1、高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 【2012 年高考试题】一、选择题 1.【2012 高考真题重庆理 8】设函数()f x 在 R 上可导，其导函数为,()fx，且函数)()1(xfxy的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A）函数()f x 有极大值(2)f和极小值(1)f （B）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f （C）函数()f x 有极大值(2)f和极小值(2)f （D）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f【答案】【解析】由图象可知当2x时，0)()1(xfxy，所以此时0)(xf，函数递增.当12x时，0)(
2、)1(xfxy，所以此时0)(xf，函数递减.当21 x时，0)()1(xfxy，所以此时0)(xf，函数递减.当2x时，0)()1(xfxy，所以此时0)(xf，函数递增.所以函数)(xf有极大值)2(f，极小值)2(f,选 D.2.【2012 高考真题新课标理 12】设点 P 在曲线12xye上，点Q 在曲线ln(2)yx上，则 PQ 最小值为（）()A 1ln 2 ()B 2(1ln 2)()C 1ln 2 ()D2(1ln 2)【答案】B 高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。【解析】函数12xye与函数ln(2)yx互为反函数，图象关于 yx对称 函数12
3、xye上的点1(,)2xP xe到直线 yx的距离为122xexd 设函数minmin111 ln 2()()1()1 ln 2222xxg xexg xeg xd 由图象关于 yx对称得：PQ 最小值为min22(1 ln 2)d,3.【2012 高考真题陕西理 7】设函数()xf xxe，则（）A.1x 为()f x 的极大值点 B.1x 为()f x 的极小值点 C.1x 为()f x 的极大值点 D.1x 为()f x 的极小值点学【答案】D.【解析】xxxxeexfxexf)(,)(，令0)(xf，则1x，当1x时0)(xf，当1x时0)(xf，所以1x为)(xf极小值点，故选 D.
4、4.【2012 高考真题辽宁理 12】若0,)x，则下列不等式恒成立的是(A)21xexx (B)21111241xxx (C)21cos12xx (D)21ln(1)8xxx【答案】C【解析】设2211()cos(1)cos122f xxxxx，则()()sin,g xfxxx 所以()cos1 0g xx ，所以当0,)x 时，()()()(0)0,g xg xfxg为增函数，所以 同理21()(0)0cos(1)02f xfxx，即21cos12xx，故选 C 5.【2012 高考真题湖北理 3】已知二次函数()yf x的图象如图所示，则它与 x 轴所围图形的面积为高考资源网（），您身边
5、的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 A 25 B 43 C 32 D 2 【答案】B 【解 析】根 据 图 像 可 得：2()1yf xx，再 由 定 积 分 的 几 何 意 义，可 求 得 面 积 为12311114(1)()33Sxdxxx .6.【2012 高考真题全国卷理 10】已知函数 yx-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点，则 c（A）-2 或 2（B）-9 或 3（C）-1 或 1（D）-3 或 1【答案】A【解析】若函数cxxy33的图象与 x 轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为 0，函数的导数为332 xy，令0332 xy，解得1x，可知当极大
6、值为cf2)1(，极小值为2)1(cf.由02)1(cf，解得2c，由02)1(cf，解得2c，所以2c或2c，选 A.二、填空题 7.【2012高考真题浙江理16】定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_。【答案】49 【解析】曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为2222211|40|22d，曲线C1：y=x2+a对应函数的导数为xy2，令12 x得21x，所以C1：y=x2+a上的点为)41,21(a，高考资源网（），您身边的
7、高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 点)41,21(a到到直线l:y=x的距离应为2，所以211|4121|22a，解得49a或47a（舍去）。8.【2012 高考真题江西理 11】计算定积分dxxx112)sin(_。【答案】32 【解析】32)cos31()sin(113112xxdxxx。9.【2012 高考真题山东理 15】设0a.若曲线 yx与直线,0 xa y所围成封闭图形的面积为2a，则 a _.【答案】94a【解析】由已知得223023032|32aaxxSaa，所以3221a，所以94a。10.【2012 高考真题广东理 12】曲线 y=x3-x+3 在点（1，3）处
8、的切线方程为 【答案】012 yx【解析】132 xy，当1x时，2y，此时2k，故切线方程为)1(23xy，即012 yx。11.【2012 高考真题上海理 13】已知函数)(xfy 的图象是折线段 ABC，其中)0,0(A、)5,21(B、)0,1(C，函数)(xxfy（10 x）的图象与 x 轴围成的图形的面积为 。【答案】45 【解析】当210 x，线段 AB 的方程为xy10，当121 x时。线段 BC 方程为1211050 xy，整理得1010 xy，即函数121,1010210,10)(xxxxxfy，所以高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 121
9、,1010210,10)(22xxxxxxxfy，函数与x轴围成的图形面积为dxxxdxx)1010(1021212102 121232103)5310(310 xxx45。12.【2012 高考真题陕西理 14】设函数ln,0()21,0 xxf xxx，D 是由 x 轴和曲线()yf x及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2zxy在 D 上的最大值为 .【答案】2【解析】函数)(xfy 在点)0,1(处的切线为)1)(1(0 xfy，即1 xy.所以 D 表示的平面区域如图当目标函数直线经过点 M 时 z 有最大值，最大值为2)1(20z.三、解答题 13.【2012 高考真
10、题广东理 21】（本小题满分 14 分）设 a1，集合0|xRxA，6)1(32|2axaxRxB，BAD。（1）求集合 D（用区间表示）；（2）求函数axxaxxf6)1(32)(23在 D 内的极值点【答案】本题是一个综合性问题，考查集合与导数的相关知识，考查了学生综合解决问题的能力，难度较大.高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 14.【2012 高考真题安徽理 19】（本小题满分 13 分）设1()(0)xxf xaeb aae。（I）求()f x 在0,)上的最小值；（II）设曲线()yf x在点(2,(2)f的切线方程为32yx；求,a b 的值。【答
11、案】本题考查函数、导数的基础知识，运用导数研究函数性质等基本方法，考查分类讨论思想，代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力。【解析】（I）设(1)xte t；则2 222111a tyatbyaatatat，高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 当1a 时，0y 1yatbat在1t 上是增函数，得：当1(0)tx时，()f x 的最小值为1aba。当01a 时，12yatbbat，当且仅当11(,ln)xattexaa 时，()f x 的最小值为2b。（II）11()()xxxxf xaebfxaeaeae，由题意得：2222212(2)333
12、131(2)222faebaaeefaebae。15.【2012 高考真题福建理 20】（本小题满分 14 分）已知函数 f（x）=exax2-ex，aR.（）若曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线平行于 x 轴，求函数 f（x）的单调区间；（）试确定 a 的取值范围，使得曲线 y=f（x）上存在唯一的点 P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 P.【答案】本题主要考查函数导数的应用、二次函数的性质、函数零点的存在性定理等基础知识，考查推理论证能力、基本运算能力、抽象概括能力，以及分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想.高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，
13、稿酬丰厚。 16.【2012 高考真题北京理 18】（本小题共 13 分）【答案】解：（）由1c，为公共切点可得：2()1(0)f xaxa，则()2fxax，12ka，3()g xxbx，则2()=3fxxb，23kb，23ab 又(1)1fa，(1)1gb，高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 11ab ，即 ab，代入式可得：33ab （2）24ab，设3221()()()14h xf xg xxaxa x 则221()324h xxaxa，令()0h x，解得：12ax ，26ax ；0a，26aa，原函数在2a，单调递增，在26aa，单调递减，在6a，上
14、单调递增 若 12a，即2a 时，最大值为2(1)4aha；若126aa ，即 26a时，最大值为12ah 若 16a时，即6a 时，最大值为12ah 综上所述：当02a，时，最大值为2(1)4aha；当2,a 时，最大值为12ah 17.【2012 高考真题新课标理 21】（本小题满分 12 分）已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2xf xfefxx；（1）求()f x 的解析式及单调区间；（2）若21()2f xxaxb，求(1)ab的最大值.【答案】（1）1211()(1)(0)()(1)(0)2xxf xfefxxfxfefx 令1x 得：(0)1f 1211()(1)
15、(0)(1)1(1)2xf xfexxffefe 得：21()()()12xxf xexxg xfxex ()10()xg xeyg x 在 xR上单调递增 高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 ()0(0)0,()0(0)0fxfxfxfx 得：()f x 的解析式为21()2xf xexx 且单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0)（2）21()()(1)02xf xxaxbh xeaxb得()(1)xh xea 当10a 时，()0()h xyh x在 xR上单调递增 x 时，()h x 与()0h x 矛盾 当10a 时，()0ln(1),()0ln
16、(1)h xxah xxa 得：当ln(1)xa时，min()(1)(1)ln(1)0h xaaab 22(1)(1)(1)ln(1)(10)abaaaa 令22()ln(0)F xxxx x；则()(12ln)F xxx ()00,()0F xxe F xxe 当 xe时，max()2eF x 当1,aebe时，(1)ab的最大值为 2e 18.【2012 高考真题天津理 20】本小题满分 14 分）已知函数)ln()(axxxf的最小值为 0，其中.0a（）求 a 的值；（）若对任意的),0 x有)(xf2kx 成立，求实数 k 的最小值；（）证明nini12)12ln(122（*Nn）.
17、【答案】高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 19.【2012 高考江苏 18】（16 分）若函数)(xfy 在0 xx 处取得极大值或极小值，则称0 x 为函数)(xfy 的极值点。已知 ab，是实数，1 和 1 是函数32()f xxaxbx的两个极值点（1）求 a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g xf x，求()g x 的极值点；（3）设()()h xf f xc，其中 22c ，求函数()yh x的零点个数【答案】解：（1）由32()f xxaxbx，得2()32
18、f xxaxb。1 和 1 是函数32()f xxaxbx的两个极值点，(1)32=0fab，(1)32=0fab，解得=3ab0，。（2）由（1）得，3()3f xxx，23()()2=32=12g xf xxxxx，解得123=1=2xxx，。当2x 时，()0g x；当 21 x，=2x是()g x 的极值点。当 21 x 时，()0g x，=1x不是()g x 的极值点。()g x 的极值点是2。（3）令()=f xt，则()()h xf tc。高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 先讨论关于 x 的方程()=f xd 根的情况：2,2d 当=2d时，由（
19、2）可知，()=2f x的两个不同的根为 I 和一 2，注意到()f x 是奇函数，()=2f x的两个不同的根为一和 2。当2d，(1)=(2)=20fd fdd ，于是()f x 是单调增函数，从而()(2)=2f x f。此时()=f xd 在2 ，无实根。当1 2x，时()0f x，于是()f x 是单调增函数。又(1)0fd，=()y f xd的图象不间断，()=f xd 在（1,2）内有唯一实根。同理，()=f xd 在（一 2，一 I）内有唯一实根。当1 1x ，时，()0f x，(1)0fd，=()y f xd的图象不间断，()=f xd 在（一 1，1）内有唯一实根。因此，当
20、=2d时，()=f xd 有两个不同的根12xx，满足12=1 =2xx，；当2d 时()=f xd 有三个不同的根315xxx，满足2 =3,4,5ix i，。现考虑函数()yh x的零点：(i）当=2c时，()=f tc 有两个根 12tt，满足 12=2tt1，。而1()=f xt 有三个不同的根，2()=f xt 有两个不同的根，故()yh x有 5 个零点。(11）当2c 时，()=f tc 有三个不同的根 345ttt，满足2 =3,4,5it i，。而=3,()4,=5if xti有三个不同的根，故()yh x有 9 个零点。综上所述，当=2c时，函数()yh x有 5 个零点；
21、当2c 时，函数()yh x有 9 个零高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 点。【解析】（1）求出)(xfy 的导数，根据 1 和 1 是函数)(xfy 的两个极值点代入列方程组求解即可。（2）由（1）得，3()3f xxx，求出()g x，令()=0g x，求解讨论即可。（3）比较复杂，先分=2d和2d 讨论关于 x 的方程()=f xd 根的情况；再考虑函数()yh x的零点。20.【2012 高考真题辽宁理 21】本小题满分 12 分)设()ln(1)1(,)f xxxaxb a bR a b 为常数，曲线()yf x与 直线32yx在(0，0)点相切。(
22、)求,a b 的值。()证明：当02x时，9()6xf xx。【答案】高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 21.【2012 高考真题重庆理 16】（本小题满分 13 分，（）小问 6 分，（）小问 7 分.）设13()ln1,22f xaxxx其中aR，曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线垂直于 y 轴.（）求a 的值；高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。（）求函数()f x 的极值.【答案】22.【2012 高考真题浙江理 22】(本小题满分 14 分)已知
23、 a0，bR，函数 342fxaxbxab()证明：当 0 x1 时，()函数 fx 的最大值为|2ab|a；()fx|2ab|a0；()若1 fx 1 对 x0，1恒成立，求 ab 的取值范围【答案】本题主要考察不等式，导数，单调性，()()2122fxaxb 当 b0 时，2122fxaxb0 在 0 x1 上恒成立，此时 fx 的最大值为：1423fababab|2ab|a；当 b0 时，2122fxaxb在 0 x1 上的正负性不能判断，此时 fx 的最大值为：max2max(0)1 max()332babafxffbaabab ba，（），()，|2ab|a；综上所述：函数 fx 在
24、 0 x1 上的最大值为|2ab|a；()要证 fx|2ab|a0，即证 g x fx|2ab|a 高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 亦即证 g x 在 0 x1 上的最大值小于(或等于)|2ab|a，342g xaxbxab，令 212206bgxaxbxa 当 b0 时，2122gxaxb 0 在 0 x1 上恒成立，此时 g x 的最大值为：03gabab|2ab|a；当 b0 时，2122gxaxb 在 0 x1 上的正负性不能判断，maxmax()1 6bgxgga，（）4max2 36463662bbabbaabbababababa ，|2ab|a
25、；综上所述：函数 g x 在 0 x1 上的最大值小于(或等于)|2ab|a 即 fx|2ab|a0 在 0 x1 上恒成立()由()知：函数 fx 在 0 x1 上的最大值为|2ab|a，且函数 fx 在 0 x1 上的最小值比(|2ab|a)要大 1 fx 1 对 x0，1恒成立，|2ab|a1 取 b 为纵轴，a 为横轴 则可行域为：21baba 和231baab，目标函数为 zab 作图如下：由图易得：当目标函数为 zab 过 P(1，2)时，有max3z 所求 ab 的取值范围为：3，高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 23.【2012 高考真题湖南理
26、 22】（本小题满分 13 分）已知函数()f x=axex，其中 a0.（1）若对一切 xR，()f x 1 恒成立，求 a 的取值集合.（2）在函数()f x 的图像上取定两点11(,()A xf x，22(,()B xf x12()xx，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0（x1，x2），使0()fxk成立？若存在，求0 x 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（）若0a，则对一切0 x，()f x1axex，这与题设矛盾，又0a，故0a.而()1,axfxae令11()0,ln.fxxaa得 当11lnxaa时，()0,()fxf x单调递减；当11lnxaa时，()0,()f
27、xf x单调递增，故当11lnxaa时，()f x 取最小值11111(ln)ln.f aaaaa 于是对一切,()1xR f x 恒成立，当且仅当 111ln1aaa.令()ln,g tttt 则()ln.g tt 高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 当01t 时，()0,()g tg t单调递增；当1t 时，()0,()g tg t单调递减.故当1t 时，()g t 取最大值(1)1g.因此，当且仅当 11a 即1a 时，式成立.综上所述，a 的取值集合为 1.（）由题意知，21212121()()1.axaxf xf xeekxxxx 令2121()(),
28、axaxaxeexfxkaexx则 121()12121()()1,axa xxexea xxxx 212()21221()()1.axa xxexea xxxx 令()1tF tet ，则()1tF te.当0t 时，()0,()F tF t单调递减；当0t 时，()0,()F tF t单调递增.故当0t，()(0)0,F tF即10.tet 从而21()21()10a xxea xx，12()12()10,a xxea xx 又1210,axexx 2210,axexx 所以1()0,x2()0.x 因 为 函 数()yx在 区 间 12,x x上 的 图 像 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线，所 以 存 在012(,)xx x使0()0,x2()0,()axxa ex单调递增，故这样的 c 是唯一的，且21211 ln()axaxeecaa xx.故当且仅当212211(ln,)()axaxeexxaa xx时，0()fxk.综上所述，存在012(,)xx x使0()fxk成立.且0 x 的取值范围为 212211(ln,)()axaxeexaa xx.
