1、2.10 函数模型及其应用 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 2.10 函数模型及其应用双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1三种增长型函数模型的图像与性质 增函数越来越快越来越慢增函数增函数y轴x轴2.几类常用函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数模型 f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型 f(x)baxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)对数函数模型 f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)幂函数模型 f(x)axnb(a，b为常数，a0)3.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)
2、审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义 以上过程用框图表示如下：课前热身 1(2011年焦作质检)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()Ay2x2 By12(x21)Cylog3xDy2x2答案：B 2.某工厂8
3、年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示，下列四种说法：前三年中，产量增长的速度越来越快；前三年中，产量增长的速度越来越慢；第三年中，产品停止生产；第三年中，这种产品产量保持不变 其中说法正确的是()A与B与 C与D与 答案：A 3某机床在生产中所需垫片可以外购，也可自己生产，其中外购的单价是每个1.10元，若自己生产，则每月需投资固定成本800元，并且每生产一个垫片还需材料费和劳务费共0.60元设该厂每月所需垫片x个，则自己生产垫片比外购垫片较合算的条件是()Ax1800Bx1600 Cx500Dx1400 答案：B 4(教材习题改编)某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新专用
4、设备和制作模具花去了200000元，生产每件工艺品的直接成本为300元，每件工艺品的售价为500元，则利润L与产量x之间的函数关系式为_ 答案：L200 x200000(xN)5(2011 年汉中质检)定义运算 a*b a，ab，b，ab，则对于 xR，函数 f(x)1答案：1 考点探究挑战高考 考点突破 一次函数与二次函数模型 1在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)；2有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等，一般利用二次函数图像和性质解决 某租赁公司拥有汽车100辆，
5、当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？例1【思路点拨】建立每辆车的月租金与月收益的函数关系式后求函数最大值【解】(1)租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆(2)设每辆车的月租金为x元(x3000)，租赁公司的月收益为y元，则 yx100 x300050 x30005050100 x300050150 x250 16
6、2x 21000 150(x4050)2307050，当 x4050 时，ymax307050.即当每辆车月租金定为 4050 元时，租赁公司月收益最大，最大为 307050 元【失误点评】未能注意函数实际问题中的定义域，只考虑x0，而未考虑x3000致误 变式训练1 南方某地市场信息中心为了分析地区蔬菜的供求情况，通过调查得到家种野菜“芦蒿”的市场需求量和供应量数据见下表 芦蒿的市场需求量信息表：芦蒿的市场供应量信息表：需求量y/吨 40 38 37.1 36 32.8 30 价格x/千元吨1 2 2.4 2.6 2.8 3.4 4 价格x/千元吨1 2 2.5 3.2 4.46 5 5.2
7、 需求量y/吨 29 32 36.3 40.9 44.6 47(1)试写出描述芦蒿市场需求量y关于价格x的近似函数关系式；(2)试根据这些信息，探求市场对芦蒿的供求平衡量(需求量与供应量相等，就称供求平衡，近似到1吨)解：(1)在直角坐标系中，由第一个表描出数对(x，y)对应的点，由图可知这些点近似地构成一条直线(其中四个点在一条直线上)，所以芦蒿的市场需求量关于价格的近似函数关系式为y40403024(x2)，即 y505x，；(2)与上同理可知芦蒿市场价格关于供应量的近似函数关系式为 y16x176，所以芦蒿市场供应量关于价格的近似函数关系式为 y6x17，解、联立的方程组，得 x3，y3
8、5，则市场对芦蒿的供求平衡量为 35 吨分段函数模型 1现实生活中有很多问题都可以用分段函数表示，如出租车计费、个人所得税等问题，分段函数是解决实际问题的重要模型 2分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可先将其看作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的变化范围，特别是端点值 3构造分段函数时，要力求准确简捷，做到分段合理，不重不漏，分段函数也是分类讨论问题 某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于
9、51元(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；例2(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润实际出厂单价单个成本)【思路点拨】出厂单价与订购量成分段函数关系，其分段点有两个，一个是x100，另一个是第(1)问中所求x的值，从而厂家获得的利润也是x的分段函数【解】(1)设每个零件的实际出厂单价恰好降为 51 元时，一次订购量为 x0 个，则x010060510.02 550.当一次订购量为 550 个时，每个零件的实际出厂单价
10、恰好降为 51 元；(2)当 0 x100 时，P60；当 100 x550 时，P600.02(x100)62 x50；当 x550 时，P51.所以 Pf(x)60，0 x10062 x50，100 x550 xN.51，x550(3)设销售商的一次订购量为 x 个时，工厂获得的利润为 L 元，则L(P40)x20 x，0 x100，22xx250，100 x550 xN，11x，x550，当x500时，L6000(元)；当x1000时，L11000(元)因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元【名师点评】分段函数型问题要能将分
11、段的各边界点的位置确定好，然后根据已知条件列出解析式即可在列方程或列函数解析式时，要能够充分抓住所设的未知量，把它当作是一个已知量来表示，去替换条件中的所有关键语句的变化量关系，得解析式分式函数模型的应用 现实生活中的工程、投资、销售、环境保护等热点问题往往用构建分式函数模型一般用基本不等式或导数求最值(2009年高考湖北卷)围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的
12、总费用为y(单位：元)(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用例3【思路点拨】(1)根据所给条件把矩形围墙的各部分的费用都表示出来即可；(2)根据基本不等式求解【解】(1)设矩形的另一边长为 a m，则 y45x180(x2)1802a225x360a360，由已知 xa360，得 a360 x，y225x3602x 360(x0)(2)x0，225x3602x 2 225360210800，y225x3602x 36010440.当且仅当 225x3602x 时，等号成立即当 x24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440
13、元【规律小结】根据实际问题建立函数模型时，要准确理解问题的实际意义，当题目中给出变量时，要搞清楚这些变量究竟表示什么，这些变量有哪些限制条件等函数模型建立后，要灵活地选择解决数学模型的方法，解模后要对实际问题做出解释 变式训练2 某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2010年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3x与t1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2010年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为“其生产成本的150%”与“平均
14、每件促销费的一半”之和，则当年生产的化妆品正好能销完假设2010年生产的化妆品正好销完，(1)将2010年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；(2)该企业2010年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？解：(1)由题意，得 3x kt1，将 t0，x1 代入，得 k2，x3 2t1.当年生产 x 万件时，年生产成本年生产费用固定费用32x332(3 2t1)3，当销售x 万件时，年销售收入150%32(3 2t1)312t.由题意，生产 x 万件化妆品正好销完，所以年利润年销售收入年生产成本年促销费，即 yt298t352t1(t0)(2)y50(t12 32t1)502 164
15、2(万元)，当且仅当t12 32t1，即 t7 时，ymax42，当促销费定在 7 万元时，企业的年利润最大方法感悟 方法技巧1理解函数思想及函数与方程思想的实质，强化应用意识 2通过解决函数应用题提高学生的阅读理解能力，抽象转化能力和解答实际问题的能力(1)含增长问题一般可建立指数型函数模型ya(1p)x.(2)指数式和对数式的计算问题应借助计算器进行(3)实际问题要按精确度要求作近似计算，并且变形时要控制误差(注意单位的统一等问题)3几种重要的函数模型的应用(1)应用二次函数模型解决有关最值问题(如例 1)(2)应用分式函数模型：yxax(a0)，结合单调性或重要不等式解决有关最值问题(如
16、例 3)(3)应用函数模型：ykx(k0)、yN(1p)x(N0，p0)、ylogax 解决与直线上升、指数爆炸、对数增长有关的实际问题失误防范1函数模型应用不当，是常见的解题错误要正确理解题意，选择适当的函数模型 2要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域 3注意问题反馈在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性 考情分析 考向瞭望把脉高考 对函数的实际应用问题的考查题目多以社会实际生活为背景，设问新颖、灵活，而解决这些问题所涉及的数学知识、思想、方法又都是高中教材和大纲所要求掌握的概念、公式、法则、定理等基础知识和方法题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导
17、数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力 预测2012年高考仍将以函数建模为主要考点，同时考查利用导数求最值问题(2010年高考浙江卷)某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值为_真题透析 例【思路点拨】根据给出的自变量，把一到十月份的销售额表示出来，即建立起自变量x和销售额之间的函数关系式，建立模型的依据就是一至十月份的销售总额至少为7000万元，然后解不等式即可【解析】七月
18、份的销售额为500(1x%)，八月份的销售额为500(1x%)2，则一月份至十月份的销售总额是38605002500(1x%)500(1x%)2，根据题意，有38605002500(1x%)500(1x%)27000，即25(1x%)25(1x%)266，令 t1x%，则 25t225t660，解得t65或者 t115(舍去)，故 1x%65，解得 x20.故填 20.【答案】20【名师点评】(1)易误分析：实际问题中函数和一般的函数有一个明显的区别，就是在实际问题中，函数的定义域一般不是由函数解析式确定的，而是由问题的实际意义确定的，在解题中要格外注意(2)实际问题中往往解决的是一些最值问题
19、，这类问题一般是求函数的最值、解不等式(组)等，即把建立的函数模型和求函数最值、解不等式(组)等问题结合起来，通过求函数最值或者解不等式等对实际问题作出解释甲方是一农场，乙方是一工厂，乙方生产需占用甲方的资源，甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入乙方在赔付甲方前，年纯收入 P(元)与年产量 t(吨)满足函数关系 P2000 t；若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 S(元)(以下称 S 为赔付价格)，则其年利润为 Q(元)名师预测(1)求乙方的年利润Q(元)关于年产量t(吨)的函数表达式，并求出当年利润Q(元)最大时的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失为y0.002t2(
20、元)，在乙方按照获得最大年利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少？(净收入获赔金额经济损失)解：(1)乙方的年利润为 Q2000 tSt(t0)QSt2000 tS(t1000S)210002S.当 t1000S，即 t(1000S)2 时，Q 取得最大值因此，乙方获最大利润的年产量 t(1000S)2 吨(2)设甲方净收入为 R 元，则 RSt0.002t2.将 t(1000S)2 代入上式得：RS(1000S)20.002(1000S)410002S210003S4.R10002S2 810003S5100028000S3S5.令R0，得S20.当S20时，R0；当S20时，R0，S20时，R取得最大值因此甲方向乙方要求赔付价格S20(元/吨)时获最大净收入本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
