1、A组20122014年高考基础题组1.(2012四川,12,5分)设函数f(x)=(x-3)3+x-1,an是公差不为0的等差数列,f(a1)+f(a2)+f(a7)=14,则a1+a2+a7=()A.0 B.7 C.14 D.212.(2012山东,20,12分)已知等差数列an的前5项和为105,且a10=2a5.(1)求数列an的通项公式;(2)对任意mN*,将数列an中不大于72m的项的个数记为bm.求数列bm的前m项和Sm.3.(2013课标全国,17,12分)已知等差数列an的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(1)求an的通项公式;(2)求a1+a4+a7
2、+a3n-2.4.(2014广东,19,14分)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,且Sn满足Sn2-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,nN*.(1)求a1的值;(2)求数列an的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有1a1(a1+1)+1a2(a2+1)+1an(an+1)0).(1)求f(x)的单调区间;(2)记xi为f(x)的从小到大的第i(iN*)个零点,证明:对一切nN*,有1x12+1x22+1xn20,a1=2.(2)由Sn2-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,得Sn-(n2+n)(Sn+3)=0,又an0,所以Sn+30,所以Sn=n2+n,所以当n2时
3、,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2+n-1=2n,又由(1)知,a1=2,符合上式,所以an=2n.(3)证明:由(2)知,1an(an+1)=12n(2n+1),所以1a1(a1+1)+1a2(a2+1)+1an(an+1)=123+145+12n(2n+1)123+135+157+1(2n-1)(2n+1)16+1213-15+15-17+12n-1-12n+1=16+1213-12n+10,此时f (x)0;当x(2k+1),(2k+2)(kN)时,sin x0,故f(x)的单调递减区间为(2k,(2k+1)(kN),单调递增区间为(2k+1),(2k+2)(kN).(2)由
4、(1)知, f(x)在区间(0,)上单调递减,又f2=0,故x1=2,当nN*时,因为f(n)f(n+1)=(-1)nn+1(-1)n+1(n+1)n+10,且函数f(x)的图象是连续不断的,所以f(x)在区间(n,(n+1)内至少存在一个零点.又f(x)在区间(n,(n+1)上是单调的,故nxn+1(n+1).因此当n=1时,1x12=4223;当n=2时,1x12+1x2212(4+1)23;当n3时,1x12+1x22+1xn2124+1+122+1(n-1)2125+112+1(n-2)(n-1)125+1-12+12-13+1n-2-1n-1=126-1n-16223.综上所述,对一
5、切nN*,1x12+1x22+1xn223.4.解析(1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d),即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2,所以数列an的通项公式为an=2n.(2)由题意知bn=an(n+1)2=n(n+1).所以Tn=-12+23-34+(-1)nn(n+1).因为bn+1-bn=2(n+1),所以当n为偶数时,Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+(-bn-1+bn)=4+8+12+2n=n2(4+2n)2=n(n+2)2,当n为奇数时,Tn=Tn-1+(-bn)=(n-1)(n+1)2-n(n+1)=-(n+1)22.所以Tn=-(n+1)22,n为奇数
6、,n(n+2)2,n为偶数.5.解析(1)由题设知an是首项为1,公比为3的等比数列,所以an=3n-1,Sn=1-3n1-3=12(3n-1).(2)b1=a2=3,b3=1+3+9=13,b3-b1=10=2d,所以公差d=5,故T20=203+201925=1 010.6.解析(1)令n=1,得2a1-a1=a12,即a1=a12.因为a10,所以a1=1.令n=2,得2a2-1=S2=1+a2.解得a2=2.当n2时,2an-1=Sn,2an-1-1=Sn-1,两式相减得2an-2an-1=an.即an=2an-1.于是数列an是首项为1,公比为2的等比数列.因此,an=2n-1.所以
7、数列an的通项公式为an=2n-1.(2)由(1)知nan=n2n-1.记数列n2n-1的前n项和为Bn,于是Bn=1+22+322+n2n-1,2Bn=12+222+323+n2n.-得-Bn=1+2+22+2n-1-n2n=2n-1-n2n.从而Bn=1+(n-1)2n.7.解析(1)令f (x)=12+cos x=0,cos x=-12,解得x=2k23(kZ).由xn是f(x)的第n个正极小值点知,xn=2n-23(nN*).(2)由(1)可知,Sn=2(1+2+n)-23n=n(n+1)-2n3,所以sin Sn=sinn(n+1)-2n3.因为n(n+1)表示两个连续正整数的乘积,n(n+1)一定为偶数, 所以sin Sn=-sin 2n3.当n=3m-2(mN*)时,sin Sn=-sin2m-43=-32;当n=3m-1(mN*)时,sin Sn=-sin2m-23=32;当n=3m(mN*)时,sin Sn=-sin 2m=0.综上所述,sin Sn=-32,n=3m-2(mN*),32,n=3m-1(mN*),0,n=3m(mN*).
