1、书浙江新高考数学试卷及试题全解析参考答案年浙江省普通高校招生统一考试数学 年浙江省普通高校招生统一考试数学 年浙江省普通高校招生统一考试数学 年浙江省普通高校招生统一考试数学 年浙江省普通高校招生统一考试数学 助力最后一届浙江卷（2022年高考）考生浙大社天猫旗舰店限时5折发售珍藏版“红宝书”手机淘宝扫码即可下单年浙江省普通高校招生统一考试数学选择题部分共分一选择题本大题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的设集合 则 已知为虚数单位则已知非零向量则是的充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件某几何体的三视图如图所示单位则该几何体的体积单位是槡
2、槡 若实数满足约束条件则的最小值是如图已知正方体 分别是的中点则与垂直平面 与平行平面与相交平面 与异面平面已知函数右图可能是下列哪个函数的图象已知是互不相同的锐角则在三个值中大于的个数的最大值是已知函数若成等比数列则平面上点的轨迹是直线和圆直线和椭圆直线和双曲线直线和抛物线已知数列满足 槡 记数列的前项和为则非选择题部分共分二填空题本大题共小题多空题每题分单空题每题分共分我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形如图所示若直角三角形直角边的长分别为记大正方形的面积为小正方形的面积为则已知函数 若槡则已知多项式则在中 是的中点
3、 槡 则 袋中有个红球个黄球个绿球现从中任取两个球记取出的红球数为若取出的两个球都是红球的概率为一红一黄的概率为则 已知椭圆 焦点若过点 的直线和圆 相切且与椭圆在第一象限交于点 并满足轴则该直线的斜率是椭圆的离心率是已知平面向量满足记平面向量在方向上的投影分别为在方向上的投影为则 的最小值是三解答题本大题共小题共分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤本题满分分设函数求函数 的最小正周期求函数 在 上的最大值年浙江省普通高校招生统一考试本题满分分如图在四棱锥中底面是平行四边形 分别为的中点证明求直线 与平面 所成角的正弦值本题满分分已知数列的前项和为且 求数列的通项公式设数列满足记的前项和为若
4、 对任意恒成立求实数的取值范围本题满分分如图已知 是抛物线的焦点 是抛物线的准线与 轴的交点求抛物线的方程设过点的直线交抛物线于两点若斜率为的直线与直线 轴依次交于点且满足求直线在轴上截距的取值范围本题满分分设为实数且函数求函数的单调区间若对任意函数有两个不同零点求的取值范围当时证明对任意函数有两个不同零点满足注是自然对数的底数年浙江省普通高校招生统一考试年浙江省普通高校招生统一考试数学选择题部分共分一选择题本大题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的已知集合 则 已知若为虚数单位是实数则若实数满足约束条件 则的取值范围是函数在区间上的图象可能是某几何体的三视图单位
5、如图所示则该几何体的体积单位是已知空间中不过同一点的三条直线共面是两两相交的充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件已知等差数列的前项和为公差且记 下列等式不可能成立的是已知点设点满足且为函数 槡图象上的点则槡 槡 槡槡 已知且对于任意均有则设集合 中至少有个元素且满足对于任意的若则对于任意的若则 下列命题正确的是若有个元素则有个元素若有个元素则有个元素若有个元素则有个元素若有个元素则有个元素非选择题部分共分二填空题本大题共小题多空题每题分单空题每题分共分我国古代数学家杨辉朱世杰等人研究过高阶等差数列的求和问题如数列 就是二阶等差数列数列 的前项和是已知二项展开式 则 已知
6、则 已知圆锥的侧面积单位为且它的侧面展开图是一个半圆则这个圆锥的底面半径单位是已知直线与圆和圆均相切则盒中有个球其中个红球个绿球个黄球从盒中随机取球每次取个不放回直到取出红球为止设此过程中取到黄球的个数为则 已知平面单位向量 满足槡设向量的夹角为则的最小值是三解答题本大题共小题共分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤本题满分分在锐角中角 所对的边分别为已知 槡 求角的大小求的取值范围年浙江省普通高校招生统一考试本题满分分如图在三棱台中平面平面证明求直线 与平面所成角的正弦值本题满分分已知数列满足 若为等比数列公比且求的值及数列的通项公式若为等差数列公差证明 本题满分分如图已知椭圆抛物线 点 是
7、椭圆 与抛物线 的交点过点 的直线交椭圆 于点交抛物线 于点 点 不同于点若求抛物线 的焦点坐标若存在不过原点的直线使 为线段 的中点求的最大值本题满分分已知函数其中是自然对数的底数证明函数在上有唯一零点记 为函数在上的零点证明 槡 槡年浙江省普通高校招生统一考试年浙江省普通高校招生统一考试数学选择题部分共分一选择题本大题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的已知全集集合 则渐近线方程为的双曲线的离心率是槡槡若实数满足约束条件则的最大值是祖是我国南北朝时代的伟大科学家他提出的幂势既同则积不容异称为祖原理利用该原理可以得到柱体的体积公式柱体 其中是柱体的底面积是柱体的
8、高若某柱体的三视图如图所示单位则该柱体的体积单位是设则则的充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件在同一直角坐标系中函数 且的图象可能是设随机变量 的分布列是则当在区间内增大时增大减小先增大后减小先减小后增大设三棱锥的底面是正三角形侧棱长均相等是棱 上的点不含端点记直线 与直线所成的角为直线 与平面所成的角为二面角 的平面角为则设函数若函数恰有个零点则已知数列满足 则当时当时当时当时非选择题部分共分二填空题本大题共小题多空题每题分单空题每题分共分若复数 为虚数单位则已知圆的圆心坐标是半径长是若直线与圆相切于点则 在二项式槡 的展开式中常数项是系数为有理数的项的个数是在中点
9、在线段 上若 则 已知椭圆的左焦点为点 在椭圆上且在轴的上方若线段 的中点在以原点 为圆心为半径的圆上则直线 的斜率是已知 函数 若存在使得 则实数 的最大值是已知正方形 的边长为当每个取遍时 的最小值是最大值是三解答题本大题共小题共分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤本题满分分设函数已知函数是偶函数求的值求函数 的值域年浙江省普通高校招生统一考试本题满分分如图已知三棱柱 平面 平面 分别是 的中点证明求直线与平面所成角的余弦值本题满分分设等差数列的前项和为数列满足对每个 成等比数列求数列的通项公式记槡 证明槡 本题满分分如图已知点为抛物线的焦点过点的直线交抛物线于两点点在抛物线上使得的重心
10、 在轴上直线交轴于点且在点 的右侧记的面积分别为求的值及抛物线的准线方程求的最小值及此时点的坐标本题满分分已知实数设函数槡当时求函数的单调区间对任意 均有槡求的取值范围注为自然对数的底数年浙江省普通高校招生统一考试年浙江省普通高校招生统一考试数学选择题部分共分一选择题本大题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的已知全集则双曲线的焦点坐标是 槡 槡 槡 槡某几何体的三视图如图所示单位则该几何体的体积单位是复数 为虚数单位的共轭复数是函数的图象可能是已知平面直线 满足则是的充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件设随机变量的分布列是则当在区间内增大时
11、减小增大先减小后增大先增大后减小已知四棱锥的底面是正方形侧棱长均相等是线段 上的点不含端点设与所成的角为与平面 所成的角为二面角的平面角为则已知是平面向量是单位向量若非零向量与的夹角为向量满足则的最小值是槡槡槡 已知 成等比数列且若则非选择题部分共分二填空题本大题共小题多空题每题分单空题每题分共分我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题今有鸡翁一值钱五鸡母一值钱三鸡雏三值钱一凡百钱买鸡百只问鸡翁母雏各几何设鸡翁鸡母鸡雏的个数分别为 则当时若满足约束条件则的最小值是最大值是在中已知角 所对的边分别为若 槡 则二项式槡 的展开式的常数项是已知函数 当时不等式的解集是若函数恰有个零点则的取值范围是从
12、中任取个数字从中任取个数字一共可以组成个没有重复数字的四位数用数字作答已知点 椭圆上的两点 满足 则当 时点 横坐标的绝对值最大三解答题本大题共小题共分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤本题满分 分已知角 的顶点与原点 重合始边与 轴的非负半轴重合它的终边过点 求的值若角满足求的值年浙江省普通高校招生统一考试本题满分 分如图已知多面体 均垂直于平面 证明平面 求直线 与平面 所成角的正弦值本题满分分已知等比数列的公比且是 的等差中项数列满足数列的前项和为求的值求数列的通项公式本题满分分如图已知点 是轴左侧不含轴上一点抛物线上存在不同的两点满足的中点均在上设 的中点为 证明轴若 是半椭圆上的动
13、点求面积的取值范围本题满分分已知函数槡若在处导数相等证明若证明对于任意直线与曲线有唯一公共点年浙江省普通高校招生统一考试年浙江省普通高校招生统一考试数学选择题部分共分一选择题本大题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的已知集合 那么 椭圆的离心率是槡槡某几何体的三视图如图所示单位则该几何体的体积单位是 若满足约束条件 则的取值范围是若函数在区间上的最大值是 最小值是 则 与有关且与有关与有关但与无关与无关且与无关与无关但与有关已知等差数列 的公差为前项和为则是的充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件函数的导函数的图象如图所示则函数的图象可能是已
14、知随机变量满足若则如图已知正四面体 所有棱长均相等的三棱锥分别为上的点分别记二面角 的平面角为则如图已知平面四边形 与 交于点记 则非选择题部分共分二填空题本大题共小题多空题每题分单空题每题分共分我国古代数学家刘徽创立的割圆术可以估算圆周率 理论上能把 的值计算到任意精度祖冲之继承并发展了割圆术将的值精确到小数点后七位其结果领先世界一千多年割圆术的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积则已知是虚数单位则已知多项式 则已知 点 为 延长线上一点连结 则 的面积是已知向量满足则的最小值是最大值是从男女共名学生中选出队长人副队长人普通队员人组成人服务队要求服务队中至少有名女生共有种不同的选法用数字作答
15、已知函数 在区间上的最大值是则的取值范围是三解答题本大题共小题共分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤本题满分分已知函数 槡 求 的值求的最小正周期及单调递增区间年浙江省普通高校招生统一考试本题满分分如图已知四棱锥 是以 为斜边的等腰直角三角形为 的中点证明平面 求直线与平面所成角的正弦值本题满分分已知函数 槡 求的导函数求在区间 上的取值范围本题满分 分如图已知抛物线 点 抛物线上的点 过点作直线 的垂线垂足为求直线 斜率的取值范围求 的最大值本题满分分已知数列 满足 证明当时 年浙江省普通高校招生统一考试书参考答案年浙江省普通高校招生统一考试数学解析一选择题每小题分共分二填空题单空题每空分
16、多空题每空分共分 槡 槡 槡 槡 解析一填空题正确理解两个集合交集合的意义并能在数轴上表示正确答案是 理解复数的意义能进行复数的运算正确答案是 理解两个向量数量积的含义理解必要条件的意义正确答案是 能利用三视图的特点还原为空间几何体的图形并能利用几何体的特点求出体积正确答案是 利用给出约束条件确定平面区域根据所求目标函数确定最小值正确答案是 利用正方体的特点研究空间直线和直线的位置关系及直线和平面的位置关系正确答案是 仔细观察已知函数图形的特点再利用给出的函数 组合后的特点利用函数的奇偶性我们可以否定 利用函数的单调性我们可以确定 正确答案是 本题是三角形式下的三个数值的大小分析可以利用特殊的
17、角进行探路分析利用特殊的值可以得到有两个值大于 取分别为三个值为槡 槡 取分别为三个值为槡 槡 证明三个值不能都大于 思路若三个值中有两个值大于 证明第三个值一定小于 若 那么 即 则 因此 思路反证法若三个值都大于 那么 或 因为互不相同 矛盾 所以正确答案是 已知成等比数列则满足 则即即 那么或 因为所以点的轨迹是直线或双曲线正确答案是 利用可得 又显然那么必有 问题的关键变为是否有上界由 槡 得 槡 槡 槡 则由 槡 得槡 则 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 即 槡 槡 取累加得 槡 槡 槡 即故正确答案是 二填空题在了解中国古代赵爽弦图的含义的基础上计算出两个正方形的面积那么因
18、为槡所以槡槡则槡因此由槡得在多项式 中 是含 的系数则在多项式 中取得所以在 中 槡 那么 取 的中点 连结 那么 则在 中 槡 则 槡因此 槡 槡 第题图由条件得当时 那么解得 又已知 即 所以那么 因此当时 当时 因此 设直线 与圆相切于点 如图根据题意 则 槡在 中 槡 则直线 的斜率为 槡 在 中 槡 则离心率 槡 第题图确定点 在三角形的内部转化为三角形内一点到三边距离平方和的最小值思路寻找三条高的等量关系利用面积如图 即 那么 槡 记 槡因 为 则 槡 槡 槡槡槡 即即 当 槡即 槡时等号成立所以 的最小值是 第题图思路转化平方和的形式作 如图那么 参考答案 槡 当 槡时即 槡时等
19、号成立第题图思路如图建立坐标系设 则直线 的方程是设 那么 槡 当且 即 时等号成立第题图三解答题本题主要考查两角和与差的正弦公式余弦公式二倍角公式等基础知识同时考查数学运算素养满分分由已知得 故最小正周期 槡 槡 槡 因为 故当时函数 取最大值槡 本题主要考查空间点线面的位置关系直线与平面所成的角等基础知识同时考查直观想象和数学运算等素养满分分在 中则 槡 所以又因为所以平面 因此又因为 所以 方法一如图连结 交 于点过点 作 交 于点过点作交于点 连结 由知平面 所以 平面 故 是直线 与平面 所成的角连结在平行四边形中 槡 槡在 中由 槡 得 槡 在 中由 槡 得 槡 在 中由 槡 槡得
20、 槡 在平行四边形 中 所以 故 槡 在 中 槡 因此直线 与平面 所成角的正弦值为 槡 第题图方法二如图以 为原点分别以射线 为轴轴的正半轴建立空间直角坐标系 则 槡 槡设 槡因为所以 槡 故 槡槡 槡 槡所以 槡 槡 槡槡 槡设平面 的一个法向量由 得 槡 槡 槡取设直线 与平面 所成角为所以 槡 因此直线 与平面 所成角的正弦值为 槡 第题图本题主要考查等比数列定义通项公式前项和公式等基础知识同时考查数学运算和逻辑推理等素养满分分由得则又因为 所以所以是以 为首项以 为公比的等比数列因此 由题意得 则 两式相减得 所以 由题意得 恒成立所以记所以 解得本题主要考查抛物线的几何性质直线与抛
21、物线的位置关系等基础知识同时考查数学抽象数学运算与逻辑推理等素养满分分由题意知所以抛物线的方程是由题意可设直线 的方程为 设将直线 的方程代入得所以直线 的方程为 设直线的方程为 记 由 得 同理得 记 由 得 由题意知化简得 易知所以 因为 当 时等号成立所以 解得槡 或槡 且因此直线在轴上的截距的取值范围是 槡 槡 第题图本题主要考查函数的单调性零点导数的运算及其应用同时考查数学抽象数学运算与逻辑推理等素养满分分因为所以当时恒成立所以的单调递增区间是当时当 时当 时所以的单调递减区间是 单调递增参考答案区间是 因为函数有两个零点由知有 即 记则 所以在上单调递减当时又因此当且仅当 时式即为
22、 所以对任意 必须有 即得经检验的取值范围为符合题意故实数的取值范围为由于由知当时函数有两个零点不妨设记 为 的整数部分则 由题意只需证明 因为 其中函数 在上函数单调递增 因此要证明只需验证 因为 以及 即得故 年浙江省普通高校招生统一考试数学解析一选择题每小题分共分二填空题多空题每题分单空题每题分共分 槡 槡 解析一选择题利用数轴可得 故正确答案是 了解复数的虚部的意义正确答案是 理解线性规划的意义正确答案是 利用函数的奇偶性单调性的图形特点和区间端点函数值的符号来判断正确答案是 题目所给的三视图是一个直三棱柱和一个三棱锥的组合体利用体积计算公式可得组合体的体积是 故正确答案是 根据充要条
23、件的概念判断正确答案是 我们可以知道数列是等差数列根据等差数列通项的特点我们可以知道 都是正确的由 可得也是正确的由 可得 不成立故正确答案是 由已知条件我们不难知道点 在双曲线右支上且双曲线的标准方程是 由题意可知点 的坐标满足方程组 槡解得点 的坐标为 槡 槡 那么 槡故正确答案是 根据题意方程的三个根必须满足的条件是若有正根要求是重根 列表分析明显可知符合题意故正确答案是 结论对两个集合中元素的特点的理解关键是要知道元素一定是幂数的形式这样就可以通过实例来尝试集合可以从集合 中选择元素分析思考也可以分类讨论来思考正确答案是 二填空题在了解高阶等差数列的同时对给定的特殊的高阶等差数列进行计
24、算正确答案是可以利用二项展开式的通项公式得到我们可以对展开式赋值利用和 得到由得 那么 理解圆锥的基本量和侧面展开图扇形基本量之间的关系不难得到圆锥底面的半径为根据题意得槡 槡 解得槡 槡 能对给定的实际问题求出随机变量的分布列和期望红绿红 黄红黄绿红绿黄红 黄黄红绿黄黄红黄绿黄红黄黄绿红 因此 不妨设那么由槡可得那么 而 故在区间 上单调递增因此当 时的最小值为三解答题本题主要考查三角函数及其变换正弦定理等基础知识同时考查数学运算等素养满分分由正弦定理得 槡 故槡 由题意得 由得 由是锐角三角形得 由 槡得 槡 槡故的取值范围是 槡本题主要考查空间点线面的位置关系直线与平面所成角等基础知识同
25、时考查直观想象和数学运算等素养满分分如图过点 作交直线 于点连结由得 槡 由平面 平面 得平面 所以 由 槡得所以 平面 故 由三棱台 得所以 第题图方法一过点 作 交直线 于点 连结由三棱台 得所以直线 与平面 所成角等于直线 与平面所成角由 平面 得 故 平面 所以 为直线 与平面所成角设 槡 由 槡 得 槡 槡所以 槡 因此直线 与平面所成角的正弦值为槡 方法二由三棱台 得所以直线 与平面 所成角等于直线 与平面所成角记为如图以 为原点分别以射线 为轴轴的正半轴建立空间直角坐标系 第题图设 槡 由题意知各点坐标如下因此设平面 的一个法向量参考答案由 即可取所以槡 因此直线 与平面所成角的
26、正弦值为槡 本题主要考查等差数列等比数列等基础知识同时考查数学运算和逻辑推理等素养满分分由 得解得 由 得由 得 由 得 所以 由得因此 本题主要考查抛物线的几何性质直线与椭圆抛物线的位置关系等基础知识同时考查数学抽象数学运算与逻辑推理等素养满分分由 得 的焦点坐标是 由题意可设直线点将直线的方程代入椭圆 得所以点 的纵坐标 将直线的方程代入抛物线得所以 解得因此由 得 所以当 槡 槡 时取到最大值槡 本题主要考查函数的单调性零点导数的运算及其应用同时考查数学抽象逻辑推理与数学运算等素养满分分因为所以在上存在零点因为所以当时故函数在上单调递增所以函数在上有唯一零点令 则由知函数在上单调递增故当
27、时所以函数在单调递增故由 槡 得 槡槡 槡因为在上单调递增故槡令 则 令则与随的变化而变化情况如下 故当时即所以在区间上单调递减因此当时由 槡 得 槡 槡 槡 因为在上单调递增故槡 综上 槡 槡令则所以当时故函数在区间上单调递增因此由 可得由槡 得年浙江省普通高校招生统一考试数学解析一选择题每小题分满分分二填空题多空题每题分单空题每题分共分槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 解析一选择题因为所以故正确答案是 渐近线是的双曲线可设为若则双曲线的标准方程是 则 那么槡 槡因此双曲线的离心率 槡 若则双曲线的标准方程是则那么槡 槡因此双曲线的离心率 槡 故正确答案是 首先由约束条件确定平面区域如图再确定各端
28、点的坐标 显然当目标函数过点时最大最大值是故正确答案是 第题图由三视图可得柱体的形状特点是直五棱柱根据祖 原理只需求出柱体的底面积和柱体的高由三视图可得直五棱柱的底面积是高是因此体积是故正确答案是 由基本不等式槡知可得反之不正确故正确答案是 函数 的图象过定点函数 的图象过定点 那么选项 不正确当时函数 单调递增函数 单调递减故正确答案是 由已知分布列及期望的定义可知期望 那么方差 所以 在区间 上单调递减在区间 上单调递增故正确答案是 如图过点 作底面 过点 作连结 是直线 与平面所成的角则是二面角的平面角由已知条件知二面角 的平面角等于二面角的平面角则在 中在 中第题图在 中那么即而函数在
29、区间 上单调递增所以如图过点作的平行线过点作 的垂线垂足为 连结 就是直线 与直线所成的角则在 中在 中在 中那么即而函数在区间 上单调递减所以因此正确答案是 第题图参考答案研究函数的零点就是研究和图象交点的个数从分段函数的结构来分析当 时函数 的图象与的图象至多有一个交点所以关键是研究时的情况函数 有两个零点 又因为所以函数 有两个极值点它的图形可能的情况有两种如图第题图当时 在区间 上单调递增和的图象至多有一个交点不合题意当时函数 在上单调递减在上单调递增因此 即 而此时若那么在时和的图象必有一个交点那么当且 时函数 恰有个零点因此正确答案是 第题图本题的特点是数列给出了递推关系但没有给出
30、首项的值所以问题要求对所有的首项结论恒成立所以本题可以通过研究特殊初始值来分析数列的变化特点否定某些选项而正确结论的成立需证明选项 当 时 我们取 来分析 由此我们可以知道若 则 因此所以选项 错误选项 当时我们继续取来分析由此我们可以得到若则因此所以选项 错误选项 当时我们仍然取来思考取则有那么不能确定选项 正确与否再取则有 那么仍然不能确定选项 是否正确若再取仍然是那么选项 究竟是否正确 我们能否找到一个 使得呢 从选项 的计算中我们感觉到要想找到否定条件的必须要使数列成为递减数列或摆动数列这样才有可能满足题意取 满足那么我们发现若则即那么 是什么 由得槡取槡因此槡所以选项 错误选项 当
31、时 那么如何证明这是正确的呢因为要对所有的 结论都正确所以我们不能用确定的 来计算但我们可以通过分析前几项的变化特点来思考问题 从这个结构中我们发现若则因此正确答案是 二填空题因为 所以 槡槡 因为直线与圆相切于点所以圆心在过点 且与直线垂直的直线上直线的方程是 而已知圆心又 在 轴 上所 以 那 么 半 径 槡 槡 二项式槡 的通项是 槡当时是常数项即常数项是 槡槡 当时是有理项即系数为有理数的项有个此题可以从多个角度解决要求的问题可以求出三角形中任意的角与边充分利用 解决问题是不错的解题策略第题图在 中 在中根据正弦定理得即所以 槡 过点 作垂足是 因为 槡 所以 在 中 所以 在中即 槡
32、所以 槡 因此 槡 此题可以从多个方面出发解决问题若能联系椭圆的定义问题的解决变得简洁清楚设椭圆的右焦点为 的中点为根据题意 那么 在椭圆 中 槡 根据椭圆定义那么 则 在 中则 槡所以 槡因此直线 的斜率为槡第题图这是一个存在参数使不等式成立的问题能否分离出参数是解决问题的重要一步也是首先要考虑的思路已知 那么 即 所以 要存在使不等式成立那么 而 因此 所以的最大值是 试题可以从平面向量的基本定理思考平面上的任意一个向量可以通过平面的一组基底来表示所以已知的 个向量都可以利用 来表示可能的情况有种根据对称性只需研究在第一象限的情况共有种不同的模长模长的集合是槡 槡 因此模长的最小值是最大值
33、是 槡 参考答案三解答题本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识同时考查运算求解能力满分分因为是偶函数所以对任意实数都有即故所以又 因此 或 槡 槡 因此函数的值域是 槡 槡本题主要考查空间点线面的位置关系直线与平面所成角等基础知识同时考查空间想象能力和运算求解能力满分分方法 一 如 图 取 的 中 点 连 结 因为 分别是的中点所以 则四边形 是梯形因为 所以 又平面 平面 平面 平面平面 所以 平面 则 又因为故 所以 平面 因此第题图由得 平面 则平面 平面那么 在平面 上的射影在直线 上连结 交 于点所以是直线 与平面所成的角或其补角不妨设 在梯形 中是 的中点 则四边形 为矩形所以
34、 为的中点在 中槡 槡 故 因此直线 与平面所成角的余弦值是 方法二如图取 的中点连结 因为 是的中点所以 又平面 平面 平面 平面平面 所以 平面 以点 为原点分别以射线 为轴轴的正半轴建立空间直角坐标系 不妨设 由题意得 槡 槡槡槡 槡 槡 因此 槡 槡 槡 由 得 第题图设直线 与平面所成角为由可得 槡 槡 设平面 的一个法向量为由 得 槡 槡 取 槡故 因此直线 与平面所成角的余弦值为 本题主要考查等差数列等比数列数列求和数学归纳法等基础知识同时考查运算求解能力和综合应用能力满分分设数列 的公差为由题意得解得从而 所以 由 成 等 比 数 列 得 解得 所以 槡 槡槡 利用数学归纳法证
35、明当时不等式成立假设当 时不等式成立即槡那么当 时 槡槡槡槡槡槡 槡槡 槡 槡 槡 即当时不等式也成立根据和不等式槡对任意成立本题主要考查抛物线的几何性质直线与抛物线的位置关系等基础知识同时考查运算求解能力和综合应用能力满分分由题意得 即所以抛物线的准线方程为设 重心 令则由于直线 过点 故直线 的方程为 代入得故即 所以 又由于 及重心在轴上故 所以直线 的方程为则 由于点 在焦点 的右侧故根据三角形面积公式得 令 则 槡 槡 当 槡 时取得最小值槡 此时 本题主要考查函数的单调性导数的运算及其应用同时考查逻辑思维能力和综合应用能力满分分当 时 槡则 槡 槡 槡槡所以函数的单调递减区间为单调
36、递增区间为由 得槡 当槡时槡等价于槡 槡令 则 槡 设槡槡 槡 则槡 槡槡当 时 槡 槡 则 槡 槡 槡 槡记槡 槡 槡 则 槡 槡槡 槡 槡槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 和随着的变化而变化情况如下 单调递减 极小值 单调递增所以即 当 时 槡槡槡令槡 则槡参考答案故在区间 上单调递增由得 槡 槡 所以由知对任意 槡 综上所述的取值范围是 槡年浙江省普通高校招生统一考试数学解析一选择题每小题分满分分二填空题多空题每题分单空题每题分共分槡 解析一选择题理解补集的概念正确答案是 明确双曲线中的及焦点的位置利用 得因此焦点坐标是正确答案是 利用三视图认识直观图 底面为直角梯形的五棱柱俯视图的底
37、面积为正视图的高为那么体积为正确答案是 计算 正确理解共轭复数的概念可知正确答案是 理解函数性质和图象的匹配性函数是奇函数图象应该关于原点对称故 不正确只要分析在第一象限的图象两个图象的主要区别在于当 时图象的变化特点当 时当 时因此正确答案是 理解线面平行的判定与性质由 推出符合线面平行的判定定理反之不符合线面平行的性质定理正确答案是 理解方差的概念与计算利用 和 的关系则 当时先增后减 故正确答案是 理解异面直线所成角线面角二面角的概念与特点认识四棱锥和正四棱锥所以顶点 在底面 上的射影是底面正方形的中心从哪个角入手研究 如何比较 很重要就是直线 与平面 所成的角是平面 内的一条线由线面角
38、的最小角特征取 的中点 则 是二面角的平面角因为 则 而 所以此处已经可以确定答案为 下面研究 的大小如图过点 作 的平行线分别交 于点过点 作 的平行线交 于点 那么 根据异面直线所成角的定义 则 而 又所以因此正确答案是 即则 向量的终点在一个圆上如图显然的最小值是 槡 正确答案是 此题要求比较 与 与 的大小 关键研究的符号及与的大小已知等式构造函数转化为不等式中把对数去掉 利用那么因为所以必有公比明显 为正 为负现在研究 是大于还是小于反证若那么而 那么矛盾 因此正确答案是 二填空题阅读数学史实解方程组 解得核心正确表示区域理解直线的位置关系确定交点的坐标 利用斜率比较大小过点 时 最
39、小过点 时最大由正弦定理得 那么槡 由余弦定理得那么则二项展开式的通项为 槡 令 则因此常数项为 理解分段函数的意义分析图形变化的特点当时从图形中明显可以得到 的解集是共有三个零点分析当在变化时函数零点的变化当时有一个零点当时有两个零点当时有三个零点当时有两个零点函数恰有个零点的取值范围是正确分类关注的存在按是否取到分两类思考第一类无零有 个第二类有零有个共有个没有重复数字的四位数用直线的斜率表示点 的横坐标设过点 的直线方程为设 联立方程组 消去得那么又 由 可得由 可得那么 当 即 时等号成立把 分别代入方程得 三解答题本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识同时考查运算求解能力满分分由
40、角的终边过点 得 所以 由角的终边过点 得 由 得由得所以或本题主要考查空间点线面的位置关系直线与平面所成角等基础知识同时考查空间想象能力和运算求解能力满分分参考答案方法一由得 槡 所以 故 由 得槡 由 得 槡 由得 槡所以 故 因此 平面 如图过点 作 交直线 于点连结 由 平面 得平面 平面 由 得平面 所以是 与平面 所成的角由 槡 槡 槡得槡槡 槡所以 槡 故槡 因此直线 与平面 所成角的正弦值是槡 第题图方法二如图以 的中点 为原点分别以射线为轴轴的正半轴建立空间直角坐标系 由题意知各点坐标如下 槡 槡 槡因此 槡 槡 槡 由得 由得 所以 平面 第题图设直线 与平面 所成的角为由
41、可知槡 槡设平面 的一个法向量由 即 槡 可取 槡 所以槡因此直线 与平面 所成角的正弦值是槡 本题主要考查等差数列等比数列数列求和等基础知识同时考查运算求解能力和综合应用能力满分分由是 的等差中项得所以解得由得 因为所以设数列的前项和为由解得由可知所以 故 设 则 所以 因此 又所以 本题主要考查椭圆抛物线的几何性质直线与抛物线的位置关系等基础知识同时考查运算求解能力和综合应用能力满分分设 因为 的中点在抛物线上所以 为方程 即的两个不同的实数根所以因此轴由可知 所以 槡因此 的面积 槡 因为 所以因此面积的取值范围是 槡 槡 本题主要考查函数的单调性导数的运算及其应用同时考查逻辑思维能力和
42、综合应用能力满分分函数的导函数 槡 由得 槡 槡 因为所以 槡 槡 由基本不等式得 槡 槡 槡 槡 因为所以由题意得 槡 槡 槡 设 槡则 槡和随着的变化而变化情况如下所以在上单调递增故即令 则 槡 槡 所以存在使所以对于任意的及直线与曲线有公共点由得槡设槡则槡 其中槡 由可知又故所以即函数在上单调递减因此方程至多个实根综上当时对于任意直线与曲线有唯一公共点年浙江省普通高校招生统一考试数学解析一选择题每小题分满分分二填空题多空题每题分单空题每题分满分分槡 槡 槡 槡 解析一选择题本题主要考查集合的表示和集合的基本运算正确答案是 理解椭圆的基本概念和基本性质正确答案是 理解这是一个锥体并由两部分
43、合成正确答案是 了解线性规划的要求就能有正确的结论正确答案为 函数中的变化是函数 图象上下平移同时影响函数值的变化而 是两个函数值的差所以与无关的变化是函数 图象左右平移分别影响了最大值和最小值所以与有关正确答案是 本题是以等差数列为载体考查充要条件的概念条件 可以等价转化为 即即正确答案是 此题需要理解导函数特点能反映原函数的哪些性质导函数函数值的正负反映原函数的单调性导函数的零点和原函数的极值密切相关从导函数的图象中我们可以发现图象与轴的交点有三个且二正一负那它对应原函数的极值点也应该如此那么只有 符合导函数在两个正参考答案数的零点之间的图象在轴下方它反映原函数在此区间应该是单调递减正确答
44、案是 试题采用了随机分布中简单的二点分布来考察期望和方差只要了解二点分布的期望 和方差就能经过简单计算得到正确结论正确答案为 研究三个二面角的大小关系我们先找到它们的平面角过点 作底面 的垂线垂足为 已知 为正四面体则 是正 的中心根据线面垂直的性质每个二面角的平面角所在的直角三角形都有相同的直角边 那么二面角的大小问题等价转化为底面正三角形的中心到二面角的棱的距离 的大小问题如图第题图因为 都是正边上确定的点所以通过多种渠道都能计算并比较 的大小若我们以变化的观点来分析这个问题将确定的问题转化为变化的问题在变化过程中可以更清晰地判断二面角的大小关系取边 上的点 并满足根据题意 是正三角形那么
45、点 到 三边距离都等于当点 移动到点 时如图点 到 的距离点到 的距离那么因此正确答案是 我们可以用变化的观点来分析思考在正方形 中点 变化到点 如图第题图因为所以又因为 所以综上正确答案是 二填空题它介绍了刘徽割圆术的特点和意义并要求进行第一步的计算正确答案是 槡 仔细分析两问相对独立 就是复数模的平方可直接在两边取模得利用平方公式得那么可以通过二项式的通项公式正确答案是本题的计算方法很多利用正弦或余弦定理都可以解决观察图形如图我们可以发现的面积 槡 又 算 得 槡那 么 槡 第题图本题的关键是如何理解并合理应用设 因为 所以又 那么问题转化为当时求 的最大值和最小值利用直线与圆的关系可得的
46、最小值是最大值是 槡 第题图按女生多少分两类第一类有名女生则有 种第二类有名女生则有 种因此共有 种不同的选法我们作一个代换就可以把它转化为数轴上的问题来解决思路清楚直观设 则原问题转化为当 时求的取值范围我们只需在数轴上观察当时满足 符合题意当时 不合题意当时和点在数轴上的位置有关系关键点是点 如图第题图当 时 符合题意当 时 不合题意综上的取值范围是三解答题本题主要考查三角函数的性质及变换等基础知识同时考查运算求解能力满分分由 槡 槡 槡 槡 得 由 与 得 槡 所以 的最小正周期是由正弦函数的性质得 解得 所以 的单调递增区间是 本题主要考查空间点线面位置关系直线与平面所成的角等基础知识
47、同时考查空间想象能力和运算求解能力满分分如图设 的中点为连结 第题图因为 分别为中点所以 且又因为 所以且即四边形 为平行四边形所以因此平面 分别取 的中点为 连结 交 于点连结 因为 分别是的中点所以 为的中点在平行四边形 中由为等腰直角三角形得由 是 的中点得所以 平面 由 得平面 那么平面 平面 过点 作 的垂线垂足为 连结 因为 是 在平面上的射影所以 是直线 与平面所成的角设在 中由 槡 得 槡 在中由 槡 得 在 中 槡 所以 槡 所以直线与平面所成角的正弦值是槡 本题主要考查函数的最大小值导数的运算及其应用同时考查分析问题和解决问题的能力满分分因为槡槡所以 槡 槡 槡槡 由 槡槡
48、解得或 和随的变化而变化情况如下 又 槡所 以 在 区 间 上 的 取 值 范 围是 本题主要考查直线方程直线与抛物线的位置关系等基础知识同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力满分分设直线 的斜率为 因为 参考答案所以直线 斜率的取值范围是联立直线 与的方程 解得点 的横坐标是 因为槡 槡 槡 槡 所以令因为所以 在 区 间 上 单 调 递 增在 区 间 上单调递减因此当 时 取得最大值本题主要考查数列的概念递推关系与单调性等基础知识不等式及其应用同时考查推理论证能力分析问题和解决问题的能力满分分用数学归纳法证明当时假设当时那么当时若则矛盾故因此 所以 因此 由得记函数 则 函数在 上单调递增所以 因此 故 因为所以 由 得 所以 故 综上
