1、第五章 平面向量与复数 1.平面向量(1)平面向量的实际背景及基本概念 了解向量的实际背景 理解平面向量的概念和两个向量相等的含义 理解向量的几何表示(2)向量的线性运算 掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义 了解向量线性运算的性质及其几何意义(3)平面向量的基本定理及坐标表示 了解平面向量的基本定理及其意义 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 理解用坐标表示的平面向量共线的条件(4)平面向量的数量积 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 了解平面向量的数量积与向量投影的关系 掌握数量积的坐
2、标表达式，会进行平面向量数量积的运算 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系(5)向量的应用 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 2数系的扩充和复数的引入(1)理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件(2)了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示(3)能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义 51 平面向量的概念及线性运算 1向量的有关概念(1)向量：既有_又有_的 量 叫 做 向 量，向 量 的
3、 大 小，也 就 是 向 量 的_(或称模).AB的模记作_(2)零向量：_的向量叫做零向量，其方向是_的(3)单位向量：长度等于_的向量叫做单位向量.a|a 是一个与 a 同向的_ a|a|是一个与 a_的单位向量(4)平行向量：方向_或_的_ 向 量 叫 做 平 行 向 量 平 行 向 量 又 叫_，任一组平行向量都可以移到同一直线上 规定：0 与任一向量_(5)相 等 向 量：长 度 _ 且 方 向_的向量叫做相等向量(6)相 反 向 量：长 度 _ 且 方 向_的向量叫做相反向量(7)向量的表示方法：用_表示；用_表示；用_表示 2向量的加法和减法(1)向量的加法 三角形法则：以第一个
4、向量 a 的终点 A 为起点作第二个向量 b，则以第一个向量 a 的起点 O 为_以第二个向量 b 的终点 B 为_的向量OB就是 a 与 b 的_(如图 1)推广：A1A2 A2A3 An1An_.图 1 图 2 平行四边形法则：以同一点 A 为起点的两个已知向量 a，b 为邻边作ABCD，则以 A 为起点的_就是 a 与 b 的和(如图 2)在图 2 中，BCADb，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式 加法的运算性质：ab_(交换律)；(ab)c_(结合律)；a0_a.(2)向量的减法 已知向量 a，b，在平面内任取一点 O，作OAa，OBb，则BA_，即 ab 表示从向量 b 的
5、终点指向向量 a(被减向量)的终点的向量(如图)3向量的数乘及其几何意义(1)定义：实数 与向量 a 的积是一个向量，记作_，它的长度与方向规定如下：|a _；当 0 时，a 与 a 的方向_；当 0 时，a 与 a 的方向_；当 0 时，a_.(2)运算律：设，R，则：(a)_；()a_；(ab)_.4两个向量共线定理 向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是有且只有一个实数，使得_ 自查自纠：1(1)大小 方向 长度|AB (2)长度为 0 任意(3)1 个单位长度 单位向量 方向相反(4)相同 相反 非零 共线向量 平行(5)相等 相同(6)相等 相反(7)字母 有向线段 坐标 2(1)
6、起点 终点 和 A1An 对角线AC ba a(bc)0a(2)ab 3(1)a|a|相同 相反 0(2)(a)aa ab 4ba 设 a0为单位向量，若 a 为平面内的某个向量，则 a|a|a0；若 a 与 a0平行，则 a|a|a0；若 a 与 a0平行且|a|1，则 aa0.上述命题中，假命题的个数是()A0 B1 C2 D3 解：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a 与 a0平行，则当 a 为零向量时，a 的方向任意；当 a 不为零向量时，a 与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a|a|a0，故也是假命题综上所述，假
7、命题的个数是 3.故选 D.设 D 为ABC 所在平面内一点，BC3CD，则()A.AD13AB43AC B.AD13AB43AC C.AD43AB13AC D.AD43AB13AC 解：ADACCDAC13BCAC13(ACAB)13AB43AC.故选 A.(2015东北三省联考)在四边形 ABCD 中，若ACABAD，则四边形 ABCD 一定是()A矩形 B菱形 C正方形 D平行四边形 解：依题意得ACABBCABAD，则BCAD，因此 BCAD 且 BCAD，故四边形 ABCD 一定是平行四边形故选 D.在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 CD 的中点，AMmAB，ANnAD(mn0
8、)，若MNBE，则nm_.解：MNANAMnADmAB，BEBC CEAD12AB，因为MNBE，且向量AD和AB不共线，所以n1m12，解得nm2.故填 2.直角三角形 ABC 中，斜边 BC 长为 2，O 是平面 ABC 内一点，点 P 满足OPOA12(ABAC)，则|AP|_.解：如图，取 BC 边中点 D，连接 AD，则12(ABAC)AD，OPOA12(ABAC)OPOAADOPOAADAPAD，因此|AP|AD|1.故填 1.类型一 向量的基本概念 给出下列命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；若|a|b|，则 ab；若ABDC，则四点 A，B，C，D 构成平行四边形
9、；在ABCD 中，一定有ABDC；若 mn，np，则 mp.其中不正确的个数是()A2 B3 C4 D5 解：两个向量起点相同，终点也相同，则两个向量相等；但两个相等向量，不一定有相同的起点和终点，故不正确若|a|b|，由于 a 与 b 方向不确定，所以 a，b 不一定相等，故不正确若 ABDC，可能有 A，B，C，D 在一条直线上的情况，所以不正确正确的是.故选 B.点拨：从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征逐一进行考察(1)向量定义的关键是方向和长度(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等(4)共线向量即为平行向量，它们均与起点
10、无关(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈 下列命题中，正确的是_(填序号)有向线段就是向量，向量就是有向线段；向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；向量AB与向量CD共线，则 A，B，C，D 四点共线；如果 ab，bc，那么 ac；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 解：不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；不正确，若 a 与 b 中有一个为零向量，零向量的方向是任意的，故两向量方向不一定相同或相反；不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；不正确，如果 b 为零向量
11、，则 a 与 c 不一定平行；正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小故填.类型二 向量的线性运算 在ABC 中，E，F 分别为 AC，AB 的中点，BE 与 CF 相交于 G 点，设ABa，ACb，试用a，b 表示AG.解法一：AGABBGAB23BEAB 23(AEAB)AB2312ACAB 13AB13AC 13a13b.解法二：由于 G 是ABC 的中线 BE 与 CF 的交点，所以 G 为ABC 的重心延长 AG 交 BC 于 H，由重心的性质知，AG23AH2312(ABAC)13a13b.点拨：(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角
12、形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解决(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解(3)在解答用已知向量线性表示未知向量的问题时，可以利用共线向量定理，将共线向量用参数表示，再利用平面向量基本定理，建立参数的方程(组)求解参数，最后得出结论 (1)设 P 是ABC 所在平面内一点，BCBA2BP，则()A.PAPB0 B.PCPA0 C.PBPC0 D.PAPBPC0 解：如图，根据向量加法的几何意义有BCBA2BPP
13、是 AC 的中点，故PCPA0.故选 B.(2)(2014全国)设 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EBFC()A.AD B.12AD C.BC D.12BC 解：EBFC12(ABCB)12(ACBC)12(ABAC)AD.故选 A.类型三 向量共线的充要条件及其应用 已知 A，B，C 是平面内三个不相同的点，O 是平面内任意一点，求证：向量OA，OB，OC的终点 A，B，C 共线的充要条件是存在实数，使得OCOAOB，且 1.证明：(1)先证必要性 若OA，OB，OC的终点 A，B，C 共线，则ABBC，所以存在实数 m 使得BCmAB，即OCOBm(OBOA
14、)，所以OCmOA(1m)OB.令 m，1m，则 m1m1，即存在实数，使得OCOAOB，且 1.(2)再证充分性 若OCOAOB，且 1，则OCOA(1)OB，所以OCOB(OAOB)，即BCBA，所以BCBA，又 BC 与 BA 有公共点 B，所以 A，B，C 三点共线 综合(1)(2)可知，原命题成立 点拨：证明三点 A，B，C 共线，借助向量，只需证明由这三点 A，B，C 所组成的向量中有两个向量共线，即证明存在一个实数，使ABBC.但证明两条直线 ABCD，除了证明存在一个实数，使ABCD外，还要说明两直线不重合注意：本例的结论可作定理使用 (1)已知向量 a，b，且ABa2b，BC
15、5a6b，CD7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，D BA，B，C CB，C，D DA，C，D 解：BDBCCD(5a6b)(7a2b)2a4b2(a2b)2AB，所以 A，B，D 三点共线故选 A.(2)设两个非零向量 a 与 b 不共线，若 kab和 akb 共线，则实数 k_.解：因为 kab 和 akb 共线，所以存在实数，使 kab(akb)，即 kabakb.所以(k)a(k1)b.因为 a，b 是两个不共线的非零向量，所以 kk10，所以 k210.所以 k1.故填1.(3)如图，在ABC 中，M 为边 BC 上任意一点，N 为 AM 的中点若ANABAC，则 的值为()A
16、.12 B.13 C.14 D1 解：由 N 为 AM 的中点，可得AN12AMABAC，整理得AM2AB2AC，由 B，M，C 三点共线可得 221，即 12.故选 A.1准确理解向量的概念，请特别注意以下几点：(1)ab，有 a 与 b 方向相同或相反两种情形；(2)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a|b|/ab；(3)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；(4)对于任意非零向量 a，a|a 是与 a 同向的单位向量，这也是求单位向量的方法；(5)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；(6)只要不改变向量 a 的大小和方向，可以自由平移 a，平移后的
17、向量与 a 相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，向量的共线与向量的平行是一致的 2向量具有大小和方向两个要素，既能像实数一样进行某些运算，又有直观的几何意义，是数与形的完美结合向量是一个几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断，这是研究平面向量最重要的方法与技巧 3向量加法的三角形法则可简记为“首尾相接，指向终点”；减法法则可简记为“起点重合，指向被减向量”；加法的平行四边形法则可简记“起点重合，指向对角顶点”4平面向量的三种线性运算的结果仍为向量，在三种线性运算中，加法是最基本、最重要的运算，减法运算与数乘运算都以加法
18、运算为基础，都可以归结为加法运算 5对于两个向量共线定理(a(a0)与 b 共线存在唯一实数 使得ba)中条件“a0”的理解：(1)当 a0 时，a 与任一向量 b 都是共线的；(2)当 a0 且 b0 时，ba 是不成立的，但 a 与 b 共线 因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求 a0.换句话说，如果不加条件“a0”，“a 与 b 共线”是“存在唯一实数 使得 ba”的必要不充分条件 1设 a，b 都是非零向量，下列四个条件中，使 a|a|b|b|成立的充分条件是()Aab Bab Ca2b Dab 且|a|b|解：由题意 a|a|b|b|表示与向量 a 和向量 b 同
19、向的单位向量相等，故 a 与 b 同向共线故选 C.2已知向量 a，b 不共线，ckab(kR)，dab.如果 cd，那么()Ak1 且 c 与 d 同向 Bk1 且 c 与 d 反向 Ck1 且 c 与 d 同向 Dk1 且 c 与 d 反向 解：因为 cd，所以存在实数，使得 cd，即 ka b (a b)，所 以k，1，解 得k1，1.此时 cd.所以 c 与 d 反向故选 D.3已知 O，A，M，B 为平面上四点，且OMOB(1)OA，实数(1，2)，则()A点 M 在线段 AB 上 B点 B 在线段 AM 上 C点 A 在线段 BM 上 DO，A，M，B 四点一定共线 解：由题意得O
20、MOA(OBOA)，即AMAB.又(1，2)，所以点 B 在线段 AM 上故选 B.4已知 O 是ABC 所在平面内一点，D 为 BC的中点，且 2OAOBOC0，则()A.AO2OD B.AOOD C.AO3OD D2AOOD 解：因为 D 为 BC 的中点，所以由 2OAOBOC0 得OBOC2OA2AO，即 2OD2AO，所以AOOD.故选 B.5在直角梯形 ABCD 中，A90，B30，AB2 3，BC2，点 E 在线段 CD 上，若 AEADAB，则 的取值范围是()A B C.0，12 D.12，2 解：由题意可求得 AD1，CD 3，所以AB2DC.因为点 E 在线段 CD 上，
21、所以DEDC(01)且AEADDE，又AEADABAD2DC，即DE2DC，所以 2.因为 01，所以 012.故选 C.6如图所示，已知点 G 是ABC 的重心，过 G作直线与 AB，AC 两边分别交于 M，N 两点，且 AMxAB，ANyAC，x，yR，则 xyxy的值为()A3 B.13 C2 D.12 解法一：由点 G 是ABC 的重心，知AG2312(ABAC)13(ABAC)又 M，N，G 三点共线(A 不在直线 MN 上)，于是存在，R，使得 AGAMAN(且 1)，则AGxAB yAC13(ABAC)，所以1，xy13，于是得1x1y3，所以 xyxy 11x1y13.解法二：
22、特殊化法，取 MNBC，易得 xyxy13.故选 B.7设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD12AB，BE23BC.若DE1AB2AC(1，2为实数)，则 12的值为_ 解：DEBEBD23BC12BA23(AC AB)12AB16AB23AC，因为DE1AB2AC，所以 116，223，从而 1212.故填12.8已知|OA|1，|OB|3，OAOB0，点C 在AOB 内，且AOC30，设OCmOAnOB(m，nR)，则mn_.解：如图，设 mOAOF，nOBOE，则OCOFOE，因为AOC30，所以|OC|cos30|OF|m|OA|m，|OC|sin30|OE|n|O
23、B|3n，两式相除得 m3n|OC|cos30|OC|sin301tan30 3，所以mn3.另外此题也可用坐标求解故填 3.9如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，且 AB2CD，M，N 分别是 DC 和 AB 的中点，若ABa，ADb，试用 a，b 表示BC和MN.解：BCBAADDCab12ab12a.MNMDDAAN14a(b)12a14ab.10设两个非零向量 e1和 e2不共线(1)如果ABe1e2，BC3e12e2，CD 8e12e2，求证：A，C，D 三点共线；(2)如果ABe1e2，BC2e13e2，CD 2e1ke2，且 A，C，D 三点共线，求 k 的值 解：(1)证明：
24、因为ABe1e2，BC3e12e2，CD8e12e2，所以ACABBC4e1e2 12(8e12e2)12CD，所以AC与CD共线 又因为AC与CD有公共点 C，所以 A，C，D 三点共线(2)ACABBC(e1e2)(2e13e2)3e12e2，因为 A，C，D 三点共线，所以AC与CD共线，从而存在实数 使得ACCD，即 3e12e2(2e1ke2)，得32，2k，解得 32，k43.故 k 的值为43.11如图所示，在ABO 中，OC14OA，OD12OB，AD 与 BC 相交于点 M，设OAa，OBb.试用 a 和 b表示向量OM.解：因为 A，M，D 三点共线，所以OM1OD(11)
25、OA 121b(11)a，因为 C，M，B 三点共线，所以OM2OB(12)OC2b124a，由 可 得1212，11124，解 得167，237.故OM17a37b.设 A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3 A1A2(R)，A1A4 A1A2(R)，且 1 12，则称 A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点 C，D 调和分割点 A，B，则下面说法正确的是()AC 可能是线段 AB 的中点 BD 可能是线段 AB 的中点 CC，D 可能同时在线段 AB 上 DC，D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 解：若 C，D 调和分割点 A，B，则ACAB(R)，A
26、DAB(R)，且 1 12.对于选项 A，若 C 是线段 AB 的中点，则AC12AB1210，故 A 选项错误；同理 B 选项错误；对于选项C，若 C，D 同时在线段 AB 上，则 01，01 1 12，C 选项错误；对于选项 D，若 C，D 同时在线段 AB 的延长线上，则 1，1 1 12，故 C，D 不可能同时在线段 AB 的延长线上，D 选项正确故选 D.52 平面向量的基本定理及坐标表示 1平面向量基本定理 如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1，2，使_ 我们把不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_
27、 2向量的夹角(1)已知两个_向量 a 和 b，作OAa，OBb，则AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角(如图)(2)向量夹角 的范围是_a与 b 同向时，夹角 _；a 与 b 反向时，夹角 _.(3)如果向量 a 与 b 的夹角是_，我们就说 a 与 b 垂直，记作_ 3平面向量的正交分解及坐标表示(1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个_的向量，叫做向量的正交分解(2)在平面直角坐标系内，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底任作一个向量 a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 x，y，使得 axiyj.则实数对_叫做向量 a 的(直角)坐标，记作 a_
28、，其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示与 a 相等的向量的坐标也为_显然，i_，j_，0_.4平面向量的坐标运算(1)已知 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab_.(2)如 果 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB _.(3)若 a(x，y)，则 a_.(4)如果 a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)，则ab 的充要条件是_ 自查自纠：1a1e12e2 基底 2(1)非零 (2)0180 0 180 (3)90 ab 3(1)互相垂直 (2)(x，y)(x，y)(x，y)(1，0)(0，1)(0，0)4(1)(x
29、1x2，y1y2)(2)(x2x1，y2y1)(3)(x，y)(4)x1y2x2y10 (2015全国)已知点 A(0，1)，B(3，2)，向量AC(4，3)，则向量BC()A(7，4)B(7，4)C(1，4)D(1，4)解：AB(3，1)，BCACAB(4，3)(3，1)(7，4)故选 A.在下列向量组中，可以把向量 a(3，2)线性表示出来的是()Ae1(0，0)，e2(1，2)Be1(1，2)，e2(5，2)Ce1(3，5)，e2(6，10)De1(2，3)，e2(2，3)解：一个平面内任意不共线的两个向量都可以作为平面的一组基底，它能表示出平面内的其他向量A 中，e10，且 e2与 a
30、 不共线；C，D 中的两个向量都是共线向量且不与 a 共线，故表示不出 a.B中的两个向量不共线，可以作为平面的一组基底，故可以表示出 a.故选 B.已知向量 a(1，m)，b(m，2)，若 ab，则实数 m 等于()A 2 B.2 C 2或 2 D0 解：由 ab 知 12m20，所以 m 2.故选 C.(2015江苏)已知向量 a(2，1)，b(1，2)，若 manb(9，8)(m，nR)，则 mn 的值为_ 解：因为 manb(2mn，m2n)(9，8)，所以2mn9，m2n8，解得m2，n5，故 mn3.故填3.已知两点 A(1，0)，B(1，1)，O 为坐标原点，点 C 在第二象限内
31、，且AOC135，设 OCOAOB(R)，则 的值为_ 解：由AOC135知，点 C 在射线 y x(x0)上，设点 C 的坐标为(a，a)，a0，若(a2b)(2ab)，则 x 的值为_ 解：a2b82x，12x2，2ab(16x，x1)，因为(a2b)(2ab)，显然 2ab0，所以存在唯一的实数 使得82x，12x2(16x，x1)，所以82x（16x），12x2（x1），解得 x4(x0)故填 4.(2)已知向量OA(1，3)，OB(2，1)，OC(k1，k2)，若 A，B，C 三点不能构成三角形，则实数 k_.解：若点 A，B，C 不能构成三角形，则向量AB，AC共线.ABOBOA(
32、2，1)(1，3)(1，2)，ACOCOA(k1，k2)(1，3)(k，k1)因为ABAC，AC0，所以 1(k1)2k0，解得 k1.故填 1.类型二 平面向量基本定理及其应用 在ABCD 中，AB8，BC6，AE 13EB，BF2CF0，设ABa，ADb.(1)设DBDEDF(，R)，求 的值；(2)设 AF 与 DE 交于点 G，用 a，b 表示AG.解：(1)因为AE13EB，ABAEEBa,所以AE14a，所以DEAEAD14ab.因为BF2CF0，BCADb，所以CF13b，所以DFDCCFa13b，DBDCDAab.因为DBDEDF14ab a13b14 a13 b，即 ab14
33、 a13 b.由于 a，b 为不共线的非零向量，因此由平面向量基本定理知141，131，所以 811，911，则 1711.(2)设DGmDE，AGnAF，m，nR，则 DGm14ab 14mamb，AGn(ADDF)n(ba13b)na2n3 b，由于AGADDGb 14mamb14ma(1m)b，即 na2n3 b14ma (1m)b.由于 a，b 为不共线的非零向量，因此由平面向量基本定理知n14m，2n3 1m，所以m67，n 314.则AG1467a167 b 314a17b.点拨：应用平面向量基本定理的关键点：(1)平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量(2)选定基底后，通
34、过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来(3)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便 (1)在ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD平分ACB.若CBa，CAb，|a|1，|b|2，则CD()A.13a23b B.23a13b C.35a45b D.45a35b 解法一：因为 CD 平分ACB，由角平分线定理，得ADDBACBC|b|a|2，所以AD2DB23AB.所以CDCAADCA23ABCA23(CBCA)23CB13CA23a13b.解法二：(
35、特殊值法)构造直角三角形，令 CB1，CA2，AB 3，则DCB30，所以 BD33.故BD13BA，CDCBBDa13(b a)23a13b.故选 B.(2)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示 若 c a b(，R)，则_.解：设 i，j 分别为水平向右和竖直向上的单位向量，则 aij，b6i2j，ci3j，所以i3j(ij)(6i2j)，即i3j(6)i(2)j，根据平面向量基本定理得16，32，解得2，12.所以4.故填 4.类型三 求向量的坐标 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1，0)，(3，0)，(1，5)，求第四个顶点的坐标 解：如图所示，令 A(1，0)，B(3，
36、0)，C(1，5)，D(x，y)(1)若四边形 ABCD1为平行四边形，则AD1BC，且AD1(x1，y)，BC(2，5)所以x12，y5，解得x3，y5.所以 D1(3，5)(2)若四边形 ACD2B 为平行四边形，则ABCD2，且AB(4，0)，CD2(x1，y5)所以x14，y50，解得x5，y5.所以 D2(5，5)(3)若四边形 ACBD3为平行四边形，则AD3CB，且AD3(x1，y)，CB(2，5)，所以x12，y5，解得x1，y5.所以 D3(1，5)综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(3，5)或(5，5)或(1，5)点拨：平面向量坐标运算的技巧：(1)向量的坐标运算常建立
37、在向量的线性运算的基础之上，若已知有向线段两端点的坐标，则应考虑坐标运算(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)进行求解 已知 A，B，C 三点的坐标分别为(1，0)，(3，1)，(1，2)，并且AE13AC，BF13BC.(1)求 E，F 的坐标；(2)求证：EFAB.解：(1)设 E，F 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则依题意得AC(2，2)，BC(2，3)，AB(4，1)所以AE13AC23，23，BF13BC23，1.因为AE(x1，y1)(1，0)(x11，y1)，BF(x2，y2)(3，1)(x23，y21)所以x1123，y1
38、23，解得x113，y123.x2323，y211，解得x273，y20.所以 E 的坐标为13，23，F 的坐标为73，0.(2)证明：由(1)知 E13，23，F73，0，所以EF83，23，且AB(4，1)，又 423(1)830，所以EFAB.1对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如 a1e12e2(1，2R，e1，e2为同一平面内不共线的两个向量)的形式，它是向量线性运算知识的延
39、伸(4)如果 e1，e2 是同一平面内的一组基底，且 1e12e20(1，2R)，那么 120.2对两向量夹角的理解 两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角若起点不同，则应通过平移，使其起点相同 3向量的坐标表示 向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标，当且仅当向量的起点为原点时，向量的坐标才等于其终点的坐标两个向量相等，当且仅当其坐标相同 1下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是()Aa(1，2)，b(0，0)Ba(1，2)，b(3，5)Ca(3，2
40、)，b(9，6)Da34，12，b(3，2)解：在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底故选 B.2已知平面向量 a(2m1，3)，b(2，m)，且 a 与 b 反向，则|b|等于()A.10 27 B2 2 C.52 D.52或 2 2 解：根据题意 ab 知 m(2m1)320，解得 m2或 m32.当 m32时，a(4，3)，b2，32，则 a2b，此时两向量同向，与已知不符，故 m2，此时 b(2，2)，故|b|2 2.故选 B.3如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a，b 如图，则向量 ab 可表示为()A3e2e1 B2e14e2 Ce13e2 D3e1e2
41、 解：由图易知 ab3e2e1e13e2.故选C.4(2015江西检测)已知向量 a(1，2)，b(3，m)，mR，则“m6”是“a(ab)”的()A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 解：由题意得 ab(2，2m)由 m6 得ab(2，4)12a，所以 a(ab)；由 a(ab)得1(2m)22，所以 m6.故“m6”是“a(ab)”的充要条件故选 A.5设向量 a(1，3)，b(2，4)，若表示向量 4a，3b2a，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量 c 为()A(1，1)B(1，1)C(4，6)D(4，6)解：由题知 4a(4，12)，3b2a(
42、6，12)(2，6)(8，18)，由 4a(3b2a)c0，知 c(4，6)故选 D.6如图，设向量OA(3，1)，OB(1，3)，若OCOAOB，且 1，则用阴影表示 C点所有可能的位置区域正确的是()解：设OC(x，y)，则由OCOAOB得(x，y)(3，1)(1，3)，即x3，y3，可得3xy8，3yx8.因 为 1，所 以3xy83yx8，3yx81，化简得xy0，x3y80.作出可行域知选项 D 正确故选 D.7(2015全国)设向量 a，b 不平行，向量 ab 与 a2b 平行，则实数 _ 解：由于 ab 与 a2b 平行，且 a2b0，所以存在唯一的实数 R，使得 ab(a2b)
43、，即()a(12)b0.因为 a，b 不平行，所以0，120，解得 12.故填12.8设向量 a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种向量积 ab(a1b1，a2b2)，已知向量 m2，12，n3，0，点 P(x，y)在 ysinx 的图象上运动Q是函数 yf(x)图象上的点，且满足OQmOPn(其中 O 为坐标原点)，则函数 yf(x)的值域是_ 解：设 Q(c，d)，由新的运算可得OQmOPn2x，12sinx 3，0 2x3，12sinx，所 以c2x3，d12sinx，消 去x得d 12sin12c6.所以 yf(x)12sin12x6，易知 yf(x)的值域是12，12.故填12
44、，12.9已知向量 a(1，0)，b(2，1)(1)当实数 k 为何值时，kab 与 a2b 共线？(2)若AB2a3b，BCamb 且 A，B，C 三点共线，求实数 m 的值 解：(1)kabk(1，0)(2，1)(k2，1)，a2b(1，0)2(2，1)(5，2)因为 kab 与 a2b 共线，所以 2(k2)(1)50，即 2k450，得 k12.(2)解法一：因为 A，B，C 三点共线，所以存在实数 使得ABBC，即 2a3b(amb)，所以2，3m，解得 m32.解法二：AB2a3b2(1，0)3(2，1)(8，3)，BCamb(1，0)m(2，1)(2m1，m)因为 A，B，C 三
45、点共线，所以ABBC，又BC0，所以 8m3(2m1)0，即 2m30，得 m32.10已知点 O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及 OPOAtAB，试问：(1)当 t 为何值时，P 在 x 轴上？P 在 y 轴上？P在第三象限内？(2)四边形 OABP 能否成为平行四边形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由 解：(1)依题意，得AB(3，3)，所以OPOAtAB(13t，23t)，即 P(13t，23t)若 P 在 x 轴上，则 23t0，所以 t23；若 P 在 y 轴上，则 13t0，所以 t13；若 P 在第三象限内，则13t0，23t0，所以 t23.(2)因为OA(1，
46、2)，PB(33t，33t)，若 OABP 是平行四边形，则OAPB，所以33t1，33t2.此方程无解 故四边形 OABP 不可能成为平行四边形 11如图所示，在ABC 中，点 M 是 BC 的中点，点 N 在边 AC 上，且 AN2NC，AM 与 BN 相交于点 P，求 APPM 的值 解：设BMe1，CNe2，则AMACCM 3e2e1，BNBCCN2e1e2.因为 A，P，M 和 B，P，N 分别共线，所以存在，R，使APAMe13e2，BPBN2e1e2.故BABPAP(2)e1(3)e2，而BABCCA2e13e2，所以由平面向量基本定理得22，33，所以45，35.所以AP45A
47、M，即 APPM41.如图所示，A，B，C 是圆 O 上的三点，线段 CO 的延长线与 BA 的延长线交于圆 O 外的一点D，若OCmOAnOB，则 mn 的取值范围是_ 解：由题意得，OCkOD(k0)，又|k|OC|OD|1，所以1k0.又因为 B，A，D 三点共线，所以ODOA(1)OB，mOAnOBkOAk(1)OB，由平面向量的基本定理知 mk，nk(1)，所以 mnk，从而 mn(1，0)故填(1，0)53 平面向量的数量积 1数量积的概念 已知两 个非零向 量 a 与 b，我们把数 量_叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作_，即 ab_，其中 是 a 与 b 的夹角，|a|
48、cos(|b|cos)叫向量 a 在b 方向上(b 在 a 方向上)的_ ab 的 几 何 意 义：数 量 积 ab 等 于_ 2数量积的运算律及常用结论(1)数量积的运算律 交换律：_；数乘结合律：_；分配律：_(2)常用结论(ab)2_；(ab)(ab)_；a2b20_；|a|b|_|a|b.3数量积的性质 设 a，b 都是非零向量，e 是与 b 方向相同的单位向量，是 a 与 e 的夹角，则 ea_.ab_.当 a 与 b 同向时，ab_；当 a 与 b 反向时，ab_.特 别 地，aa _ 或|a_.cos_.|ab _.4数量积的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则
49、ab_；a2_；|a _.ab_.|x1x2y1y2 _.自查自纠：1.|a|b cos ab|a|b|cos 投影 a 的长度|a 与 b 在 a 的方向上的投影|b cos 的乘积 2(1)abba (a)b(ab)a(b)(ab)cacbc(2)a22abb2 a2b2 a0 且 b0 3|a|cos ab0|a|b|a|b|a|2 aa ab|a|b|a|b|4x1x2y1y2 x21y21 x21y21 x1x2y1y20 x21y21x22y22 (2016全国卷)已知向量 a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则 m()A8 B6 C6 D8 解：向量 ab(4，m2)，由(
50、ab)b 得 43(m2)(2)0，解得 m8.故选 D.(2016全国卷)已知向量BA12，32，BC32，12，则ABC()A30 B45 C60 D120 解：cosABC BABC|BA|BC|32，所以ABC30.故选 A.(2015北京)设 a，b 是非零向量，“ab|a|b|”是“ab”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解：ab|a|b|cosa，b若 ab|a|b|，则 cosa，b1，即a，b0，可得 ab；若 ab，则a，b0 或，此时 ab|a|b|或ab|a|b|.故“ab|a|b|”是“ab”的充分而不必要条件故选
51、A.已知|a|1，|b|2，a 与 b 的夹角为 60，则 ab 在 a 方向上的投影为_ 解：由题意知 ab 在 a 方向上的投影为（ab）a|a|a2|a|b|cos60|a|2.故填 2.(2015安徽)ABC是边长为2的等边三角形，已知向量 a，b 满足AB2a，AC2ab，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号)a 为单位向量；b 为单位向量；ab；bBC；(4ab)BC.解：由AB2a，AC2ab 得 a12AB，b AC2aBC，正确；|a|12|AB|1，正确；|b|BC|2，错误；a 与 b 的夹角为 120，错误；(4ab)b4abb2440，正确故填.类型一 数量
52、积的定义及几何意义 (1)若 a，b，c 均为非零向量，则下列说法正确的是_(填写序号即可)ab|a|b ab；abab0；acbcab；(ab)ca(bc)解：ab|a|b cos，为 a，b 的夹角，则 cos1，正确；显然正确；错误，如ab，ac，则 acbc0，但 ab；错误，因为数量积的运算结果是一个数，即等式左边为 c 的倍数，等式右边为 a 的倍数故填.(2)ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 1，若ABAC2AO，且|OA|AC|，则向量BA在向量BC方向上的投影为()A.32 B.32 C3 D 32 解：由已知可以知道，ABC 的外接圆的圆心在线段 BC 的中点 O 处，
53、因此ABC 是直角三角形且A2，又因为|OA|CA|OC|，所以C3，B6，所以 AB 3，AC1，故BA在BC方向上的投影为|BA|cos6 32.故选 A.点拨：数量积 ab|a|b|cosx1x2y1y2(其中两向量夹角为，a(x1，y1)，b(x2，y2)其几何意义是：ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积在理解数量积与投影概念的基础上，利用二者的关系解题 (1)已知平面向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，若|a|2，|b|3，ab6.则x1y1x2y2的值为()A.23 B23 C.56 D56 解：因为 ab|a|b|cosa，b23 c
54、osa，b6，所以 cosa，b1，即向量 a 与 b 反向，则 3a2b0.由此可得 3(x1，y1)2(x2，y2)(0，0)，得 x123x2，y123y2，故x1y1x2y223.故选 B.(2)已知向量 a(2，1)，b(1，2)，若 a，b 在向量c 上的投影相等，且(ca)(cb)52，则向量 c 的坐标为_ 解：设 c(x，y)，由已知有ac|c|bc|c|，即(ab)c0，即 3xy0，又因为(ca)(cb)52，即 x2y2x3y520，联立解得 x12，y32，即 c12，32.故填12，32.类型二 数量积的基本运算 已知 e1，e2是夹角为23 的两个单位向量，ae1
55、2e2，bke1e2，若 ab0，则实数k 的值为_ 解：因为 ab(e12e2)(ke1e2)ke21(12k)(e1e2)2e22，且|e1|e2|1，e1e212，所以 k(12k)12 20，解得 k54.故填54.点拨：实数与数量积的运算虽有诸多相似之处，但应明确二者的区别，如 ab0 a 或 b 为 0，abac bc，(ab)ca(bc)等 (1)已知两个单位向量 e1，e2的夹角为3，若向量 b1e12e2，b23e14e2，则 b1b2_.解：b1b2(e12e2)(3e14e2)3e21 2e1e28e223211cos3 86.故填6.(2)(2014新课标全国卷)设向量
56、 a，b 满足|ab|10，|ab|6，则 ab()A1 B2 C3 D5 解：(ab)210，(ab)26，两式相减得4ab4，ab1.故选 A.类型三 用数量积表示两个平面向量的垂直关系 (1)已知向量 a(x1，2)，b(2，1)，则 ab 的充要条件是()Ax12 Bx1 Cx5 Dx0 解：由向量垂直的充要条件得 2(x1)20，所以 x0.故选 D.(2)已知两个非零向量 a，b 满足|ab|ab，则下面结论正确的是()Aab Bab C.|a|b Dabab 解法一：因为|ab|ab|，所以|ab|2|ab|2，所以 a22abb2a22abb2，得 ab0，所以 ab.解法二：
57、ab，ab 分别是以 a，b 为邻边的平行四边形的两条对角线因为|ab|ab|，所以平行四边形的对角线相等所以该平行四边形为矩形，所以 ab.故选 B.点拨：两个非零向量垂直的充要条件是两向量的数量积为 0，即：两个非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abab0 x1x2y1y20.(1)在直角三角形 ABC 中，已知AB(2，3)，AC(1，k)，则 k 的值为_ 解：当 A90时，因为ABAC，所以ABAC0.所以 213k0，解得 k23.当 B90时，因为ABBC，又BCACAB(1，k)(2，3)(1，k3)，所以ABBC2(1)3(k3)0，解得 k113.当 C90
58、时，因为ACBC，所以 1 (1)k(k3)0，即 k23k10.所以 k3 132.故填23或113 或3 132.(2)已知 a(3，2)，b(1，0)，向量 ab 与 a2b 垂直，则实数 的值为()A17 B.17 C16 D.16 解：由条件得 ab(31，2)，a 2b(1，2)，因为 ab 与 a2b 垂直，所以(31，2)(1，2)0，即 3140，解得 17.故选 A.类型四 向量的夹角与模 (1)(2015重庆)若非零向量 a，b 满足|a|2 23|b|，且(ab)(3a2b)，则 a 与 b的夹角为()A.4 B.2 C.34 D 解：令 a 与 b 的夹角为，由题意知
59、(ab)(3a2b)3a2ab2b20，即 3|a|2|a|b|cos2|b|20，且 b 为非零向量，即|b|0，所以 32 2322 23 cos20，解得cos 22，则 4.故选 A.(2)(2016浙江绍兴一中模拟)已知向量 a(sin，cos)，b(1，3)，则|2ab|的最大值与最小值分别是()A4 2，0 B4 2，4 C16，0 D4，0 解：因为 2ab(2sin1，2cos 3)，所以|2ab|（2sin1）2（2cos 3）2 84sin4 3cos88sin3，所以|2ab|的最大值与最小值分别为 4 和 0.另解：由几何意义求解故选 D.点拨：由向量数量积的定义 a
60、b|a|b|cos(为 a，b 的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查另外，数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0 说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为钝角 (1)在ABC 中，(AB3AC)CB，则角 A 的最大值为()A.6 B.4 C.3 D.2 解：令角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.由(AB3AC)CB得(AB3AC)CB0，化简可得|AB|cosB3|AC|cos(C)，即 ca2c2b2
61、2ac 3ba2b2c22ab，整理得 2a2b2c2.则 cosAb2c2a22bc3b2c24bc 2 3bc4bc 32，当且仅当 3bc 时等号成立，又 0A，所以 0A6.故选 A.(2)已知在ABC 中，|ABAC|BC|2，且|AC|1，则函数 f(t)|tAB(1t)AC|的最小值为()A.12 B.32 C.2 33 D.3 解：因为|ABAC|BC|，所以ABC 为直角三角形，且 A2，又|BC|2，|AC|1，则|AB|3，建立如图所示的平面直角坐标系 所以AB(3，0)，AC(0，1)，所 以f(t)|t AB (1 t)AC|（3t）2（1t）24t22t12t142
62、 316，即当 t14时，f(t)取最小值 2 34 32.另解：由 tAB(1t)AC中的 t(1t)1 知，所求为在直线 BC 上找一点 D，求 AD 的最小值故选 B.类型五 几何图形中向量的数量积 (1)(2015四川)设四边形 ABCD 为平行四边形，|AB|6，|AD|4.若点 M，N 满足BM3MC，DN2NC，则AMNM()A20 B15 C9 D6 解：AMAB34AD，NMCMCN14AD13AB，所以AMNM14(4AB3AD)112(4AB 3AD)148(16AB29AD2)148(1636916)9.故选 C.(2)(2014天津)已知菱形 ABCD 的边长为 2，
63、BAD120，点 E，F 分别在边 BC，DC 上，BC3BE，DCDF.若AEAF1，则 的值为_ 解：因为BAD120，所以ABAD|AB|AD|cos1202.因为 BE13BC，所以AEAB13AD，同理AF 1ABAD.因为AEAF1.所以AB13AD 1ABAD 1，解得 2.故填 2.(3)(2015福建)已知ABAC，|AB|1t，|AC|t.若点 P 是ABC 所在平面内的一点，且 APAB|AB|4AC|AC|，则PBPC的最大值等于()A13 B15 C19 D21 解：以AB，AC的方向为 x 轴，y 轴正方向建立直角坐标系，则 A(0，0)，B1t，0，C(0，t)，
64、因为 AB|AB|，AC|AC|表示与AB，AC同向的单位向量，所以AP(1，0)4(0，1)(1，4)，即 P(1，4)，则 PBPC1t1，4(1，t4)171t4t 13，当且仅当1t4t，即 t12时取等号故选 A.点拨：(1)求向量数量积的方法：定义法，要注意两个向量的夹角坐标法，引入直角坐标系，明确向量的坐标进行运算利用向量数量积的几何意义，注意一个向量在另一向量上的投影是数量运用平方的技巧(2)根据数量积求模或参数的值(范围)问题的一般方法：基底法，坐标法，这类问题常涉及数学思想方法的考查，特别是数形结合 (1)在直角三角形 ABC 中，C2，AC3，取点 D 使BD2DA，则C
65、DCA_.解：如图，CDCBBD.又因为BD2DA，所以CDCB23BACB23(CACB)，即CD23CA13CB.因为C2，所以CACB0.所以CDCA23CA13CB CA 23CA213CBCA6.故填 6.(2)如图，在矩形 ABCD 中，AB 2，BC2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若ABAF 2，则AEBF的值是_ 解法一：以 A 为坐标原点，AB，AD的方向分别为 x，y 轴正方向建立直角坐标系，则 B(2，0)，E(2，1)，D(0，2)，C(2，2)所以AB(2，0)，AE(2，1)，设点 F 为(x，2)，则由ABAF 2，得 2x 2，所以 x1.
66、所以BF(1 2，2)，所以AEBF 2(1 2)2 2.解法二：ABAFAB(ADDF)2|DF1，|CF 21.所以AEBF(ABBE)(BCCF)ABBCABCFBEBCBECF 0 2(21)120 2.故填 2.(3)(2015天津)在等腰梯形 ABCD 中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60.动点 E 和 F分别在线段 BC 和 DC 上，且BEBC，DF 19DC，则AEAF的最小值为_ 解：由题易知 ADBCCD1，故AEAF(ABBE)(ADDF)(ABBC)AD 19DC ABADBCAD 19ABDC19BCDC21cos601 1cos60 19211911cos
67、12012 29 1181718232918(当且仅当2 29，即 23时等号成立)故填2918.1平面向量的加法、减法及数乘运算的结果仍是一个向量，但是平面向量数量积运算的结果不是一个向量，而是一个实数 2注意平面向量的数量积与数的乘法的区别：在数的乘法中，若 ab0，则 a，b 中至少有一个为0.但在向量的数量积中，由 ab0 不能推得 a0或 b0，因为当两个非零向量 a，b 垂直时，也有ab0.应注意平面向量的数量积不满足结合律，即(ab)ca(bc)不一定成立 3注意向量 0 与实数 0 的区别：0a00，a(a)00，a000；0 的方向是任意的，并非没有方向 4注意两个非零向量
68、a，b 的夹角与 a，b 所在直线的夹角的区别前者的取值范围是，后者的取值范围是0，2.5求向量模的常用方法：利用公式|a2a2即|a|a2将模的运算转化为向量的数量积 6利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题，即只需将问题转化为向量形式，用向量的运算来求解如果能够建立适当的直角坐标系，用向量的坐标运算往往更为简捷 1设 a，b 是两个非零向量，则下列命题为真命题的是()A若|ab|a|b|，则 ab B若 ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得 ab D若存在实数，使得 ab，则|ab|a|b|解：将|ab|a|b|两边都平方得 a2b22aba2
69、b22|a|b|，所以 ab|a|b|a|b|cos|a|b|，为 a，b 的夹角，所以 cos1，即 a 与 b 共线故选 C.2已知向量 a(1，2)，b(2，3)若向量 c 满足(ca)b，c(ab)，则 c()A.79，73 B.73，79 C.73，79 D.79，73 解：不妨设 c(m，n)，则 ac(1m，2n)，ab(3，1)，由(ca)b 得3(1m)2(2n)，由 c(ab)得 3mn0，联立，解得m79，n73.故选 D.3设向量 a(1，2)，b(m，1)，如果向量 a2b 与 2ab 平行，那么 a 与 b 的数量积等于()A72 B12 C.32 D.52 解：a
70、2b(12m，4)，2ab(2m，3)，由题意得 3(12m)4(2m)0，解得 m12，所以 ab112 2152.故选 D.4(2015陕西)对任意向量 a，b，下列关系式中不恒成立的是()A|ab|a|b|B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2 D(ab)(ab)a2b2 解：根据数量积的定义 ab|a|b|cosa，b，所以|ab|a|b|cosa，b|a|b|，选项 A 中的关系式一定成立；如果选项 B 中的关系式 成 立，则|a b|2|a|b|2，可 得ab|a|b|，此式不恒成立；根据向量的运算法则可知选项 C，D 中的关系式是恒成立的故选 B.5如图，在圆 O 中，若弦 A
71、B3，弦 AC5，则AOBC的值等于()A8 B1 C1 D8 解：取BC中点 D，连接 OD，AD，则ODBC0且AOODAD，即AOADOD，而AD 12(ABAC)，所以AOBCADBCODBCADBC12(ABAC)(ACAB)12(AC2 AB2)12(5232)8.故选 D.6已知 x，y 满足yx，xy2，xa，若OA(x，1)，OB(2，y)，且OAOB的最大值是最小值的 8 倍，则实数 a 的值是()A1 B.13 C.14 D.18 解：因为OA(x，1)，OB(2，y)，所以OAOB2xy，令 z2xy.依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，观察图象可知，当目
72、标函数 z2xy 过点 C(1，1)时，zmax2113，目标函数 z2xy 过点F(a，a)时，zmin2aa3a，所以 383a，解得 a18.故选 D.7已知向量 a(1，0)，b(1，1)，则(1)与 2ab 同向的单位向量的坐标表示为_；(2)向量 b3a 与向量 a 夹角的余弦值为_ 解：(1)由 a(1，0)，b(1，1)，得 2ab(3，1)与 2ab 同向的单位向量为 2ab|2ab|310，110 3 1010，1010.(2)由 a(1，0)，b(1，1)，得 b3a(2，1)设向量 b3a 与向量 a 的夹角为，则 cos（b3a）a|b3a|a（2，1）（1，0）51
73、2 55.故填3 1010，1010；2 55.8已知 a，b 是单位向量，ab0，若向量 c满足|cab|1，则|c|的最大值为_ 解：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知 ab，且 a 与 b 是单位向量，所以可设OAa(1，0)，OBb(0，1)，OCc(x，y)，所以 cab(x1，y1)因为|cab|1，所以(x1)2(y1)21，即点 C(x，y)的轨迹是以 M(1，1)为圆心，1 为半径的圆而|c|x2y2，所以|c|的最大值为|OM|1，即|c|max 21.故填 21.9已知平面向量 a，b 满足|a|4，|b|8，a 与 b 的夹角是 120.(1)计算：|ab|，|4a
74、2b|；(2)当 k 为何值时，(a2b)(kab)解：由已知得，ab4812 16.(1)因为|a b|2 a2 2ab b2 162(16)6448，所以|ab|4 3.因为|4a2b|216a216ab4b216 1616(16)464768，所以|4a2b|16 3.(2)因为(a2b)(kab)，所以(a2b)(kab)0，所以 ka2(2k1)ab2b20，即 16k16(2k1)2640，解得 k7.即 k7 时，a2b 与 kab 垂直 10已知OP(2，1)，OA(1，7)，OB(5，1)，设 C 是直线 OP 上的一点(其中 O 为坐标原点)(1)求使CACB取到最小值时的
75、OC；(2)对(1)中求出的点 C，求 cosACB.解：(1)因为点 C 是直线 OP 上一点，所以可设OCtOP.所以OCt(2，1)(2t，t)所以CAOAOC(12t，7t)，CBOBOC(5，1)(2t，t)(52t，1t)所以CACB(12t)(52t)(7t)(1t)5t220t125(t2)28.当 t2 时，CACB取到最小值此时，OC(2t，t)(4，2)(2)当OC(4，2)时，CA(3，5)，CB(1，1)，所以|CA|34，|CB|2，由(1)知CACB8，所 以 cos ACB CACB|CA|CB|834 2 4 1717.在矩形 ABCD 中，边 AB、AD 的
76、长分别为 2，1，若 M、N 分别是边 BC、CD 上的点，且满足|BM|BC|CN|CD|，则AMAN的取值范围是_ 解：以 AB 所在直线为 x 轴，以 AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为 AB2，AD1，所以 A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(0，1)设 M(2，b)，N(x，1)(0 x2)，根据题意，b2x2，所以AN(x，1)，AM2，2x2.所以AMAN32x1(0 x2)，所以 132x14，即 1AMAN4.故填 1已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量 a 与 b 的夹角为()A.6 B.4 C.3 D.2 解：令 a 与 b 的夹角
77、为，由题知 a(ba)aba22，可得 ab3，所以 cos ab|a|b|12，即 3.故选 C.2(2015广东)在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形，AB(1，2)，AD(2，1)，则ADAC()A2 B3 C4 D5 解：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 ACABAD(1，2)(2，1)(3，1)，所以ADAC231(1)5.故选 D.3已知平面向量 a，b 的夹角为6，且|a|3，|b|2，在ABC 中，AB2a2b，AC2a6b，D为 BC 的中点，则|AD|等于()A2 B4 C6 D8 解：因为AD12(ABAC)12(2a2b2a 6b)2
78、a2b，所以|AD|24(ab)24(a2 2bab2)4322 3cos6 4 4，则|AD|2.故选 A.4(2016天津)已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE并延长到点 F，使得 DE2EF，则AFBC的值为()A58 B.18 C.14 D.118 解：设BAa，BCb，则DE12AC12(ba)，DF32DE34(ba)，AFADDF12a34(ba)54a34b，所以AFBC54ab34b2583418.故选 B.5如图，AOB 为等腰直角三角形，OA1，OC 为斜边 AB 的高，点 P 在射线 OC 上，则APOP的最小值为
79、()A1 B18 C14 D12 解：设|OP|t0，因为APOPOA，则APOP(OPOA)OPOP2OAOPt222 tt 2421818，当 t 24 时取等号，所以APOP的最小值为18.故选 B.6(2016四川)在平面内，定点 A，B，C，D满足|DA|DB|DC|，DADBDBDC DCDA2，动点 P，M 满足|AP|1，PMMC，则|BM|2的最大值是()A.434 B.494 C.376 34 D.372 334 解：由已知易得 ADCADBBDC120，|DA|DB|DC|2.以 D 为原点，直线 DA为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(2，0)，B(1，3)
80、，C(1，3)设P(x，y)，由已知|AP|1 得(x2)2y21，又PMMC，所 以M x12，y 32，所 以 BM x12，y3 32，则|BM|2（x1）2（y3 3）24，它表示圆(x2)2y21 上的点(x，y)与点(1，3 3)距离平方的14，所以|BM|2max14(32（3 3）2 1)2494.故选 B.7(2016全国)设向量 a(m，1)，b(1，2)，且|ab|2|a|2|b|2，则 m_ 解：由|ab|2|a|2|b|2得 ab，所以 m1120，解得 m2.故填2.8(2016上海)在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(0，1)，P 是曲线 y 1x2上一个动
81、点，则BPBA的取值范围是_ 解：由题意可知 y 1x2表示以原点为圆心，半径为 1 的圆的上半圆设 P(cos，sin)，因为BA(1，1)，BP(cos，sin1)，所以BPBAcossin1 2sin4 1故填 9在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 在椭圆x216y281 上，点 P 满足AP(1)OA(R)，且OAOP12，求线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值 解：由AP(1)OA，得OPOA(1)OA，即OPOA，则 O，P，A 三点共线又OAOP12，可知OA与OP同向，所以|OA|OP|12.设 OP 与 x 轴正方向的夹角为，A 点坐标为(x，y)，点 B 为点A
82、 在 x 轴上的投影，则线段 OP 在 x 轴上的投影长度为|OP|cos|OP|OB|OA|12|OB|OA|212|x|x2y212|x|x2812x212|x|12x28121|x|2 8|x|124 3，当且仅当|x|4 时等号成立，即线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为 3.10已知向量 a(2，2)，向量 b 与向量 a 的夹角为34，且 ab2.(1)求向量 b；(2)若 t(1，0)，且 bt，ccosA，2cos2C2，其中 A，C 是ABC 的内角，若三角形 ABC 的三内角A，B，C 依次成等差数列，试求|bc|的取值范围 解：(1)设 b(x，y)，由 ab2
83、知 2x2y2，且|b|ab|a|cos3422 2 221，所以 x2y21.由解得x1，y0或x0，y1.所以 b(1，0)或 b(0，1)(2)因为 A，B，C 依次成等差数列，所以 B3.因为 bt，且 t(1，0)，所以 b(0，1)所 以 b c cosA，2cos2C21 (cosA，cosC)，所以|bc|2cos2Acos2C112(cos2Acos2C)1 12 cos2Acos43 2A 1 12cos2A3，而 A0，23，所以 2A3 3，53，cos2A3 1，12.所以12|bc|254，所以 22|bc|0，0，|0)的部分图象如图所示，A，B 分别是这部分图象
84、上的最高点、最低点，O 为坐标原点，若OAOB0，则函数 f(x1)是()A周期为 4 的奇函数 B周期为 4 的偶函数 C周期为 2 的奇函数 D周期为 2 的偶函数 解：由题图可得 A2，3，B32，3，由OAOB0 得324230，又 0，所以 2，所以 f(x)3sin2 x，所 以 f(x 1)3 sin 2（x1）3cos2 x，它是周期为 4 的偶函数故选 B.(3)已知向量 a(cos，sin)，b(cos，sin)，0.()若|ab|2，求证：ab；()设 c(0，1)，若 abc，求，的值 解：()证明：由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22，又因为 a2b2|
85、a|2|b|21.所以 22ab2，即 ab0，故 ab.()因为 ab(coscos，sinsin)(0，1)，所 以coscos0，sinsin1.即coscos，sin1sin.两边分别平方再相加得 122sin，所以 sin12，sin12，又因为 0，所以 56，6.类型二 向量与解析几何 已知点 C 的坐标为(0，1)，A，B 是抛物线 yx2上不同于原点 O 的相异的两个动点，且OAOB0.(1)求证：ACAB；(2)若AMMB(R)，且OMAB0，试求点M 的轨迹方程 解：设 A(x1，x21)，B(x2，x22)，x1x20 且 x1x2,因为OAOB0，所以 x1x2x21
86、x220，又 x1x20，所以 x1x21.(1)证法一：kAC1x21x1 1x1x1，同理有 kBC1x2x2，因为 x1x21，所以 kACkBC，所以 A，B，C 三点共线，即ACAB.证法二：因为AC(x1，1x21)，BC(x2，1x22)，所以(x1)(1x22)(x2)(1x21)(x2 x1)x1x2(x2x1)(x2x1)(1x1x2)0，所以ACBC，即 A，B，C 三点共线，即ACAB.(2)因为AMMB，所以 A，M，B 三点共线，又 C 在 AB 上，且OMAB0，故点 M 在以 OC 为直径的圆上运动，其轨迹方程为 x2y12214(y0)点拨：向量在解析几何中的
87、“两个”作用：(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题(2)工具作用：利用 abab0(a，b 为非零向量)，abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越的方法 (1)过抛物线 y22px(p0)的焦点 F的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A，与抛物线的准线的交点为 B，点 A 在抛物线的准线上的射影为 C，若AFFB，BABC48，则抛物线的方程为()Ay28x
88、 By24x Cy216x Dy24 2x 解：如图，AFFBF 为线段 AB 的中点，因为AFAC，所以ABC30，由BABC48 得 BC4 3，则 AC4.所以由中位线性质有 p 12AC2，故抛物线的方程为 y24x.故选 B.(2)在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 a，b，|a|b|1，ab0，点 Q 满足OQ 2(ab)曲线 CP|OPacosbsin，02，区域P|0r|PQ|R，rR，若 C 为两段分离的曲线，则()A1rR3 B1r3R Cr1R3 D1r3R 解：由题意，可取 a(1，0)，b(0，1)，则OQ(2，2)，OP(cos，sin)，所以PQ(2cos，2
89、sin)，则|PQ|2(2cos)2(2sin)2 5 22(cos sin)5 4sin4.因为 02，所以4 4 94，所以1sin4 1，所以 1|PQ|29，即 1|PQ|3.因为 C 为两段分离的曲线，结合图象(如图)可知，1rR3.故选 A.类型三 向量在物理中的简单应用 在长江南岸渡口处，江水以252 km/h 的速度向东流，渡船的速度为 25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为_ 解：如图所示，渡船速度为OB，水流速度为OA，船实际垂直过江的速度为OD，依题意知|OA|252，|OB|25.因为ODOBOAADOA，所以在 RtAOD 中，ADO30，从而BOD30，即航
90、向为北偏西 30.故填北偏西 30.点拨：在使用向量解决物理问题的一般步骤：(1)认真分析物理问题，深刻把握物理量之间的相互关系；(2)通过抽象、概括，把物理问题转化为与之相关的向量问题；(3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；(4)利用这个结果，对原物理现象作出合理解释 一质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3(单位：N)的作用而处于平衡状态，已知 F1，F2成60角，且 F1，F2的大小分别为 2 和 4，则 F3的大小为_ 解：F1F2F3，所以|F32|F1F224162241228，所以|F1F2 2 7.故填2 7.1充分认识平面向量具有几何形式和代数形式的“双重
91、身份”，重视向量的工具作用 2利用向量解题的基本思路有两种，一是几何法：利用向量加减法的法则，抓住几何特征解题；二是坐标法：建立适当的坐标系，将向量用坐标表示，然后利用向量的坐标运算解题 3向量与三角函数结合的问题，通常是将向量的数量积与模经坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本知识求解，其中涉及到的有关向量的知识有：向量的坐标表示及加、减法，数乘运算；向量的数量积；向量平行、垂直的充要条件；向量的模、夹角等 4注意掌握一些重要结论，灵活运用结论解题如向量的共线定理，平面向量基本定理，三角形“四心”的向量结论等 5应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结论，选择使用向量
92、的性质解决相应的问题如用数量积解决垂直、夹角问题；用三角形法则、向量长度的计算公式解决平面几何中线段的长度问题；用向量共线解决三点共线问题；用向量的线性运算解决力、速度的问题等如果题设条件中有向量，则可以联想向量的有关概念和性质直接使用；如果没有向量，则需要有向量的工具意识和应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题 1已知点 O，A，B 不在同一条直线上，点 P为该平面上一点，且OP3OAOB2，则()A点 P 在线段 AB 上 B点 P 在线段 AB 的反向延长线上 C点 P 在线段 AB 的延长线上 D点 P 不在直线 AB 上 解：因为OP3OAOB232OA12OBOA 12(O
93、AOB)OA12BA，即OPOAAP12BA，所以点 P在线段 AB 的反向延长线上故选 B.2在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ADAB，B45，AB2CD2，M 为腰 BC 的中点，则MAMD()A1 B2 C3 D4 解：取 AD 的中点 O，连接 MO，易知 AD1，MO32，所以MAMD(MOOD)(MOOD)MO2OD22.故选 B.3(2015甘肃省三诊)已知 O 是坐标原点，点A(2，1)，若点 M(x，y)为平面区域xy2，x1，y2内的一个动点，则OAOM的取值范围是()A B C D 解：OA OM 2x y，画 出 不 等 式 组xy2，x1，y2表示的平面区域如图所
94、示 平移直线 y2x 易知，当点 M 的坐标为(1，1)时，OAOM取最小值1，当点 M 的坐标为(0，2)时，OAOM取最大值 2.故选 B.4两个大小相等的共点力 F1，F2，当它们的夹角为 90时，合力大小为 20 N，当它们的夹角为120时，合力大小为()A40 N B10 2 N C20 2 N D40 2 N 解：如图，以 F1，F2 为邻边作平行四边形，F 为这两个力的合力 由题意，易知|F|2|F1|，且|F|20 N，所以|F1|F2|10 2 N.当它们的夹角为 120时，以 F1，F2 为邻边作平行四边形，此平行四边形为菱形，此时|F 合|F1|10 2 N故选 B.5连
95、掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n，记向量 a(m，n)与向量 b(1，1)的夹角为，则 0，2 的概率是()A.512 B.12 C.712 D.56 解：因为 mn0，所以 a 与 b 不共线 因为 0，2，所以 0cos1，故只需ab0 即可又因为 abm1n(1)mn，所以 mn0.其概率为 P65432166 712.故选 C.6(2015湖南)已知点 A，B，C 在圆 x2y21 上运动，且 ABBC，若点 P 的坐标为(2，0)，则|PAPBPC|的最大值为()A6 B7 C8 D9 解：因为点 A，B，C 均在单位圆上，A，C 为单位圆直径的两个端点，故可令 A(cosx，
96、sinx)，B(cos(x)，sin(x)，C(cosx，sinx)，其中(0，2)，且，所以PAPBPC (cos(x)6，sin(x)，所以|PAPBPC|cos（x）62sin2（x）3712cos（x）7.故选 B.7已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若OBa1OAa200OC，且 A，B，C 三点共线(该直线不过点O)，则 S200等于_ 解：因为OBa1OAa200OC，且 A，B，C 三点共线(该直线不过点 O)，所以 a1a2001，因为an是等差数列，所以 S200200（a1a200）2100.故填 100.8(2016江苏)如图，在ABC 中，D 是 BC的中点，E
97、，F 是 AD 上的两个三等分点，BACA4，BFCF1，则BECE的值是_ 解法一：(通性通法)以 D 为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系，设 B(a，0)，C(a，0)，A(b，c)，则E23b，23c，F13b，13c，BA(ba，c)，CA(ba，c)，BFb3a，c3，CFb3a，c3，BE23ba，23c，CE23ba，23c，由BACA b2a2c24，BFCFb29a2c291，解得 b2c2458，a2138，则BECE49(b2c2)a278.解法二：设BDa，DFb，则BACA(a3b)(a3b)9|b|2|a|24，B
98、FCF(ab)(ab)|b|2|a|21，解得|a|2138，|b|258，则BECE(a2b)(a2b)4|b|2|a|278.故填78.9若两向量 e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1，e2所成的角为 60，若向量 2te17e2与向量 e1te2所成的角为钝角，求实数 t 的取值范围 解：设向量 2te17e2与向量 e1te2的夹角为，由 为钝角，知 cos0，故(2te17e2)(e1 te2)2te21(2t27)e1e27te222t215t70，解得7t12.再设向量 2te17e2与向量 e1te2反向，则 2te17e2k(e1te2)(k0)，从而2tk，7tk，解
99、得t 142，k 14，即当 t142时，两向量所成的角为 180.所以 t 的取值范围是7，142 142，12.10(2015徐州模拟)已知平面向量 a(4，5cos)，b(3，4tan)，0，2，ab，求：(1)|ab|；(2)cos4 的值 解：(1)因为 ab，所以 ab435cos(4tan)0，解得 sin35.又因为 0，2，所以 cos45，tansincos34，所以 a(4，4)，b(3，3)，所以 ab(7，1)，因此|ab|72125 2.(2)cos4 coscos4 sinsin4 45 22 35 22 210.11如图所示，A，B 分别是单位圆与 x 轴，y轴
100、正半轴的交点，点 P 在单位圆上，AOP (0)，C 点坐标为(2，0)，平行四边形 OAQP的面积为 S.(1)求OAOQS 的最大值；(2)若 CBOP，求 sin26 的值 解：(1)由已知得 A(1，0)，B(0，1)，P(cos，sin)因为四边形 OAQP 是平行四边形，所以OQOAOP(1，0)(cos，sin)(1cos，sin)，所以OAOQ1cos.又平行四边形 OAQP 的面积 S|OA|OP|sinsin，所以 OA OQ S 1 cos sin 2sin4 1.又 0，所以当 4 时，OAOQS 取得最大值 21.(2)由题意知CB(2，1)，OP(cos，sin)，
101、因为 CBOP，所以 cos2sin.又 0，cos2sin21，解得 sin 55，cos2 55，所以 sin22sincos45，cos2 cos2sin235.所 以sin 26 sin2cos 6cos2sin6 45 32 35124 3310.P是ABC内一点ABC，ABP，ACP的面积分别对应记为 S，S1，S2.已知CP 34 CA4 CB，其中(0，1)若SS13，则S2S1()A1 B.12 C.13 D.14 解：设 E 点满足CE34CA14CB，则 A，B，E 三点共线，且 E 为线段 AB 靠近 A点的四等分点，又因为CP34 CA4 CB，故CPCE，(0，1)
102、，即 P 在线段 CE 上，如图所示，由SS13，知 P 为线段 CE 靠近 E 点的三等分点，故 S223SACE2314S12S1，故S2S112.故选 B.55 复数的概念 1虚数单位为 i，规定：i2_，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的_仍然成立 2复数的概念 形如：abi(a，bR)的数叫复数，其中 a 叫做复数的_，b 叫做复数的_ 当_时，复数 abi 为实数；当_时，复数 abi 为虚数；当_且_时，复数 abi 为纯虚数 3复数相等的充要条件 abicdi(a，b，c，dR)_，特别地，abi0_.4复数 zabi(a，bR)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量O
103、Z都可建立_的关系(其中 O 是坐标原点)5在复平面内，实轴上的点都表示_；虚轴上的点除_外都表示_ 6复数的模 向量OZ的模 r 叫做复数 zabi(a，bR)的模，记作_或|abi.即|z|abi r_(r0，rR)7共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为_，复数 z的共轭复数记作_ 8数系的扩充 数 集 扩 充 的 过 程 是：自 然 数 集(N)_复数集(C)数集的每一次扩充，都使得在原有数集中能实施的运算，在新的数集中仍能进行，并且解决了在原有数集中某种运算不可实施的矛盾 自查自纠：11 运算律 2实部 虚部 b0 b0 a0 b0 3ac 且
104、bd ab0 4一一对应 5实数 原点 纯虚数 6.|z a2b2 7共轭复数 z 8整数集(Z)有理数集(Q)实数集(R)已知复数 z21i，则()Az 的模为 2 Bz 的实部为 1 Cz 的虚部为1 Dz 的共轭复数为 1i 解：z 21i 2（1i）（1i）（1i）1i.故选 C.已知复数 z3i1i，其中 i 为虚数单位，则复数 z 所对应的点位于复平面的()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解：z（3i）（1i）22i，对应的坐标为(2，1)，故位于复平面的第四象限故选 D.方程 x26x130 的一个根是()A32i B32i C23i D23i 解：当 0 时，方
105、程有虚数根，根据求根公式xb 4acb2i2a，得 x64i232i，所以方程的一个根为32i.故选 A.若复数 zsin35cos45 i 是纯虚数，则 tan 的值为_ 解：依题意有sin350，cos450，解得 sin35，cos45，所以 tan34.故填34.设 a，b 为实数，i 为虚数单位，若12iabi1i，则|abi|_.解：|abi|12i1i|12i|1i|52 102.故填 102.类型一 复数的有关概念及性质 下列命题中：(1)在复数集中，任意两个数都不能比较大小；(2)若 zmni(m，nC)，则当且仅当 m0，n0 时，z 为纯虚数；(3)若(z1z2)2(z2
106、z3)20，则 z1z2z3；(4)xyi1ixy1；(5)若实数 a 与 ai 对应，则实数集与纯虚数集一一对应 其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3 解：(1)当两个复数都是实数时，可以比较其大小(2)若 m0，ni 时，则 z0i21R.(3)当 z11，z20，z3i 时满足条件，而结论不成立(4)只有当 x，yR 时命题才正确(5)若 a0，则 0i0 不是纯虚数故选 A.点拨：正确理解复数的概念，不要想当然地认为字母表示的数(特别是 i 的系数)一定是实数，也不要随意将实数中的一些结论推广到复数中去对 zabi(a，bR)，z 为纯虚数a0，b0，z 为实数b0.(1)(
107、2015上海)设z1，z2C，则“z1，z2 中至少有一个数是虚数”是“z1z2 是虚数”的()A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 解：若 z1，z2皆是实数，则 z1z2一定不是虚数，因此当 z1z2 是虚数时，则“z1，z2 中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当 z1，z2中至少有一个数是虚数时，z1z2 不一定是虚数，如z1z2i，即充分性不成立故选 B.(2)已知 z11ai，z2bi(a，bR)，z1z255i，z1z2的实部为负数，则|z1z2|_.解：因为 z1z2(1ai)(bi)(ab)(ab1)i55i，所以ab5，ab15，则a
108、2，b3或a3，b2，所以z1z212i3i 110 710i(不合题意，舍去)或z1z213i2i 1575i.所以 z113i，z22i，则 z1z214i，即|z1z2|17.故填 17.类型二 复平面的概念及复数的几何意义 已知 A，B 是锐角三角形的两内角，则复数(sinAcosB)(sinBcosA)i 在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解：因为 A，B 是锐角三角形的两内角，所以 AB2，且 0A2，0B2.所以 02 BA2，由正弦函数的单调性知 sin2 B sinA，即 sinAcosB0.同理可得，sinBcosA0.故选 A.点拨
109、：判断复数对应的点在复平面上的位置，只需判断复数的实部和虚部的正负即可，对题目中条件“A，B 是锐角三角形的内角”的挖掘是解决此题的关键 已知 z 是复数，z2i，z2i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(zai)2 在复平面上对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围 解：设 zxyi(x，yR)，则 z2ix(y2)i，由题意得 y2；z2ix2i2i 15(x2i)(2i)15(2x2)15(x4)i.由题意得 x4.所以 z42i.所以(zai)2(124aa2)8(a2)i.由于(zai)2 在复平面上对应的点在第一象限，所以124aa20，8（a2）0，解得 2a6.所以实数 a
110、的取值范围是(2，6)类型三 复数相等的充要条件 (1)(2015全国卷)若 a 为实数，且(2ai)(a2i)4i，则 a()A1 B0 C1 D2 解：因为(2ai)(a2i)4a(a24)i4i，所以 4a0 且 a244，解得 a0.故选 B.(2)关于 x 的方程 x2(2i1)x3mi0 有实根，则实数 m 的值是 解：设实根为 x0，则 x20(2i1)x03mi0，即 x20 x03m(2x01)i0.由复数相等的充要条件得x20 x03m0，2x010.所以 m13(x20 x0)131412 112.故填112.点拨：复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数
111、的实部与虚部有关，所以解答与复数概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 abi(a，bR)的形式，再根据题意求解 (1)已知a2iibi(a，bR)，其中 i 为虚数单位，则 ab()A3 B2 C1 D1 解：由已知得 a2i1bi，所以 a1，b2，则 ab3.故选 A.(2)已知 i 为虚数单位，复数 z112i，z21i，z332i，它们所对应的点分别为 A，B，C，若OCxOAyOB，x，yR，求 xy 的值 解：由OCxOAyOB，得 32ix(12i)y(1i)(xy)(2xy)i，所以xy3，2xy2.解得x1，y4，故 xy5.1处理与复数概念有关的问题，首先找准复数
112、的实部与虚部，若复数为非标准的代数形式，应通过代数运算将其化为标准的代数形式，然后根据定义解题，复数问题实数化是解决复数问题最基本的思想方法 2熟练掌握复数部分的一系列概念，对于求解复数题至关重要以下三点请注意：(1)对于复数 mni，如果 m，nC(或没有明确界定 m，nR)，则不可想当然地判定 m，nR.(2)易误认为 y 轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点除外)(3)对于 abi(a，bR)为纯虚数的充要条件，只注意了 a0 而漏掉了 b0.3复数的几何意义(1)(其中 a，bR)(2)|z|表示复数 z 对应的点与原点的距离(3)|z1z2|表示两点的距离，即表示复数 z1与z2对应的
113、点的距离 1(2015山东)若复数 z 满足1 izi，其中i 为虚数单位，则 z()A1i B1i C1i D1i 解：因为 z i(1i)1i，所以 z1i.故选 A.2(2016全国)设(1i)x1yi，其中 x，y 是实数，则|xyi|()A1 B.2 C.3 D2 解：因为(1i)x1yi，所以 xxi1yi，则 yx1，故|xyi|1i|2.故选 B.3若复数 z 满足 z1ii2 017i2 018(i 为虚数单位)，则复数 z()A1 B2 Ci D2i 解：因为 z1ii2 017i2 018i1，所以 z(i1)(1i)2i.故选 D.4设 a，bR，i 是虚数单位，则“a
114、b0”是“复数 abi为纯虚数”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解：ab0a0 或 b0复数 abi为纯虚数或实数，充分性不成立；反之，若 abi为纯虚数，则必有 a0 且 b0，所以 ab0.故选 B.5(2016全国)已知 z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是()A(3，1)B(1，3)C(1，)D(，3)解：复数 z 在复平面内对应的点在第四象限应满足m30，m10，解得3m1.故选 A.6设 z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A若|z1z2|0，则1z 2z B若 z12z，则1z z2
115、C若|z1|z2|，则 z11z z22z D若|z1|z2|，则 z21z22 解：对于选项 A，若|z1z2|0，则 z1z2，故1z 2z，正确；对于选项 B，若 z12z，则1z 2z z2，正确；对于选项 C，z11z|z1|2，z22z|z2|2，若|z1|z2|，则 z11z z22z，正确；对于选项 D，如令 z11i，z21i，满足|z1|z2|，而 z212i，z222i，故不正确故选 D.7(2014福建模拟)若 xC，则关于 x 的一元二次方程 x2x10 的根为_ 解：由 x2x10，得(1)241130，所以 x（1）3i212 32 i.故填12 32 i.8已知
116、复数 zxyi(i 是虚数单位，x，yR)，且|z2|3，则yx的最大值为_ 解：因为|z2|（x2）2y2 3，所以(x2)2y23.由图可知yx max 31 3.故填 3.9设复数 zlg(m22m2)(m23m2)i(i是虚数单位)，试求实数 m 取何值时：(1)z 是纯虚数；(2)z 是实数；(3)z 对应的点位于复平面的第二象限 解：(1)由题意可得lg（m22m2）0，m23m20，解得 m3.(2)由题意可得m23m20，m22m20，解得 m1或 m2.(3)由 题 意 可 得lg（m22m2）0，m23m20，即m22m20，m22m21，m23m20，解得1m13或 13
117、m0，求1m1n的最小值 解：因为(12i)i2i，所以 M(2，1)，即 2mn1，又 mn0，故 m0，n0，所以1m1n1m1n(2mn)3nm2mn 32 2，当且仅当nm2mn，2mn1，即m2 22，n 21时等号成立，所以1m1n的最小值为 32 2.i 是虚数单位，设复数 z 满足 4z 2 z 3 3i，复数 sinicos，求|z|的取值范围 解：设 zabi，(a，bR)，则 z abi.代入 4z2 z 3 3i，得 4(abi)2(abi)3 3i，即 6a2bi3 3i.所以a 32，b12.所以 z 32 12i.|z|32 12i（sinicos）32 sin2
118、12cos2 22sin6.因为1sin6 1，所以 022sin6 4.所以 0|z|2.56 复数的四则运算及几何意义 1复数的加、减、乘、除的运算法则 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 (1)z1z2 ；(2)z1z2 ；(3)z1z2 (z20)2复数加、减法的几何意义 以复数 z1，z2分别对应的向量OZ1，OZ2为邻边作平行四边形 OZ1ZZ2，对角线 OZ 表示的向量OZ就是_z1z2对应的向量是_ 自查自纠：1(1)(ac)(bd)i (2)(acbd)(adbc)i(3)acbdc2d2 bcadc2d2 i 2复数 z1z2所对应的向量 Z2Z1 (201
119、5广东)若复数 zi(32i)(i 是虚数单位)，则 z()A23i B23i C32i D32i 解：zi(32i)23i，所以 z23i.故选 A.(2016山东)若复数 z 满足 2z z 32i，其中 i 为虚数单位，则 z()A12i B12i C12i D12i 解：设 zabi(a，bR)，则 2z z 3a bi32i，故 a1，b2，则 z12i.故选B.(2015全国卷)设复数 z 满足1z1zi，则|z|()A1 B.2 C.3 D2 解：由1z1zi，得 z1i1i i，所以|z|1.故选 A.(2015天津)i 是虚数单位，计算12i2i 的结果为_ 解：12i2i
120、i22i2ii()i22ii.故填i.设复数 z1ai(a 是正实数)，且|z|10，则z12i_.解：因为|z|10且 a0，所以 a3，则z12i13i12i（13i）（12i）（12i）（12i）1i.故填1i.类型一 复数的代数运算 i 是 虚 数 单 位，计 算2i2（1i）2 21i2017的值 解：因为2（i1）（1i）2 2i1(i1)，21i201621008（2i）10081，所以原式(i1)2（1i）2.点拨：(1)复数的计算除了掌握基本运算法则外，最好熟记一些常见算式运算的结果，这对提高运算的速度和准确度都有很大的帮助如：(1i)22i，(1i)22i，(1i)(1i)
121、2，i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN)等(2)复数 zabi 与平面向量OZ(a，b)是一一对应的 i 是虚数单位，21i20161i1i6_.解：原式21i2 10081i1i622i1008i6i1 008i6i4252i421i20.故填0.类型二 复数的模与共轭复数 (1)复数 z 满足(z3)(2i)5(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数为()A2i B2i C5i D5i 解：由题意得 z3 52i2i，所以 z5i，故 z 5i.故选 D.(2)(2015洛阳统考)设复数 z1i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为 z，则|(1z)z|()A.10 B2 C.
122、2 D1 解：依题意得(1z)z(2i)(1i)3 i，则|(1 z)z|3 i|（3）212 10.故选 A.点拨：利用复数的四则运算求复数的一般思路：(1)复数乘法运算满足多项式的乘法法则，利用此法则后将实部与虚部分别写出即可(2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复数进行运算化简(3)利用复数的相关概念解题时，通常是设出复数或利用已知联立方程求解即可 设复数 z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则 yx 的概率为()A.34 12 B.12 1 C.14 12 D.12 1 解：由|z|1 得(x1)2y21，作图如图阴影部分所示，联 立（x1）2y21，yx，得xy
123、0，xy1，即A(1，1)由几何概型知所求概率为4 1211 14 12.故选 C.1复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化 2复数的代数运算多用于次数较低的运算，但应用 i、的性质可简化运算注意下面结论的灵活运用：(1)(1i)22i；(2)1i1ii，1i1ii；(3)210，31，其中 12 32i；(4)inin1in2in30(nN)3在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当zC 时，不是总成立的：(1)(zm)
124、nzmn(m，n 为分数)；(2)若 zmzn，则 mn(z1)；(3)若 z21z220，则 z1z20.4注意利用共轭复数的性质，将 zz 转化为|z2，即复数的模的运算，常能使解题简捷 1(2016武汉调考)设 i 是虚数单位，若复数a 174i是纯虚数，则实数 a 的值为()A4 B1 C4 D1 解：a 174ia4i 是纯虚数，则 a4.故选 C.2(2015安徽)设 i 是虚数单位，则复数 2i1i在复平面内所对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解：2i1i2i（1i）（1i）（1i）i(1i)1i，其在复平面内所对应的点坐标为(1，1)，即位于第二象
125、限故选 B.3(2016全国)若 z12i，则4i1z z()A1 B1 Ci Di 解：4i1z z4i（12i）（12i）1i.故选 C.4(2014浙江)已知 i 是虚数单位，a，bR，则“ab1”是“(abi)22i”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解：若 ab1，则(abi)2(1i)22i；反之，若(abi)22i，则 ab1 或 ab1，故“ab1”是“(abi)22i”的充分不必要条件故选 A.5设 f(n)1i1in1i1in(nN*)，其中i 为虚数单位，则集合f(n)中元素的个数为()A1 B2 C3 D无数个 解：f(n
126、)1i1in1i1inin(i)n，f(1)0，f(2)2，f(3)0，f(4)2，f(5)0，所以集合中共有 3 个元素故选 C.6设复数 11232 i，2cos12isin12，若 z12，则复数 z 的虚部为()A12 B.12 C 22 D.22 解法一：1212 32 i cos12isin12 12cos12 32 sin1232 cos1212sin12 i cos3 12 isin3 12 cos4 isin4 22 22 i.所以复数 z 的虚部为 22.解法二：若 z1cosisin，z2cosisin，则z1z2 coscos sinsin i(sincos cossi
127、n)cos()isin()因为 112 32 icos23 isin23，2cos12isin12，所 以z 12 cos 23 12isin23 12 cos34 isin34 22 22 i，所以复数 z 的虚部为 22.故选 D.7(2016北京)设 aR，若复数(1i)(ai)在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于 实 轴 上，则 a _.解：(1i)(ai)a1(a1)iR a 1.故填1.8(2015江苏)设复数 z 满足 z234i(i 是虚数单位)，则 z 的模为_ 解：因为 z234i，所以|z|2|z2|34i|9165，所以|z|5.故填 5.9把复数z 的共轭复数记
128、作z，已知(12i)z 43i，求 z 及 zz.解：设 zabi(a，bR)，则 z abi，由已知得(12i)(abi)(a2b)(2ab)i43i，由复数相等的定义知a2b4，2ab3，解得 a2，b 1，所 以 z 2 i.所 以 zz 2i2i（2i）2（2i）（2i）34i53545i.10设存在复数 z 同时满足下列条件：(1)复数 z 在复平面内对应的点位于第二象限；(2)zz2iz8ai(aR)试求 a 的取值范围 解：设 zxyi(x，yR)，由(1)得 x0，y0，由(2)得(xyi)(xyi)2i(xyi)8ai，即 x2y22y2xi8ai.由复数相等的定义得x2y2
129、2y8，2xa，由得 x2(y1)29，因为 x0，所以3x0 且 a，b 不同向 则 abx20，所以 x2.当 x12时，a，b 同向 所以 x2 且 x12.(2)因为 a2b(12x，4)，(2ab)(2x，3)，则(2x1)(2x)340，即2x23x140，解得 x72或 x2.18(12 分)已知 z 是复数，z2i，z2i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围 解：设 zxyi(x，yR)，所以 z2ix(y2)i，由题意得 y2.因为 z2ix2i2i 15(x2i)(2i)15(2x2)15(x4)i，由题意得 x
130、4，所以 z42i.因为(zai)2(124aa2)8(a2)i，所以124aa20，a20，解得 2a6，所以实数 a 的取值范围是(2，6)19(12 分)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 mcos3A2，sin3A2，ncosA2，sinA2，且满足|mn|3.(1)求角 A 的大小；(2)若|AC|AB|3|BC|，试判断ABC 的形状 解：(1)由|mn|3得 m2n22mn3，即 112cos3A2 cosA2sin3A2 sinA2 3，所以 cosA12.因为 0A，所以 A3.(2)因为|AC|AB|3|BC|，所以 sinBsinC 3sinA
131、，所以 sinBsin23 B 3 32，即 32 sinB12cosB 32，所以 sinB6 32.因为 0B23，所以6 B6 0，解得34k0，即 k 的取值范围是34，0.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则OAOB(x1x2，y1y2)，由方程，得 x1x24（k3）1k2，又 y1y2k(x1x2)4，而 P(0，2)，Q(6，0)，PQ(6，2)所以OAOB与PQ共线x1x23(y1y2)，将代入上式，解得 k34.由(1)知，k34，0，故不存在符合题意的常数 k.22(12 分)已知椭圆 E：x2a2y2b21 的右焦点为 F(c，0)且 abc0，设短轴的一个
132、端点为 D，原点 O 到直线 DF 的距离为 32，过原点和 x 轴不重合的直线与椭圆 E 相交于 C，G两点，且|GF|CF|4.(1)求椭圆 E 的方程；(2)是否存在过点 P(2，1)的直线 l 与椭圆 E 相交于不同的两点 A，B 且使得OP24PAPB成立？若存在，试求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 解：(1)由椭圆的对称性知|GF|CF|2a4，所以 a2.又原点 O 到直线 DF 的距离为 32，所以bca 32，所以 bc 3，又 a2b2c24，ab c0，所以 b 3，c1.故椭圆 E 的方程为x24y231.(2)当直线 l 与 x 轴垂直时不满足条件 故可设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l 的方程为 yk(x2)1，代入椭圆方程得(34k2)x2 8k(2k1)x16k216k80，所以 x1x28k（2k1）34k2，x1x216k216k834k2，96(2k 1)0，所以 k12.因为OP24PAPB，即 54，所以 4(x12)(x22)(1k2)5，即 4(1k2)5，所以 416k216k834k228k（2k1）34k2 4(1k2)444k234k25，解得 k12，k12不符合题意，舍去 所以存在满足条件的直线 l，其方程为 y12x.
