正确;令6-3k2=0,求得k=4,可得展开式第5项为常
11、数项,故C错误;由于Tk+1=C6k26-kx6-32k,检验可得,当k=2时,该项的系数取得最大值,该项为240x3,故D错误.11.BC对于A,如果4人中男生女生各有2人,男生的选法有C62=15(种),女生的选法有C42=6(种),则4人中男生女生各有2人选法有156=90(种),A错误;对于B,如果男生中的甲和女生中的乙必须在内,从剩下的8人中再选2人即可,有C82=28(种)选法,B正确;对于C,从10人中任选4人,有C104=210(种)选法,甲乙都不在其中的选法有C84=70(种),故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有210-70=140(种),C正确;对于D,从10
12、人中任选4人,有C104=210(种)选法,只有男生的选法有C64=15(种),只有女生的选法有C44=1(种),则4人中既有男生又有女生的选法有210-15-1=194(种),D错误.12.BD因为x-1xn的展开式的第(k+1)项为Tk+1=Cnkxn-k-1xk=Cnk(-1)kxn-2k,若x-1xn的展开式中存在常数项,则只需n-2k=0,即n=2k,又nN+,kN,所以n只需为正偶数即可,故选BD.13.8根据题意,C40+C42+C44=1+6+1=8.14.80(x-2)5的展开式的通项为Tk+1=(-2)kC5kx5-k,令5-k=1,可得k=4,所以展开式中x的系数是(-2
13、)4C54=80.15.20x3令x=0,得a0=1,再令x=1,得2n=64,所以n=6,故展开式中系数最大的项是T4=C63x3=20x3.16.48根据题意,分两种情况讨论:6人分为3,3两组时,不会出现两名女专家单独成组情况,有12C63种分组方法,再对应到两个贫困县参加扶贫工作,有A22种情况,此时共有12C63A22=20(种)安排方案;6人分为2,4两组时,有C64C22=15(种)分组方法,除去其中有1种两名女专家单独成组情况,则有14种符合条件的分组方法,再对应到两个贫困县参加扶贫工作,有A22种情况,此时共有14A22=28(种)安排方案.故共有20+28=48(种)安排方
14、案.17.解(1)Am3=6Cm4可化为m(m-1)(m-2)=6m(m-1)(m-2)(m-3)4321,解得m=7.(2)不等式C8x-13C8x可化为8!(8-x+1)!(x-1)!38!(8-x)!x!,即18-x+13x,又8-x+10且x1,不等式进一步化为x3(9-x),解得x274.所以274x9,且xN+,即x=7或8,故该不等式的解集为7,8.18.解原式=x2+22x+22x5=132x5(x+2)25=132x5(x+2)10.求原式的展开式中的常数项,转化为求(x+2)10的展开式中含x5的项的系数,即C105(2)5,所以所求的常数项为C105(2)532=6322
15、.19.解(1)由于函数f(x)=(1+x)n,nN*,则当n=8时,展开式的通项为Tk+1=C8kxk,根据二项式系数的性质可得,当k=4时,展开式中系数最大的项为T5=C84x4=70x4.(2)Cn02n-1+Cn12n-2+Cn22n-3+Cnn2-1=12(Cn02n+Cn12n-1+Cn22n-2+Cnn)=12(2+1)n=3n2.20.解(1)先从歌舞类节目和语言类节目中各选1个,排在前两个节目,其他的任意排,故有C41C31A22A55=2880种;(2)4个歌舞类节目先进行全排列,再将3个语言类节目插入到4个歌舞类节目所形成的空中,有A44A53=1440种;(3)将3个语
16、言类节目相邻捆绑在一起看作一个复合元素,再和除指定的某个歌舞类节目的3个歌舞类节目全排列,最后将指定的某个歌舞类节目插入到所形成的空(不包含最后一个空)中,故有A33A44A41=576(种).21.解二项式2x3+1x12的展开式的项Tk+1=C12k(2x3)12-k1xk=212-kC12kx36-4k,(1)令36-4k=0,得k=9,故常数项为T10=C12923=1760;(2)令36-4k=4,得k=8,故T9=C12824x4=7920x4,故该展开式中x4的系数为7920.(3)二项式2x3+1x12的展开式中二项式系数最大的项为T7=C12626x12=59136x12.22.解(1)当个位是0时,十位和百位从四个元素中选两个进行排列有A42=12(种)结果,当个位不是0时,只能从2和4中选一个,百位从三个元素中选一个,十位从三个元素中选一个有A21A31A31=18(种)结果,根据分类加法计数原理可得,共有12+18=30(种)结果.(2)十位上的数为0时,“凹数”有43=12(个),十位上的数为1时,“凹数”有32=6(个),十位上的数为2时,“凹数”有21=2(个),根据分类加法计数原理可得,共有12+6+2=20(个)“凹数”.
