1、7.6 双曲线 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 7.6 双曲线双基研习面对高考 1双曲线的定义(1)定义：平面内两定点为F1、F2，当动点P满足条件点P到点F1、F2的距离差的绝对值_常数(小于|F1F2|)时，P点轨迹为双曲线；F1、F2是双曲线的两个_(2)定义的数学表达式为：_等于双基研习面对高考 基础梳理 焦点|PF1|PF2|2a(2a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图像标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)性质范围_ya 或 ya对称性对称轴：_对称中心：(0,0)对称轴：x 轴、y 轴对称中心：_顶点顶点坐标：A1(a,0)，A2(
2、a,0)顶点坐标：A1_，A2_渐近线_yabxxa或xax轴、y轴ybax(0,0)(0，a)(0，a)性质离心率e_，e_，其中 ca2b2实虚轴线段 A1A2 叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|_；线段 B1B2 叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|_；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长a、b、c 关系c2a2b2(ca0，cb0)ca(1，)2a2b课前热身 1(2010 年高考安徽卷)双曲线方程为 x22y21，则它的右焦点坐标为()A(22，0)B(52，0)C(62，0)D(3，0)答案：C2(原创题)已知圆 x2y24 与 y 轴交于 A、B两点，则以 A、B
3、 为焦点，实轴长为 2 的双曲线方程为()A.x24 y231 By2x23 1C.x23 y241 Dy2x24 1答案：B3一动圆P与圆O1：x2y21和圆O2：x2y28x70均内切，那么动圆P的圆心的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线D双曲线的一支答案：D4已知双曲线y25x2m1 的离心率 e2，)，则 m 的取值范围为_答案：15，)5(2010 年高考福建卷)若双曲线x24 y2b21(b0)的渐近线方程为 y12x，则 b 等于_答案：1考点探究挑战高考 考点突破 双曲线的定义及其应用在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一
4、常数，且该常数必须小于两定点的距离”若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支例1(2010 年高考大纲全国卷)已知 F1、F2 为双曲线 C：x2y21 的左、右焦点，点 P 在 C 上，F1PF260，则 P 到 x 轴的距离为()A.32 B.62C.3D.6【思路点拨】利用双曲线的定义及在F1PF2中应用余弦定理可解【解析】在PF1F2 中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，即(2 2)222|PF1|FP2|，解得|PF1|PF2|4.设 P 到 x 轴 的 距 离 为 h，由 SF1PF2 12|P
5、F1|PF2|sin6012|F1F2|h，解得 h 62.【答案】B【名师点评】涉及双曲线上的点与两焦点的距离或两焦点的距离之差的问题，优先考虑运用双曲线的定义；焦点三角形问题，涉及边F1F2的对角问题优先考虑余弦定理 变式训练 1 设 F1 和 F2 为双曲线x24 y241 的两个焦点，点 P 在双曲线上且满足F1PF290.求：(1)F1PF2 的周长；(2)F1PF2 的面积解：点 P 在双曲线x24 y241 上，|PF1|PF2|4.在F1PF2 中，F1PF290且|F1F2|4 2，|PF1|2|PF2|232.解方程组|PF1|PF2|4，|PF1|2|PF2|232，得|
6、PF1|2 32，|PF2|2 32，或|PF1|2 32，|PF2|2 32.(1)F1PF2 的周长|PF1|PF2|F1F2|4 34 2.(2)12S F PF 12|PF1|PF2|12(2 32)(2 32)1284.F1PF2 的周长为 4 34 2，面积为 4.双曲线的标准方程求双曲线的标准方程一般用待定系数法双曲线方程中的a、b、c、e与坐标系无关，只有焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程与坐标系有关因此确定一个双曲线的标准方程需要以下条件：a、b；焦点坐标、渐近线方程例2(2010 年高考天津卷)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线方程是 y 3x，它的一个焦点
7、与抛物线 y216x 的焦点相同，则双曲线的方程为_【思路点拨】利用已知条件列方程组求出a，b.【解析】由条件知双曲线的焦点为(4,0)，所以a2b216，ba 3，解得 a2，b2 3，故双曲线方程为x24 y2121.【答案】x24 y2121【规律小结】求双曲线方程的方法：(1)定义法：分析题目条件是否满足定义；求出a，b，c；写出方程(2)待定系数法：确定焦点位置；设出待求方程；确定相关系数；写出方程 变式训练 2 根据下列条件，求双曲线的方程：(1)已知双曲线的渐近线方程为 2x3y0.若双曲线经过 P(6，2)，求双曲线的标准方程；若双曲线的焦距是 2 13，求双曲线的标准方程；若
8、双曲线顶点间的距离是 6，求双曲线的标准方程(2)已知双曲线经过点 P(3，154)，Q(163，5)，求双曲线的标准方程解：(1)由双曲线的渐近线方程 y23x，可设双曲线方程为x29 y24(0)双曲线过点 P(6，2)，6944，13，故所求双曲线的标准方程为y243x23 1.若 0，则 a29，b24，c2a2b213.由题设 2c2 13，1，所求双曲线的标准方程为x29 y241；若 0，则 a24，b29，c2a2b213.由题设 2c2 13，1，所求双曲线的标准方程为y24x29 1.故所求双曲线的标准方程为x29 y241 或y24x29 1.若 0，则 a29，由题设
9、2a6，1.所求双曲线的标准方程为x29 y241；若 0，则 a24，由题设 2a6，94，所求双曲线的标准方程为y29x28141.故所求双曲线的标准方程为x29 y24 1 或y29 x28141.(2)设双曲线方程为x2my2n1(mn0)，又过 P、Q 两点，则9m22516n12569m25n 1，解得m16n9.所求双曲线的标准方程为y29x2161.双曲线的几何性质双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量，如a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程(1)(2010 年
10、高考辽宁卷)设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.2B.3C.312D.512例3(2)(2010 年高考浙江卷)设 F1、F2 分别为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点 P，满足|PF2|F1F2|，且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A3x4y0 B3x5y0C4x3y0 D5x4y0【思路点拨】(1)利用直线FB与双曲线的一条渐近线垂直，结合c2a2b2求解(2)利用点P在双曲线右支上得出a，b，c的关系求解【解析】(1)设双
11、曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，设 F(c,0)，B(0，b)，kBFbc，双曲线渐近线的斜率 kba.BF 与一条渐近线垂直，bcba1，b2ac，又 a2b2c2，c2aca20，e2e10，e1 52或 e1 52(舍)，故选 D.(2)设 PF1 的中点为 M，由于|PF2|F1F2|，故F2MPF1，即|F2M|2a，在 RtF1F2M 中，|F1M|2c22a22b，故|PF1|4b，根据双曲线的定义得 4b2c2a，即 2bac，即(2ba)2a2b2，即 3b24ab0，即 3b4a，故双曲线的渐近线方程是 ybax，即 4x3y0.【答案】(1)D(2)C【规律小
12、结】(1)双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”、“四线”和“两形”：六点 两个焦点、两个顶点、两个虚轴端点 四线 两条对称轴、两条渐近线 两形 中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的三角形(2)双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程 ybax 可变形为xayb，即x2a2y2b20，所以双曲线的渐近线方程可以看作是把其标准方程中的 1 换成 0 得来的直线与双曲线(1)直线与双曲线的位置关系与直线与椭圆的位置关系有类似的处理方法，但要注意联立后得到的一元二次方程的二次项系数能否为零(2)当涉及直线与双曲线的交点在同一支或两支上时，要注意消元时应消去
13、范围为R的变量，为根据一元二次方程两根的正负条件解决问题打下基础例4已知双曲线x2y24，直线l：yk(x1)，讨论双曲线与直线公共点的个数【思路点拨】将直线l的方程与双曲线的方程联立，消元后转化为关于x(或y)的一元二次方程，利用“”求解【解】联立方程组ykx1x2y24消去 y，得(1k2)x22k2xk240(*)(1)当 1k20，即 k1 时，方程(*)化为 2x5，方程组有一解故直线与双曲线有一个公共点，此时直线与渐近线平行(2)当 1k20，即 k1 时；由 4(43k2)0，得2 33 k2 33 且 k1，此时方程(*)有两解，方程组有两解故直线与双曲线有两个公共点由 4(4
14、3k2)0，得 k2 33，此时方程组有一解，故直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线相切由 4(43k2)0，得 k2 33，此时方程组无解，故直线与双曲线无公共点综上所述，当 k1 或 k2 33 时，直线与双曲线有一个公共点；当2 33 k1 或1k1 或1k2 33 时，直线与双曲线有两个公共点；当 k2 33 时，直线与双曲线无公共点【规律小结】把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知量，如消去y，得到一个方程ax2bxc0，则(1)a0时，方程为一元二次方程 0，则直线与圆锥曲线相交，有两个公共点，0，则直线与圆锥曲线相切，有且只有一个公共点，0，则直线与圆锥曲线相离，没有
15、公共点(2)a0，b0时，直线与圆锥曲线有一个公共点，对抛物线来说，此时直线与对称轴平行或重合；对双曲线来说，此时直线与渐近线平行 方法感悟 方法技巧1在已知双曲线上一点P与双曲线两个焦点F1、F2构成的PF1F2中，由双曲线定义，再给一个条件，焦点PF1F2可解(如例1)2若不能明确双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：mx2ny21(mn0，b0)的渐近线方程是 ybax，y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线方程是 yabx.4若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况5直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于
16、一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点考情分析 考向瞭望把脉高考 双曲线是每年高考必考的知识点之一，考查重点是双曲线的定义、标准方程及双曲线的几何性质，题型大多为选择题、填空题，难度为中等偏高，考查学生的基本运算能力预测2012年高考仍将以双曲线的定义及几何性质为主要考查点，重点考查运算能力、逻辑推理能力规范解答 例(本题满分 12 分)已知双曲线 C 的方程为y2a2x2b21(a0，b0)，离心率 e 52，顶点到渐近线的距离为2 55.(1)求双曲线 C 的方程；(2)如图所示，P 是双曲线 C 上一点，A，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第
17、一、二象限若APPB，13，2，求AOB 面积的取值范围【思路点拨】第(1)问根据已知条件列方程组解决；第(2)问结合图形可知，由于AOB 为定值，故三角形面积仅仅与线段|OA|，|OB|的长度有关，结合点 A，B在两条渐近线上，点 P 在双曲线上和APPB，建立三角形面积关于 的函数关系式，然后根据 的取值范围求得AOB 面积的取值范围【解】(1)由题意知，双曲线 C 的顶点(0，a)到渐近线 axby0 的距离为2 55，aba2b22 55，即abc 2 55，由 abc 2 55，ca 52，c2a2b2，得a2，b1，c 5，双曲线 C 的方程为y24x21.4 分(2)由(1)知双
18、曲线 C 的两条渐近线方程为 y2x.设 A(m,2m)，B(n,2n)，m0，n0.由APPB得 P 点的坐标为(mn1，2mn1)，6 分将 P 点坐标代入y24x21，化简得 mn124.设AOB2，tan(2)2，tan12，sin245.又|OA|5m，|OB|5n，SAOB12|OA|OB|sin22mn12(1)1.8 分记 S()12(1)1，13，2，则 S()12(112)，由 S()0，得 1，又 S(1)2，S(13)83，S(2)94.10 分当 1 时，AOB 的面积取得最小值 2，当 13时，AOB 的面积取得最大值83，AOB 面积的取值范围是2，83.12 分
19、【名师点评】(1)解答本题容易出现的错误为第(1)问按照焦点在 x 轴上的双曲线的几何性质进行解答，出现错误，如仍然按照双曲线的渐近线方程是 ybax 进行解答；第(2)问容易犯的一个主要错误就是建立三角形面积与 之间的函数关系式时思路混乱、方向不明，出现各种错误解法(2)在圆锥曲线中经常遇到求范围问题，这类问题在题目中往往没有给出不等关系，需要我们去寻找对于圆锥曲线的参数的取值范围问题或最值问题，解法通常有两种当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时，可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式(如双曲线的范围，直线与圆锥曲线相交时0等)，通过解不等式(组)求得参数的取值范围；当题目的
20、条件和结论能体现一种明确的函数关系时，则可先建立目标函数，进而转化为求解函数的值域名师预测 如图所示，已知双曲线x2a2y2b21(ba0)且a1,2，它的左、右焦点分别为 F1、F2，左、右顶点分别为 A、B.过 F2 作圆 x2y2a2 的切线，切点为 T，交双曲线于 P，Q 两点(1)求证：直线PQ与双曲线的一条渐近线垂直；(2)若M为PF2的中点，O为坐标原点，|OM|MT|1，|PQ|AB|，求实数的取值范围解：(1)证明：双曲线x2a2y2b21(ba0)的渐近线为ybax，设直线 PQ 的方程为 yk(xc)(不妨设k0)，由于直线 PQ 与圆 x2y2a2 相切，|kc|k21
21、a，即 k2a2b2，直线 PQ 的斜率 kab.因为第一、三象限的渐近线的斜率为ba，abba1.所以直线 PQ 与双曲线的一条渐近线垂直(2)由ykxc，x2a2y2b21，得(b2a2k2)x22a2k2cxa2k2c2a2b20.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x22a2k2cb2a2k2，x1x2a2k2c2a2b2b2a2k2，所以|PQ|1k2x1x224x1x22ab21k2|b2a2k2|2ab2b2a2.因为|OM|12|PF1|，|F2M|12|PF2|，|F2M|OM|12(|PF2|PF1|)a，|OM|MT|1，代入上式得|F2M|MT|a1.又|F2M|MT|F2T|c2a2b，所以 ba1.因为|AB|2a，|PQ|2ab2b2a2，b2b2a2a122a1 a22a11.令 t2a1，则 at12，t3,5，所以 14(t1t2)1，设 yt1t，因为 t1t在3,5上为增函数，所以 43，95本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
