1、第六节几 何 概 型【考纲下载】1了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率2了解几何概型的意义1几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型2几何概型的概率公式P(A).1几何概型有什么特点？提示：(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限个(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等2几何概型和古典概型有什么区别？提示：几何概型和古典概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型的基本事件有有限个，而几何概型的基本事件有无限个1(2014漳州模拟)在区间20,80内随机取一实数a，则实数a属于区间
2、50,75的概率是()A. B. C. D.解析：选C显然，该问题属于几何概型，实数a属于区间50,75的概率为.2已知地铁列车每10 min(含在车站停车时间)一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是()A. B. C. D.解析：选A试验的所有结果构成的区域长度为10 min，而构成所求事件的区域长度为1 min，故P.3有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()解析：选A选项A的概率为；选项B的概率为；选项C的概率为；选项D的概率为，故增加中奖机会的应为A选项4点A为周长等于3的圆周上一
3、个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为_解析：劣弧的长度为，其中长度小于1的概率为.答案：5如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为_解析：由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为0.68.由几何概型的概率计算公式，可得0.68，而S矩形6424，则S椭圆0.682416.32.答案：16.32高频考点考点一 与长度有关的几何概型1与长度有关的几何概型是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题2高考对与长度有关的几何概型的考查主要有以下几个
4、命题角度：(1)与线段长度有关的几何概型；(2)与曲线长度有关的几何概型；(3)与时间有关的几何概型；(4)与不等式有关的几何概型例1(1)(2013福建高考)利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则事件“3a10”发生的概率为_(2)在区间上随机取一个数x，则cos x的值介于0到之间的概率为_自主解答(1)由3a10，得a，而01的长度为1，故所求概率为.(2)当x时，由0cos x，得x或x，根据几何概型概率公式得所求概率为.答案(1)(2)【互动探究】本例(2)中，若将“cos x的值介于0到”改为“cos x的值介于0到”，则概率如何？解：当x时，由0cos x，得x或x，根据几何概
5、型概率公式得所求概率为. 与长度有关的几何概型的常见类型及解题策略(1)与线段长度有关的几何概型利用几何概型公式求解，直接利用两线段的长度之比即可(2)与曲线长度有关的几何概型利用几何概型公式，求曲线的长度之比即可(3)与时间有关的几何概型利用几何概型公式，求时间段之比即可(4)与不等式有关的几何概型利用几何概型公式，求两实数之间距离之比即可1(2013湖北高考)在区间2,4上随机取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则m_.解析：由|x|m，得mxm，当m2时，由题意得，解得m2.5，矛盾，舍去当2m4时，由题意得，解得m3.答案：32已知集合Ax|1x5，B，在集合A中任取一个元素x，则事
6、件“xAB”的概率是_解析：由题意得Ax|1x5，Bx|2x3，由几何概型知，在集合A中任取一个元素x，则xAB的概率为P.答案：考点二与面积有关的几何概型 例2(1)(2013陕西高考)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A1 B.1 C2 D.(2)(2013四川高考)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮那么这两
7、串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A. B. C. D.自主解答(1)依题意知，有信号的区域面积为2，矩形面积为2，故无信号的概率P1.(2)设第一串彩灯亮的时刻为x，第二串彩灯亮的时刻为y，则要使两串彩灯亮的时刻相差不超过2秒，则如图所示，不等式组所表示的图形面积为16，不等式组所表示的六边形OABCDE的面积为16412，由几何概型的概率公式可得P.答案(1)A(2)C【方法规律】求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以
8、便求解1(2014邛崃模拟)已知一个三角形的三边长分别是5,5,6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是()A2 B1 C2 D1解析：选B如图，当蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2时，蚂蚁要在图中的空白区域内，ABC为等腰三角形，假设ABAC5，易知AD4，ABC的面积是12，由于三角形内角和等于，图中的三个扇形的面积之和等于一个半径为2的圆的面积的一半，即三个扇形的面积之和等于2，故空白区域的面积是122，所求的概率为1.2已知平面区域U(x，y)|xy6，x0，y0，A(x，y)|x4，y0，x2y0，若向区域U内随机投一
9、点P，则点P落入区域A的概率为_解析：依题意可在平面直角坐标系中作出集合U与A所表示的平面区域(如图)，由图可知SU18，SA4，则点P落入区域A的概率为P.答案：考点三与角度有关的几何概型 例3 如图所示，在ABC中，B60，C45，高AD，在BAC内作射线AM交BC于点M，求BM1的概率 自主解答因为B60，C45，所以BAC75.在RtABD中，AD，B60，所以BD1，BAD30.记事件N为“在BAC内作射线AM交BC于点M，使BM1”，则可得BAMBAD时事件N发生由几何概型的概率公式，得P(N).【互动探究】若本例中“在BAC内作射线AM交BC于点M”改为“在线段BC上找一点M”，
10、求BM1的概率解：依题意知BCBDDC1，P(BMR，此时N1ON2180，故所求的概率为.答案：课堂归纳通法领悟1条规律对几何概型概率公式中“测度”的认识几何概型的概率公式中的“测度”只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法2种方法判断几何概型中的几何度量形式的方法(1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域前沿热点(十
11、七)几何概型与线性规划问题的交汇1几何概型常常与构成该事件区域的长度、面积、体积或角度等有关，在高考中经常涉及面积区域的问题，而面积区域的确定又与线性规划有关因此，高考命题常常在此交汇2因为面积经常涉及一个封闭图，解题时一定要注意各边界对应的直线(或曲线)方程，各端点的坐标，求面积时，还要注意对图形的分割等典例(2012北京高考)设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是() A. B. C. D.解题指导先画出平面区域D，再找出几何区域的形状，分析其几何概型所对应的量，然后解决问题解析不等式组表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内点的坐标为(
12、x，y)，则在区域内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x2y24的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为.答案D名师点评1.本题有以下创新点：(1)考查方式的创新：由常规方式转换为以线性规划为载体考查几何概型的计算；(2)考查内容的创新：本题将几何概型与线性规划及圆求面积完美结合起来，角度独特，形式新颖，又不失综合性2在解决以几何概型为背景的创新交汇问题时，应注意以下两点：(1)要准确判断一种概率模型是否是几何概型，为此必须了解几何概型的含义及特征；(2)运用几何概型的概率公式时，要注意验证事件是否具备等可能性已知实数x1,1，y0,2，则点P(x，y)落在区域内的概率为()A.
13、 B. C. D.解析：选B不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，其面积为3231，则所求概率为. 全盘巩固1如图，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，则P(A)() A. B. C2 D.解析：选D豆子落在正方形EFGH内是随机的，故可以认为豆子落在正方形EFGH内任一点是等可能的，属于几何概型因为圆的半径为1，所以正方形EFGH的边长是，则正方形EFGH的面积是2，又圆的面积是，所以P(A).2.如图，在矩形ABCD中，点E为边CD的中点若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自ABE内部的概率等于(
14、)A. B. C. D.解析：选C不妨设矩形的长、宽分别为a、b，于是S矩形ab，SABEab，由几何概型的概率公式可知P.3(2012辽宁高考)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为()A. B. C. D.解析：选C设ACx cm，则CB(12x)cm(0x12)，所以矩形面积为x(12x)cm2，由x(12x)8或x4，所以0x4或8x12.故所求概率为.4(2014金华模拟)在区间5,5内随机地取出一个数a，则恰好使1是关于x的不等式2x2axa20的一个解的概率为()A0.3 B0.4 C0.6 D0
15、.7解析：选D由已知得2aa22或a1.故当a5，1)(2,5时，1是关于x的不等式2x2axa20，设正方形OABC位于直线2xyb下方部分面积为S2，因为直线2xyb在x轴，y轴上的截距分别为，b，则当0，则b1.6(2013湖南高考)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机地取一点P，使APB的最大边是AB”发生的概率为，则()A. B. C. D.解析：选D依题可知，E，F是CD上的四等分点，P只能在线段EF上且BFAB.不妨设CDABa，BCb，则有b22a2，即b2a2，故. 7在区间0,1上随意选择两个实数x，y，则使1成立的概率为_解析：D为直线x0，x1，y0，y1围成的正方形
16、区域，而d为由1，即x2y21(x0，y0)围成的单位圆在第一象限内部分(四分之一个圆)，故所求概率为.答案：8在面积为S的ABC的边AB上任取一点P，则PBC的面积大于的概率是_解析：要使SPBCSABC，只需PBAB.故所求概率为P.答案：9小张通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书则小张周末不在家看书的概率为_解析：因为去看电影的概率P1，去打篮球的概率P2，所以小张周末不在家看书的概率为P.答案：10.如图，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长不
17、超过1的概率 解：弦长不超过1，即|OQ|，而Q点在直径AB上是随机的，事件A弦长超过1由几何概型的概率公式得P(A).所以弦长不超过1的概率为1P(A)1.11城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示(单位：min)：组别候车时间人数一0,5)2二5,10)6三10,15)4四15,20)2五20,251(1)求这15名乘客的平均候车时间；(2)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；(3)若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步问卷调查，求抽到的2人恰好来自不
18、同组的概率解：(1)(2.527.5612.5417.5222.51)157.510.5，故这15名乘客的平均候车时间为10.5 min.(2)由几何概型的概率计算公式可得，候车时间少于10分钟的概率为，所以候车时间少于10分钟的人数为6032.(3)将第三组乘客编号为a1，a2，a3，a4，第四组乘客编号为b1，b2.从6人中任选2人的所有可能情况为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共15
19、种，其中2人恰好来自不同组包含8种可能情况，故所求概率为.12(2014济南模拟)某幼儿园在“六一儿童节”开展了一次亲子活动，此次活动由宝宝和父母之一(后面以家长代称)共同完成，幼儿园提供了两种游戏方案：方案一：宝宝和家长同时各抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别是1,2,3,4,5,6)，宝宝所得点数记为x，家长所得点数记为y；方案二：宝宝和家长同时按下自己手中一个计算器的按钮(此计算器只能产生区间1,6的随机实数)，宝宝的计算器产生的随机实数记为m，家长的计算器产生的随机实数记为n.(1)在方案一中，若x12y，则奖励宝宝一朵小红花，求抛掷一次后宝宝得到一朵小红花的概率；(2)在
20、方案二中，若m2n，则奖励宝宝一本兴趣读物，求按下一次按钮后宝宝得到一本兴趣读物的概率解析：(1)由题意，宝宝和家长所得点数x，y所有取值所得基本事件总数为36.而满足x12y的(x，y)有：(1,1)，(3,2)，(5,3)共3组则抛掷一次后宝宝得小红花的概率P1.(2)由题意，m，n1,6，则(m，n)所有取值组成一个边长为5的正方形，其面积为25.(m，n)满足不等式m2n，所占区域面积为424.则按下一次按钮后宝宝得兴趣读物一本的概率P2.冲击名校设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到直线x40的距离大于2的概率是()A. B. C. D.解析：选C作出线性约束条件的平面区域D，而到直线x40的距离大于2的区域为阴影部分所示，其面积为S1(22)2(6)16，区域D的面积为S2(32)4(6)25，由几何概型的计算公式可得P.
