1、14两条直线的交点一般地，如果两条不重合的直线方程分别为l1：A1xB1yC10；l2：A2xB2yC20.要判断它们是否平行，即看它们的斜率是否相等如果不等，则两直线相交，问题就转化成二元一次方程组求解的问题两条直线相交，交点一定同时在这两条直线上，交点坐标是这两个方程组成的方程组的唯一解；反之，如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点，必是直线l1和l2的交点因此求两条直线的交点，就是求这两个直线方程的公共解1若l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.且l1与l2的交点为P(x0，y0)，则P的坐标应满足什么关系？答案A1x0B1y0C10且A2x0
2、B2y0C20.2已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？答案只需写出这两条直线的方程，然后联立求解题型一 两直线的交点问题【典例1】已知直线5x4y2a1与直线2x3ya的交点位于第四象限，则a的取值范围是_思路导引求出交点坐标，第四象限横坐标大于零、纵坐标小于零解析由得由得a2.答案引申探究若本例中直线的方程不变，其交点改为位于第三象限，则a的取值范围又如何？解由典例得交点坐标为，则由得aBk2Ck2Dk2解析由得由得k2.故选C.答案C题型二 共点问题【典例2】设三条直线x2y1,2xky3,3kx4y5交于一点，求k的值思路导引应用两直线相交的方法求值解解法一：解
3、方程组得即前两条直线的交点为.因为三条直线交于一点，所以第三条直线必过此定点，故3k45，解得k1或k.解法二：过直线x2y10与2xky30的交点的直线可设为(x2y1)(2xky3)0(R)，即(12)x(k2)y(13)0.由题设三条直线交于一点知存在使该直线与直线3kx4y50重合，即，解得2，k1或，k.所以k的值为1或.证三线共点或据三线共点求系数值，一般是先求两条直线的交点，再将该点的坐标代入第三条直线的方程，得证或求出针对训练2三条直线xy2，xy0，xay3能围成三角形，求a的取值范围解当xy2与xay3平行时，1a110，即a1.当xy0与xay3平行时，1a(1)10，即
4、a1.两直线xy2与xy0必相交，由得两直线交于(1,1)点当xay3过(1,1)点时，a2.三条直线围成三角形时，a(，1)(1,1)(1,2)(2，).题型三 求过两条直线交点的直线方程【典例3】求过两直线2x3y30和xy20的交点且与直线3xy10平行的直线方程思路导引解法一：可先求出两直线的交点坐标，利用点斜式求直线的方程；解法二：可利用过两条直线交点的直线系方程求解解解法一：解方程组得所以两直线的交点坐标为.又所求直线与直线3xy10平行，所以所求直线的斜率为3.故所求直线方程为y3，即15x5y160.解法二：设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)
5、0.(*)由于所求直线与直线3xy10平行，所以有得.代入(*)式，得xy0，即15x5y160.引申探究本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解解设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0，由于所求直线与直线3xy10垂直，3(2)(3)10，得，所以所求直线方程为5x15y180.求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程也可用过两条直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不包括l2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程针对训练3直线
6、l经过原点，且经过另两条直线2x3y80，xy10的交点，则直线l的方程为()A2xy0B2xy0Cx2y0Dx2y0解析设所求直线方程为2x3y8(xy1)0，即(2)x(3)y80，因为l过原点，所以8.则所求直线方程为2xy0.答案B1直线x2y20与直线2xy30的交点坐标是()A(4,1)B(1,4)C. D.解析由方程组得即直线x2y20与直线2xy30的交点坐标是.答案C2经过直线2xy40与xy50的交点，且垂直于直线x2y0的直线方程是()A2xy80B2xy80C2xy80D2xy80解析首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为2，可得方程y62(x1)，即2x
7、y80.答案A3三条直线ax2y80,4x3y10和2xy10相交于一点，则a的值为_解析由得将x4，y2代入ax2y80，得4a480，所以a1.答案14已知两条直线l1：ax3y30，l2：4x6y10，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是_解析l1与l2相交，则有，a2.答案a2课后作业(二十一)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1直线x1和直线y2的交点坐标是()A(2,2)B(1,1)C(1,2)D(2,1)解析由得交点坐标为(1,2)，故选C.答案C2已知两条直线2x3yk0和xky120的交点在y轴上，那么k的值是()A24B6C6D以上都不对解析联立两条直线的方程
8、得解得x，两直线交点在y轴上，0，k6(经检验知符合题意)答案C3过两直线：l1：x3y40和l2：2xy50的交点和原点的直线方程为()A19x9y0B9x19y0C19x3y0D3x19y0解析解方程组得则过点与原点的直线方程为yx，即3x19y0.答案D4已知直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是()A. B.C. D.解析直线yx2与两坐标轴的交点为A(0,2)、B(2,0)，直线ykx2k1恒过定点P(2,1)，要使两直线的交点位于第一象限，只需实数k满足：kPBkkPA，即k.答案A5已知点M(0，1)，点N在直线xy10上，若直线MN垂直于直线x2y
9、30，则N点的坐标是()A(2，3)B(2,1)C(2,3)D(2，1)解析直线MN的方程是y12x，由得所以N点的坐标是(2,3)答案C6经过两条直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线3x4y0平行的直线方程为_解析设所求的直线方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420，由题意得，解得.故所求的直线方程为xy0，即3x4y80.答案3x4y807已知A(x，y)|xy20，B(x，y)|x2y40，C(x，y)|y3xb，若(AB)C，则b_.解析AB(0,2)，由于(AB)C，所以(0,2)在直线y3xb上，230b，b2.答案28若直线l：ykx与直线l1：2x
10、3y60的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是_解析直线l1：2x3y60过A(3,0)，B(0,2)，而l过定点C(0，)，由图象可知l倾斜角的范围是(30，90)答案(30，90)9过点(3,5)作直线4x3y20的垂线，求垂足坐标解设与4x3y20垂直的直线方程为3x4yC0，又直线过点(3,5)，3345C0，C11，过点(3,5)与4x3y20垂直的直线方程为3x4y110.解方程组得垂足坐标为(1,2)10ABC的边AC，AB上的高所在直线方程分别为2x3y10，xy0，顶点A(1,2)，求BC边所在直线的方程解因为AC边上的高所在直线为2x3y10，则其斜率为，所以直线
11、AC的斜率为；所以直线AC的方程为y2(x1)，即3x2y70；同理可求直线AB的方程为xy10.下面求直线BC的方程：由得顶点C(7，7)，由得顶点B(2，1)所以直线BC的斜率为，所以直线BC的方程为y1(x2)，即2x3y70.应试能力等级练(时间25分钟)11已知直线mx4y20与2x5yn0互相垂直，垂足为(1，p)，则mnp为 ()A24B20C0D4解析两直线互相垂直，k1k21，1，m10.又垂足为(1，p)，代入直线10x4y20得p2，将(1，2)代入直线2x5yn0得n12，mnp20.答案B12已知mR，则直线(2m1)x(2m)y5m0必经过定点()A(2,1)B(2
12、,1)C(2，1)D(1，2)解析直线方程可化为(x2y)m(2xy5)0，解方程组得因此直线必经过定点(2,1)答案B13已知两直线a1xb1y10和a2xb2y10的交点为(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程是_解析由条件可知2a13b110,2a23b210，(a1，b1)，(a2，b2)在直线2x3y10上故过Q1，Q2的直线方程为2x3y10.答案2x3y1014已知直线l1过点A(2,1)，B(0,3)，直线l2的斜率为3且过点C(4,2)(1)求l1，l2的交点D的坐标；(2)已知点M(2,2)，N，若直线l3过点D且与线段MN相交，求直线l3的斜率k的取值范围解(1)直线l1过点A(2,1)，B(0,3)，直线l1的方程为，即yx3.直线l2的斜率为3且过点C(4,2)，直线l2的方程为y23(x4)，即y3x14.联立解得即l1，l2的交点D的坐标为.(2)由题设知kMD，kND3.因为过点D的直线与线段MN相交，故直线l3的斜率k的取值范围为：3，)