1、专题5 数与形的第一次联姻阅读与思考数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的，我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助与几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在一下几个方面：1利用数轴能形象地表示有理数；2利用数轴能直观地解释相反数；3利用数轴比较有理数的大小；4利用数轴解决与绝对值相关的问题例题与求解 【例1】 已知数轴上有A，B两点，A，B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么所有满足条件的点B与原点O的距离之和等于_（
2、北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：确定A，B在数轴上的位置，求出A，B两点所表示的有理数【例2】 在数轴上和有理数对应的点的位置如图所示有下面四个结论：，其中，正确的结论有（ ）个 A4 B3 C2 D1（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：从数轴上得到，再对代数式进行逐以一判断【例3】 如图所示，已知数轴上点所对应的数都不为0，且是的中点如果，试确定原点的大致位置解题思路：从化简等式入手，而是解题的关键【例4】 （1）阅读下面材料：点在数轴上分别表示实数两点之间的距离表示为当两点中有一点在原点时，当A、B两点都不在原点时，如图2，点A、B都在原点的右边|AB|OB|OA|b|a|ba|ab|；
3、如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|OB|OA|b|a|ba|ab|；如图4，点A、B在原点的两边，|AB|OB|OA|b|a|b（a）|ab|；综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|ab|（2）回答下列问题：数轴上表示2和5的两点之间的距离是_，数轴上表示2和5的两点之间的距离是_，数轴上表示1和3的两点之间的距离是_；数轴上表示x和1的两点A和B之间的距离是_，如果|AB|2，那么x为_；当代数式|x1|十|x2|取最小值时_，相应的x的取值范围是_求的最小值（江苏省南京市中考试题）解题思路：通过观察图形，阅读理解代数式所表示的意义，来回答所提出的具体问题【例5】 某城市沿环形路有五
4、所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校，现规定一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小，要使电脑调动台数最小，应该做怎样的安排？（湖北省荆州市竞赛试题）解题思路：通过设未知数，把调动的电脑台数用相关代数式表示出来解题的关键是怎样将实际问题转化为求的最小值【例6】 如图，是数轴上表示30的点，是数轴上表示10的点，是数轴上表示18的点，点在数轴上同时向正方向运动点运动的速度是6个单位长度/秒，点和点运动的速度是3个单位长度/秒设三个点运动的时间为t（秒）（1）当t为何值时，线段AC6（单位长
5、度）？（2）t5时，设线段OA的中点为P，线段OB的中点为M，线段OC的中点为N，求2PMPN2时t的值（湖北省荆州市竞赛试题）解题思路：（1）三点在数轴上同时向正方向运动，分别当点运动到点左侧和右侧两种情况来分析求解（2）先将三个点在数轴上表示的数分别写出来，因点M始终在点左侧，则分为“点在左边”，“点在之间”，“点在右边”三种情况来求解能力训练A级1已知数轴上表示负数有理数的点是点，那么在数轴上与点相距个单位的点中，与原点距离较远的点对应的数是_（江苏省竞赛试题）2如果数轴上点到原点的距离为3，点到原点的距离为5，那么两点的距离为_3点分别是数，在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到的中
6、点对应数3，则点对应的数是_，点移动的距离是_（“希望杯”邀请赛试题）4已知，且，那么有理数的大小关系是_（用“”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛试题）5在数轴上任取一条长度为的线段，则此线段在数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ） A1998 B1999 C2000 D2001 （重庆市竞赛试题）6如图，为数轴上的两点表示的有理数，在中，负数的个数有（ ） A1 B2 C3 D4 （“祖冲之”邀请赛试题） 7有理数在数轴上的位置如图所示，式子化简结果为（ ） A B C D8如图所示，在数轴上有六个，且，则与点所表示的数最接近的整数是（ ） A1 B0 C1 D2 （“希望杯”邀请赛试题）9已
7、知为有理数，在数轴上的位置如图所示：且，求的值10电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步从向左挑一个单位到，第二步由向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是19.94则电子跳蚤的初始位置点所表示的数是_11如图，已知分别为数轴上两点，点对应的数为20，点对应的数为100（1）求过中点对应的数（2）现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点对应的数（3）若当电子蚂蚁从点出发时，以6个单位/秒的速度向左
8、运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点对应的数B 级1有理数在数轴上的位置如图所示：则化简的结果为_2电影哈利波特中小哈利波特穿墙进入“”的镜头（如示意图中站台），构思奇妙，给观众留下深刻的印象若站台分别位于2，1处，则站台用类似电影里的方法称为“_站台”（时代学习报数学文化节试题）3在数轴上，若点与原点的距离是点与三若对应的点之间的距离的4倍，则点表示的数是_（河南省竞赛试题）4若，则使成立的的取值范围是_（武汉市选拔赛试题）5如图，直线上有三个不同的点，且，那么，到三点距离的和最小的点为（ ） A 点外 B线段的中点 C线段
9、外一点 D 无穷多个（“希望杯”邀请赛试题）6点都在数轴上，点在原点的左边，且，点在点的右边，且，点在点的左边，且，点在点的右边，且，依照上述规律，点所表示的数分别为（ ） A2008，2009 B2008，2009 C1004，1005 D1004，1004 （福建省泉州市中考试题）7设，则下列四个结论中正确的是（） A没有最小值 B只有一个使去最小值 C有限个（不止一个）使去最小值 D有无穷多个使取最小值（全国初中数学联赛试题）8如图，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距1个单位，点对应的数分别是整数，且，那么数轴的原点对应点是（） A B C D（“新世纪杯”广西初中数学竞赛试题）9已知
10、，求的最大值和最小值（江苏省竞赛试题）10如图，在环形运输线路上有六个仓库，现有某种货物的库存量分别是50吨、84吨、80吨、70吨、55吨和45吨要对各仓库的存货进行调整，使得每个仓库的存货量相等，但每个仓库只能相相邻的仓库调运，并使调运的总量最小求各仓库向其他仓库的调运量11如图，数轴上标有个点，它们对应的整数是为了确保从这些点中可以取出2006个，使任何两个点之间的距离都不等于4求的最小值（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）专题05 数与形的第一次联姻例1 12 提示：点A表示数为3或3，满足条件的点B共有4个例2 B 提示：由数轴知a10bc1abc0，故正确；由绝对值的几何意义知正确；a
11、b0，bc0，ca0，故（ab）（bc）(ca）0，正确；|a|1，1bc1，|a|1bc，不正确例3 原点O在线段AC上例4 3，3，4 |x1| 1或3 1x2 997 002例5 如图，用A，B，C，D，E点顺时针排列依次表示一至五所小学，且顺次向邻校调给，台电脑依题意得：7113141510得3，2，9，5本题要求y|的最小值，依次代入，可得y|3|2|9|5|由绝对值几何意义可知，当3时，y有最小值12此时有0，1，6，2所以，一小向二小调出3台，三小向四小调出1台，五小向四小调出6台，一小向五小调出2台，这样调动的电脑总台数最小为12台例6 （1）A，B，C三点在数轴上同时向正方向
12、运动当点A运动到点C左侧时，线段AC6，66t30183t，解得t14当点A运动到点C右侧时，线段AC6，6t630183t，解得t18综上可知，t为14或18时，线段AC6（2） 当点A，B，C三个点在数轴上同时向正方向运动t秒后，点A，B，C在数轴上表示的数分别为：6t30，103t，183t（3） P，M，N分别为OA，OB，OC的中点P，M，N三个点在数轴上表示的数分别为：，且点M始终在点N左侧若点P在M，N左边，则PM2015t，PN2415t2PMPN2，2（2015t）（2415t）2，t若点P在M，N之间，则PM2015t，PN2415t2PMPN2，2（2015t）（2415
13、t）2，t若点P在M，N右边，则PM2015t，PN2415t2PMPN2，2（2015t）（2415t）2，t12但此时PM2015t0，所以此情况不成立 综上可知，t或时符合题意A级12m 22或83. ， 提示：AB的长为，对应的数为3，点A移动的距离为（3）4baa|b| 5C 6B 7C 8C 9 5103006 提示：设点表示的有理数为x，则，点所表示的有理数分别为x1，x12，x123，x123499100由题意得x123499100199411（1）M点对应的数为40 （2）相遇时间为12秒，C点对应的数为10012628 （3）追击时间为60秒，D点对应的数为260B级12
14、2324或40 提示：设N点对应的数为x根据绝对值的几何意义可知|x|4|x30|对x分情况讨论得出x24或x404. bxa 5A 6C 7D 8C9原式化为|x2|1x|y5|1y|9|x2|1x|3，当2x1时等号成立； |y5|1y|6，当1y5时等号成立xy的最大值156；xy的最小值21310调运后各仓库的存货量都相等，应为（508480705545）64吨设A库运往B库吨，B库运往C库吨，C库运往D库吨，D库运往E库吨，E库运往F库吨，F库运往A库吨，故有:50848070554564所以，14，206，1622，628，919若使调运量最小，则有y| |14|6|22|28|1
15、9|取最小值而2822196014，所以，当19-6时，y有最小值，此时，-33-20，-130，316，922，013.当=-19时，=-33, =-13，=3, =9, =0.即A库运往B库-33吨，亦即B库运往A库33吨.B库运往C库-13吨，亦即C库运往B库13吨.C库运往D库3吨，D库运往E库9吨，E库运往F库0吨，F库运往A库19吨，总调运量为77吨.11.首先注意8个连续的点，例如0，1，2，3，4，5，6，7.从中可取前4个点0，1，2，3，其中任何两个点的距离为4：（0，4），（1，5），（2，6），（3，7），所以每一组只能选一个点，8个点中只能选出4个点，任何两个点之间的距离都不等于4.因为2006=4501+2，8501=4010.故当n=2005时，2n+1=4011.从左到右，每8个连续的点中取前4个点，剩下的3个点中取2个点，共取2006个点，任何两点间的距离都不等于4.另一方面，如果n2004，那么2n+14009.从左到右，第8个连续点一组，至多502组，其中最后一组只有1个点.因此不论怎么取2006个点，前501组中总有一组取的点多于4个，从而有两个点的距离为4.综上所述，n的最小值是2005.
