1、2.5 指数函数第一章集合与常用逻辑用语第二章函数的概念、基本初等函数()及函数的应用1根式(1)n 次方根：如果 xna，那么 x 叫做 a 的，其中 n1，且 nN*.当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个数，负数的 n次方根是一个数，这时 a 的 n 次方根用符号表示当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有个，这两个数互为这时，正数 a 的正的 n 次方根用符号表示，负的n 次方根用符号表示正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并写成负数没有偶次方根0 的 n(nN*)次方根是，记作(2)根式：式子n a叫做根式，这里 n 叫做，a 叫做(3)根式的性质：n 为奇数时，n an；n
2、为偶数时，n an.2幂的有关概念及运算(1)零指数幂：a0.这里 a0.(2)负整数指数幂：an(a0，nN*)(3)正分数指数幂：amn(a0，m，nN*，且 n1)(4)负分数指数幂：a-mn(a0，m，nN*，且 n1)(5)0 的正分数指数幂等于，0 的负分数指数幂(6)有理指数幂的运算性质 aras（a0，r，sQ），（ar）s（a0，r，sQ），（ab）r（a0，b0，rQ）.3指数函数的图象及性质定义一般地，函数 yax(a0，且 a1)叫做指数函数图象a10a1定义域_值域_性质过定点_在 R 上是_在 R 上是_自查自纠1(1)n 次方根 正 负 n a两 相反数 n a
3、n a n a 0 n 00(2)根指数 被开方数(3)a|a|2(1)1 (2)1an(3)n am(4)1n am(5)0 没有意义(6)ars ars arbr3R(0，)(0，1)增函数 减函数 1.(2018河南安阳月考)化简a3b23 ab2（a14b12）4 3 ba(a0，b0)的结果是()A.baB.abC.a2bD.ab解：原式a3b2a13b23ab2 ba13（a103 b83）12a23b73a53b43a23b73ab1ab.故选 D.2.(2017 年高考北京卷)已知函数 f(x)3x 13x，则 f(x)()A.是奇函数，且在 R 上是增函数B.是偶函数，且在
4、R 上是增函数C.是奇函数，且在 R 上是减函数 D.是偶函数，且在 R 上是减函数解：f(x)3x 13x 13x3xf(x)，所以该函数是奇函数，并且 y3x 是增函数，y 13x是减函数，则 y 13x是增函数，故该函数是增函数故选 A.3.(河南豫南九校 20192020 高一上一联)函数 f(x)axb 的图象如图，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是()A.a1，b1，b0 C.0a0 D.0a1，b0 解：由 f(x)axb 的图象可以观察出，函数 f(x)axb 在定义域上单调递减，所以 0a1，函数 f(x)axb 的图象是将 yax 的图象向左平移得到的，所以 b0.故
5、选 D.4.(2019河北承德一中期中)设 a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则 a，b，c 的大小关系是_(用“”连接).解：函数 y0.6x 在定义域 R 上为单调递减函数，所以10.600.60.60.61.5.而函数 y1.5x 为单调递增函数，所以1.50.61.501，所以 bac.故填 bac.5.设函数 f(x)12x7，x0，x，x0，若 f(a)1，则实数 a 的取值范围是_.解：当 a0 时，不等式 f(a)1 可化为 12a71，即 12a8，即 12a3.又 a0，所以3a0.当 a0 时，不等式f(a)1 可化为 a1，所以 0a1.综上，a 的取值范
6、围为(3，1)故填(3，1)类型一 指数幂的运算例 1(1)计算：()3a92a33 a73 a13(a0)；()(0.027)13 17227912(21)0；()56a13b2(3a12b1)(4a23b3)12(a，b0).解：()原式(a92a32)13(a73a133)12(a3)13(a2)12aa1.()原式271 0001372259121103 4953145.()原式52a16b3(4a23b3)1254a16b3(a13b32)54a12b32541ab35 ab4ab2.(2)已知 a12a123，求下列各式的值.()aa1；()a2a2；()a2a21aa11.解：(
7、)将 a12a123 两边平方，得 aa129，所以 aa17.()将 aa17 两边平方，得 a2a2249，所以a2a247.()由()()可得a2a21aa11 47171 6.评析 指数幂运算的一般原则：指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算.先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.变式 1(1)32137608144 22323_.解：原式 23131234214 23132.故填 2.(2)化简：4a23b13
8、23a13 b13 _.解：原式(6)a23+13b13+136a.故填6a.(3)已知 xy12，xy9，且 xy，则x12y12x12y12_.解：因为x12y12x12y12（x12y12）2（x12y12）（x12y12）xy2（xy）12xy，又 xy12，xy9，且 x0 且 a1)的图象可能是()A B C D解：函数 yax1a是由函数 yax 的图象向下平移1a个单位长度得到的，A 项显然错误；当 a1 时，01a1，平移距离小于 1，所以 B 项错误；当 0a1，平移距离大于 1，所以 C 项错误故选 D.(2)若函数 f(x)|2x2|b 有两个零点，则实数 b 的取值范
9、围是_.解：令|2x2|b0，得|2x2|b，令 y|2x2|，yb，其函数图象有两个交点，结合函数图象可知，0b2，若互不相等的实数 a，b，c 满足 f(a)f(b)f(c)，则 2a2b2c 的取值范围是()A.(16，32)B.(18，34)C.(17，35)D.(6，7)解：画出函数 f(x)的图象如图所示 不妨令 abc，由图象可知，ab2，则由 f(a)f(b)得 12a2b1，则 2a2b2.结合图象可得 4c5，故 162c32，所以 182a2b2c34.故选 B.类型三 指数函数的综合问题例 3(1)(2018莆田二十四中模拟)已知 4，2，a(cos)cos，b(sin
10、)cos，c(cos)sin，则()A.abcB.acb C.bacD.cab 解：因为 4，2，所以 0cos 22，cos(cos)cos，根据指数函数的性质，可得(cos)cos(cos)sin，所以 bac.故选 D.(2)函数 y 12x2x2的单调递增区间是_.解：令 tx2x20，得函数的定义域为1，2，所以 tx2x2 在1，12 上单调递增，在12，2 上单调递减，根据“同增异减”的原则，函数 y 12x2x2的单调递增区间是12，2.故填12，2.(3)(江西省“山江湖”协作体 20192020 学年高一上期中联考)已知函数 f(x)x2，g(x)12xm，当 x1，2时，
11、不等式f(x)g(x)恒成立，则实数 m 的取值范围是()A.154，B.12，C.(3，)D.(4，)解：不等式 f(x)g(x)，即 x2 12xm，因此 m 12xx2，令 h(x)12xx2，则 h(x)在 x1，2上单调递减，所以 h(x)的最大值是 h(1)1211212，因此实数 m 的取值范围是12，.故选 B.(4)(2018珠海模拟)若 xlog521，则函数 y4x2x13 的最小值为()A.4B.3C.1D.0解：由 xlog521 得 log52xlog515，即 2x15，令 t2x，则有 yt22t3(t1)24，因为 t15，所以当 t1，即 x0 时，函数取得
12、最小值为4.故选 A.评析 解决指数函数的综合问题，首先要熟练掌握指数函数的基本性质，如函数值恒正，在 R 上单调，过定点等；对于底数 a 与 1 的大小关系不明确的，要分类讨论；涉及零点问题往往要数形结合；不同底的往往要化同底，并注意换元思想的应用.变式 3(1)(2019河北正定中学模拟)已知定义在 R 上的函数f(x)2|xm|1(m 为实数)为偶函数，记 af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则 a，b，c 的大小关系为()A.abc B.cab C.acb D.cba 解：由函数 f(x)2|xm|1 为偶函数，得 m0，所以 f(x)2|x|1，当 x0 时，f
13、(x)为增函数，log0.53log23，因为 log25|log23|0，所以 bf(log25)af(log0.53)cf(2m)f(0)，故 bac.故选 B.(2)已知函数 f(x)2|2xm|(m 为常数)，若 f(x)在区间2，)上是增函数，则 m 的取值范围是_.解：令 t|2xm|，则 t|2xm|在区间m2，上单调递增，在区间，m2 上单调递减而 y2t 为 R 上的增函数，所以要使函数f(x)2|2xm|在2，)上单调递增，则有m22，即 m4，所以 m 的取值范围是(，4故填(，4 (3)(2018浙江丽水月考)当 x(，1时，不等式(m2m)4x2x0 恒成立，则实数
14、m 的取值范围是_.解：原不等式变形为 m2m 12x，因为函数 y 12x在(，1上是减函数，所以 12x 1212，当 x(，1时，m2m 12x恒成立等价于 m2m2，解得1m0，且 a1，函数 ya2x2ax1 在1，1上的最大值是 14，则实数 a 的值为_.解：令 tax(a0，且 a1)，则原函数化为 yf(t)(t1)22(t0)当 0a1 时，x1，1，tax1a，a，此时 f(t)在1a，a 上是增函数所以 f(t)maxf(a)(a1)2214，解得 a3 或 a5(舍去)综上得 a13或 3.故填13或 3.1.指数函数的图象、性质在应用时，如果底数 a 的取值范围不确定，则要对其进行分类讨论2.比较两个幂的大小，首先要分清是底数相同还是指数相同.如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可转化为底数相同，或利用幂函数的单调性，也可借助函数图象；如果指数不同，底数也不同，则要利用中间量.3.作指数函数 yax(a0，且 a1)的图象应抓住三个点1，1a，(0，1)，(1，a).
