1、14两条直线的交点一般地,如果两条不重合的直线方程分别为l1:A1xB1yC10;l2:A2xB2yC20.要判断它们是否平行,即看它们的斜率是否相等如果不等,则两直线相交,问题就转化成二元一次方程组求解的问题两条直线相交,交点一定同时在这两条直线上,交点坐标是这两个方程组成的方程组的唯一解;反之,如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解,那么以这个解为坐标的点,必是直线l1和l2的交点因此求两条直线的交点,就是求这两个直线方程的公共解1若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20.且l1与l2的交点为P(x0,y0),则P的坐标应满足什么关系?答案A1x0B1y0C10且A2x0
2、B2y0C20.2已知两条直线l1与l2相交,如何用代数方法求它们的交点的坐标?答案只需写出这两条直线的方程,然后联立求解题型一 两直线的交点问题【典例1】已知直线5x4y2a1与直线2x3ya的交点位于第四象限,则a的取值范围是_思路导引求出交点坐标,第四象限横坐标大于零、纵坐标小于零解析由得由得a2.答案引申探究若本例中直线的方程不变,其交点改为位于第三象限,则a的取值范围又如何?解由典例得交点坐标为,则由得aBk2Ck2Dk2解析由得由得k2.故选C.答案C题型二 共点问题【典例2】设三条直线x2y1,2xky3,3kx4y5交于一点,求k的值思路导引应用两直线相交的方法求值解解法一:解
3、方程组得即前两条直线的交点为.因为三条直线交于一点,所以第三条直线必过此定点,故3k45,解得k1或k.解法二:过直线x2y10与2xky30的交点的直线可设为(x2y1)(2xky3)0(R),即(12)x(k2)y(13)0.由题设三条直线交于一点知存在使该直线与直线3kx4y50重合,即,解得2,k1或,k.所以k的值为1或.证三线共点或据三线共点求系数值,一般是先求两条直线的交点,再将该点的坐标代入第三条直线的方程,得证或求出针对训练2三条直线xy2,xy0,xay3能围成三角形,求a的取值范围解当xy2与xay3平行时,1a110,即a1.当xy0与xay3平行时,1a(1)10,即
4、a1.两直线xy2与xy0必相交,由得两直线交于(1,1)点当xay3过(1,1)点时,a2.三条直线围成三角形时,a(,1)(1,1)(1,2)(2,).题型三 求过两条直线交点的直线方程【典例3】求过两直线2x3y30和xy20的交点且与直线3xy10平行的直线方程思路导引解法一:可先求出两直线的交点坐标,利用点斜式求直线的方程;解法二:可利用过两条直线交点的直线系方程求解解解法一:解方程组得所以两直线的交点坐标为.又所求直线与直线3xy10平行,所以所求直线的斜率为3.故所求直线方程为y3,即15x5y160.解法二:设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0,即(2)x(3)y(23)
5、0.(*)由于所求直线与直线3xy10平行,所以有得.代入(*)式,得xy0,即15x5y160.引申探究本例中若将“平行”改为“垂直”,又如何求解解设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0,即(2)x(3)y(23)0,由于所求直线与直线3xy10垂直,3(2)(3)10,得,所以所求直线方程为5x15y180.求过两条直线交点的直线方程,一般是先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程也可用过两条直线l1:A1xB1yC10与l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不包括l2的方程),再根据其他条件求出待定系数,写出直线方程针对训练3直线
6、l经过原点,且经过另两条直线2x3y80,xy10的交点,则直线l的方程为()A2xy0B2xy0Cx2y0Dx2y0解析设所求直线方程为2x3y8(xy1)0,即(2)x(3)y80,因为l过原点,所以8.则所求直线方程为2xy0.答案B1直线x2y20与直线2xy30的交点坐标是()A(4,1)B(1,4)C. D.解析由方程组得即直线x2y20与直线2xy30的交点坐标是.答案C2经过直线2xy40与xy50的交点,且垂直于直线x2y0的直线方程是()A2xy80B2xy80C2xy80D2xy80解析首先解得交点坐标为(1,6),再根据垂直关系得斜率为2,可得方程y62(x1),即2x
7、y80.答案A3三条直线ax2y80,4x3y10和2xy10相交于一点,则a的值为_解析由得将x4,y2代入ax2y80,得4a480,所以a1.答案14已知两条直线l1:ax3y30,l2:4x6y10,若l1与l2相交,则实数a满足的条件是_解析l1与l2相交,则有,a2.答案a2课后作业(二十一)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1直线x1和直线y2的交点坐标是()A(2,2)B(1,1)C(1,2)D(2,1)解析由得交点坐标为(1,2),故选C.答案C2已知两条直线2x3yk0和xky120的交点在y轴上,那么k的值是()A24B6C6D以上都不对解析联立两条直线的方程
8、得解得x,两直线交点在y轴上,0,k6(经检验知符合题意)答案C3过两直线:l1:x3y40和l2:2xy50的交点和原点的直线方程为()A19x9y0B9x19y0C19x3y0D3x19y0解析解方程组得则过点与原点的直线方程为yx,即3x19y0.答案D4已知直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是()A. B.C. D.解析直线yx2与两坐标轴的交点为A(0,2)、B(2,0),直线ykx2k1恒过定点P(2,1),要使两直线的交点位于第一象限,只需实数k满足:kPBkkPA,即k.答案A5已知点M(0,1),点N在直线xy10上,若直线MN垂直于直线x2y
9、30,则N点的坐标是()A(2,3)B(2,1)C(2,3)D(2,1)解析直线MN的方程是y12x,由得所以N点的坐标是(2,3)答案C6经过两条直线l1:x2y40和l2:xy20的交点P,且与直线3x4y0平行的直线方程为_解析设所求的直线方程为x2y4(xy2)0,即(1)x(2)y420,由题意得,解得.故所求的直线方程为xy0,即3x4y80.答案3x4y807已知A(x,y)|xy20,B(x,y)|x2y40,C(x,y)|y3xb,若(AB)C,则b_.解析AB(0,2),由于(AB)C,所以(0,2)在直线y3xb上,230b,b2.答案28若直线l:ykx与直线l1:2x
10、3y60的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是_解析直线l1:2x3y60过A(3,0),B(0,2),而l过定点C(0,),由图象可知l倾斜角的范围是(30,90)答案(30,90)9过点(3,5)作直线4x3y20的垂线,求垂足坐标解设与4x3y20垂直的直线方程为3x4yC0,又直线过点(3,5),3345C0,C11,过点(3,5)与4x3y20垂直的直线方程为3x4y110.解方程组得垂足坐标为(1,2)10ABC的边AC,AB上的高所在直线方程分别为2x3y10,xy0,顶点A(1,2),求BC边所在直线的方程解因为AC边上的高所在直线为2x3y10,则其斜率为,所以直线
11、AC的斜率为;所以直线AC的方程为y2(x1),即3x2y70;同理可求直线AB的方程为xy10.下面求直线BC的方程:由得顶点C(7,7),由得顶点B(2,1)所以直线BC的斜率为,所以直线BC的方程为y1(x2),即2x3y70.应试能力等级练(时间25分钟)11已知直线mx4y20与2x5yn0互相垂直,垂足为(1,p),则mnp为 ()A24B20C0D4解析两直线互相垂直,k1k21,1,m10.又垂足为(1,p),代入直线10x4y20得p2,将(1,2)代入直线2x5yn0得n12,mnp20.答案B12已知mR,则直线(2m1)x(2m)y5m0必经过定点()A(2,1)B(2
12、,1)C(2,1)D(1,2)解析直线方程可化为(x2y)m(2xy5)0,解方程组得因此直线必经过定点(2,1)答案B13已知两直线a1xb1y10和a2xb2y10的交点为(2,3),则过两点Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)的直线方程是_解析由条件可知2a13b110,2a23b210,(a1,b1),(a2,b2)在直线2x3y10上故过Q1,Q2的直线方程为2x3y10.答案2x3y1014已知直线l1过点A(2,1),B(0,3),直线l2的斜率为3且过点C(4,2)(1)求l1,l2的交点D的坐标;(2)已知点M(2,2),N,若直线l3过点D且与线段MN相交,求直线l3的斜率k的取值范围解(1)直线l1过点A(2,1),B(0,3),直线l1的方程为,即yx3.直线l2的斜率为3且过点C(4,2),直线l2的方程为y23(x4),即y3x14.联立解得即l1,l2的交点D的坐标为.(2)由题设知kMD,kND3.因为过点D的直线与线段MN相交,故直线l3的斜率k的取值范围为:3,)