1、新20版练B1数学人B版3.2函数与方程、不等式之间的关系第三章 函数3.2函数与方程、不等式之间的关系课时1 函数的零点、三个二次间的关系考点1函数的零点1.函数f(x)=2x+7的零点为()。A.7B.72C.-72D.-7答案：C解析：令f(x)=2x+7=0,得x=-72,函数f(x)=2x+7的零点为-72。2.(2018山东曲阜二中高一检测)函数f(x)=-x2+5x-6的零点是()。A.-2,3B.2,3C.2,-3D.-2,-3答案：B解析：令-x2+5x-6=0,得x1=2,x2=3。函数f(x)=-x2+5x-6的零点为2和3。3.(2018河南开封高中期末考试)下列说法中
2、正确的个数是()。f(x)=x+1,x-2,0的零点为(-1,0);f(x)=x+1,x-2,0的零点为-1;y=f(x)的零点,即y=f(x)的图像与x轴的交点;y=f(x)的零点,即y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标。A.1B.2C.3D.4答案：B解析：根据函数零点的定义,f(x)=x+1,x-2,0的零点为-1,也就是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标。因此,只有说法正确,故选B。4.下列图像表示的函数中没有零点的是()。图3-2-1-1答案：A解析：没有零点就是函数的图像与x轴没有交点,故选A。5.(2019辽宁鞍山八中高一月考)若函数f(x)=x-1x,则函数g(x)=
3、f(4x)-x的零点是。答案：12解析：g(x)=f(4x)-x=4x-14x -x。令4x-14x-x=0,解得x=12,则函数g(x)的零点是12。【易错点拨】方程根的个数即函数的零点个数,此题转化为g(x)=0求根的问题。6.分别判断下列函数的零点的个数,并说明理由。(1)f(x)=x2+6x+9;答案：函数f(x)=x2+6x+9的图像为开口向上的抛物线,且与x轴有唯一的公共点(-3,0),所以函数f(x)=x2+6x+9有一个零点,为-3。(2)f(x)=x-1x;答案：令f(x)=0,得x-1x=0,即x2-1=0,解得x=1,所以函数f(x)=x-1x有两个零点,为1。(3)f(
4、x)=2x-4,x0,+),2x2-3x-2,x(-,0)。答案：当x0时,由2x-4=0,得x=2;当x0的解集为()。A.(2,+)B.(-,2)C.(0,2)D.(-,0)(2,+)答案：D解析：方程x2-2x=0的解为x=0或x=2,结合二次函数的性质得到解集为(-,0)(2,+)。故答案为D。8.不等式-x2-3x+40的解集为()。A.x|x-4或x1B.x|0x3C.x|-4x-1D.x|-1x3答案：A解析：解法1:-x2-3x+4=0两实根为-4,1,f(x)=-x2-3x+4开口向下,结合二次函数的图像得到解集为x|x-4或x1。解法2:不等式两边同乘以-1,原不等式可化为
5、x2+3x-40,即(x-1)(x+4)0,解得x-4或x1。故不等式-x2-3x+40的解集是x|x-4或x1。故答案为A。9.(2019北京东城区高二期中)不等式(x2-2x-3)(x2+2)0的解集是()。A.x|-1x3B.x|x3C.x|0x3D.x|-1x0答案：A解析：令(x2-2x-3)(x2+2)=0等价于(x-3)(x+1)(x2+2)=0,从而x=3或x=-1,结合二次函数性质得-1x0的解集x|-1x0的解集是x|-1x0的解集是(1,+),则关于x的不等式(ax+b)(x-2)0的解集是(1,+),a0,且-ba=1,所以关于x的不等式(ax+b)(x-2)0可化为x
6、+ba(x-2)0,即(x-1)(x-2)0,所以不等式的解集为x|-1x0的解集为x|-1x2ax的解集为()。A.x|-2x1B.x|x1C.x|x3D.x|0x0的解集为x|-1x2,所以-1和2是方程ax2+bx+c=0的两根,且a2ax整理得a(x2-3x)0,因为a0,所以x2-3x0,所以0x0的解集是(-2,1),求不等式cx2-bx-a0的解集。答案：解:由ax2-bx-c0的解集是(-2,1)可知-2和1是方程ax2-bx-c=0的两根且a02ax2+ax-a0,又a02x2+x-10的解集为x|-1x12。14.(2019山东莱芜二中高二月考)求关于x的不等式-4x2-4
7、a2x+2x+a2-a40的解集。答案：解:令4x2+(4a2-2)x+a2(a2-1)=0,则(2x+a2)(2x+a2-1)=0。x+a22x+a2-12=0,解得x=-a22或x=-a22+12。结合二次函数的性质得原不等式解集为xx-a22+12。考点3函数零点的应用15.(2019丹东四中高二月考)二次函数y=ax2+bx+c(xR)的部分对应值如表。x-3-2-101234y60-4-6-6-406则不等式ax2+bx+c0的解集是。答案：(-2,3)解析：由二次函数y=ax2+bx+c(xR)的部分对应值知,x=-2时, y=0;x=3时,y=0;且函数y的图像开口向上,不等式a
8、x2+bx+c0)的两个零点为x1和x2,且x2-x1=5。(1)求函数f(x)的解析式;答案：由题意得x2+mx-6=0(m0)的两个根为x1和x2,由韦达定理得x1+x2=-m,x1x2=-6,故(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=m2+24=25,则m2=1,又m0,m=1,故f(x)=x2+x-6。(2)解关于x的不等式f(x)4-2x。答案：由f(x)4-2x得x2+x-64-2x,即x2+3x-100,即(x+5)(x-2)0,解得-5x2,故不等式的解集是x|-5x0的解集为(-,-2)(0,+)。(1)求函数f(x)的解析式;答案：由f(0)=0,f(-2)=0,可
9、得c=0,12-2b+c=0,解得c=0,b=6,f(x)=3x2+6x。(2)若对于任意的x-2,2,f(x)+m3都成立,求实数m的最大值。答案：f(x)+m3,即m-3x2-6x+3,而当x-2,2时,函数y=-3x2-6x+3的对称轴为x=-1,图像的开口向下,所以函数的最小值为f(2)=-21,m-21,即实数m的最大值为-21。19.(2019沈阳四中高二月考)已知函数f(x)=x2-5ax+6a2(aR)。(1)解关于x的不等式f(x)0;答案：不等式f(x)0,可化为(x-2a)(x-3a)0时,由3a2a,得不等式的解集为(2a,3a);当a0时,由3a0的解是-3x0,B=
10、x3x+1 5。(1)求a,b的值;答案：根据题意知x=-3,2是方程ax2-5x+b=0的两实数根,由韦达定理得5a=-3+2,ba=-32,解得a=-5,b=30。(2)求AB和A(UB)。答案：由(1)知,a=-5,b=30,A=x|30x2-5x-50=x|x12,且B=x-1x-25,AB=x-1-25,A(UB)=R。21.(2019山东定陶一中高二月考)已知a,b为常数,函数f(x)=x2-bx+a。(1)当a=b-1时,求关于x的不等式f(x)0的解集;答案：f(x)=x2-bx+b-1=(x-b+1)(x-1)。当b=2时,xR;当b2时,x(-,1b-1,+);当b2时,x
11、(-,b-11,+)。(2)当a=2b-1时,若函数f(x)在(-2,1)上存在零点,求实数b的取值范围。答案：f(x)=x 2-bx+2b-1。当满足-2b20,f(1)0时f(x)在(-2,1)上有零点,解得0b4-23。当满足f(-2)f(1)0时,f(x)在(-2,1)上也有零点,解得-34b0;当f(-2)=0,即b=-34时,x2+34x-52=0,解得x1=54,x2=-2,不符合题意;当f(1)=0,即b=0时,x2-1=0,解得x1=1,x2=-1,符合题意。综上,实数b的取值范围为-340时,二次函数f(x)的图像开口向上,图像上的点A或点B的纵坐标为-a0,图像必与x轴有
12、两个交点。当a0,图像与x轴有两个交点。二次函数f(x)的图像必与x轴有两个交点。(3)若f(x)0的解集为x|xm或xn(nm0。答案：解:ax2+bx+c0的解集为x|xm或xn(nm0,b0,c0。从而易得方程cx2+bx+a=0的两个根为x1=1m,x2=1n,则方程cx2-bx+a=0的两个根为x3=-1m,x4=-1n,nm0,-1n0的解集为xx-1m或x0,则不存在实数c(a,b),使得f(c)=0B.若f(a)f(b)0,则有可能存在实数c(a,b),使得f(c)=0D.若f(a)f(b)0,但f(0)=0,故A错;对于函数f(x)=x3-x,f(-2)f(2)0,但f(0)
13、=f(-1)=f(1)=0,故B错;函数f(x)=x2满足C,故C正确;由零点存在性定理知D错。2.已知函数f(x)的图像是连续不断的,有如下x,f(x)的对应值表:x123456f(x)1510-76-4-5则函数f(x)在区间1,6上的零点至少有()。A.2个B.3个C.4个D.5个答案：B解析：由题表可知f(2)f(3)0,f(3)f(4)0,f(4)f(5)0,则函数y=f(x),x1,2 018()。A.有且只有一个零点B.可能有两个零点C.至多有一个零点D.有两个以上零点答案：C解析：由单调性的定义,可知函数y=f(x)在1,2 018上单调递增,因此函数y=f(x),x1,2 0
14、18有一个零点或不存在零点,即至多有一个零点。考点2函数零点的应用5.(2019南安一中高一第二阶段考试)已知函数f(x)=3ax-1-2a在区间(-1,1)上存在零点,则()。A.a15B.a15C.a1D.a-15答案：C解析：函数f(x)在区间(-1,1)上存在零点,即f(1)f(-1)=(3a-1-2a)(-3a-1-2a)0,解得a1。6.(2019甘肃模拟)直线y=kx+32与曲线y2-2y-x+3=0只有一个公共点,则k的值为()。A.0,-12,14B.0,-14C.-12,14D.0,12,-14答案：A解析：由y=kx+32得kx=y-32,将y2-2y+3=x代入kx=y
15、-32消去x得ky2-(2k+1)y+3k+32=0,当k=0时该方程为一次方程,只有一个解,满足题意。当k0时,=(2k+1)2-4k3k+32=0,解得k=-12或14。所以k的值为0,-12,14。7.(2018西安中学期中)若二次函数y=x2+2x+k+3有两个不同的零点,则实数k的取值范围是()。A.(-2,+)B.(-,-2)C.(2,+)D.(-,2)答案：B解析：由0,得4-4(k+3)0,解得k0,则a-18,由题目条件,知f(0)f(1)0,即-1(2a-1-1)1。综上,实数a的取值范围为(1,+)。故选B。9.(2019定兴三中高一期中)求函数f(x)=|x2-2x|-
16、a2-1(aR)的零点的个数。答案：解:令|x2-2x|-a2-1=0,求函数f(x)=|x2-2x|-a2-1(aR)的零点的个数转化为求|x2-2x|=a2+1的根的个数,再转化为求函数y=|x2-2x|的图像与直线y=a2+1交点的个数,其中函数y=|x2-2x|的增区间为(0,1),(2,+),减区间为(-,0),(1,2),当x=1时函数值为1,函数y=|x2-2x|的图像与直线y=a2+1有两个交点,即方程|x2-2x|=a2+1(aR)的解的个数是2,函数f(x)=|x2-2x|-a2-1(aR)的零点的个数是2。10.(2019北京94中高一期中)已知二次函数f(x)=x2-2
17、ax+4,在下列条件下,求实数a的取值范围。(1)零点均大于1;答案：因为f(x)=x2-2ax+4的零点均大于1,结合二次函数的单调性与零点存在性定理得(-2a)2-160,f(1)=5-2a0,a1,解得2a52。所以实数a的取值范围是2,52。(2)一个零点大于1,一个零点小于1;答案：因为f(x)=x2-2ax+4的一个零点大于1,一个零点小于1,结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)=5-2a52。所以实数a的取值范围是52,+。(3)一个零点在(0,1)内,另一个零点在(6,8)内。答案：因为方程x2-2ax+4=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(6,8)内,结合二次函
18、数的单调性与零点存在性定理得f(0)=40,f(1)=5-2a0,f(6)=40-12a0,解得103a174。所以实数a的取值范围是103,174。【易错点拨】解决一元二次方程根的分布问题要注意灵活运用韦达定理(判别式及两根和与积的正负),或者运用图像来建立关系(可依据二次项系数是否为零、开口方向、图像过定点、对称轴位置等来建立)。考点3二分法求函数零点的原理11.(2018玉溪一中高一期中)下列关于二分法的叙述,正确的是()。A.用二分法可以求所有函数零点的近似值B.用二分法求方程近似解时,可以精确到小数点后任一数字C.二分法无规律可循,无法在计算机上进行D.二分法只用于方程的近似解答案：
19、B解析：根据“二分法”求函数零点的方法要求,用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后任一数字,故选B。12.(2018太原五中高一期末)用二分法求函数f(x)在区间a,b内的零点时,需要的条件是()。f(x)在区间a,b是连续不断的;f(a)f(b)0;f(a)f(b)0。A.B.C.D.答案：A解析：根据二分法定义得正确。13.(2018临川二中高一月考)下列图像中,不能用二分法求函数零点的是()。图3-2-2-1答案：C解析：能否利用二分法求函数零点近似值的关键是要看零点两边的函数值符号是否相异,选项A,B,D中的图像都有零点两边的函数值符号相异的零点,而选项C中的图像没有,故选C。1
20、4.用“二分法”可求近似解,对于精确度说法正确的是()。A.越大,零点的精确度越高B.越大,零点的精确度越低C.重复计算次数就是D.重复计算次数与无关答案：B15.方程x3+x2-2x-1=0的根所在的区间不可能为()。A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)答案：C解析：设f(x)=x3+x2-2x-1,f(-2)=-10,f(0)=-10,f(1)=-10,方程x3+x2-2x-1=0的三个根分别在区间(-2,-1),(-1,0),(1,2)内,不可能在(0,1)内,故选C。16.(2019山东曹县第一中学高一月考)某方程在区间(2,4)内有一实根,若用二分法求此根的
21、近似值,要使所得近似值的精确度可达到0.1,则需要将此区间分()。A.2次B.3次C.4次D.5次答案：D解析：等分1次,区间长度为1,等分2次,区间长度变为0.5,等分4次,区间长度变为0.125,等分5次,区间长度为0.062 50.1,符合题意,故选D。【易错点拨】给定区间(a,b),要求精确度为。可用|b-a|2n来计算运算次数n。考点4利用二分法求函数的零点17.(2018长春外国语学校高一期中)用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算得f(0)0,则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为()。A.(0,0.5),f(0.125)B.(0.5,1
22、),f(0.25)C.(0.5,1),f(0.75)D.(0,0.5),f(0.25)答案：D解析：因为f(1)=1+8-1=80,且f(0)0,所以其中一个零点所在的区间为(0,0.5),第二次应计算的函数值为f(0.25)。故选D。18.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算知f(0)0,可得其中一个零点x0,第二次应计算。横线上应填的内容为()。A.(0,0.5),f(0.25)B.(0,1),f(0.25)C.(0.5,1),f(0.75)D.(0,0.5),f(0.125)答案：A解析：根据二分法易知应选A。19.已知函数y=f(x)的图像如图3-2-2-2,
23、其中零点的个数与可以用二分法求解的零点个数分别为()。图3-2-2-2A.4,4B.3,4C.5,4D.4,3答案：D解析：题中图像与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;零点左、右函数值异号的有3个,所以可以用二分法求解的零点个数为3,故选D。20.用二分法求函数的零点,函数的零点总位于区间an,bn(nN)上,当|an-bn|m时,函数的零点近似值x0=an+bn2与真实零点a的误差最大不超过()。A.m4B.m2C.mD.2m答案：B解析：假设aan,an+bn2,因为|x0-a|=an+bn2-aan+bn2-an=bn-an2m2,故选B。21.(2018新余四中高一月考)用二分法求2
24、x+x=4在1,2内的近似解(精确度为0.2)。参考数据如下表:x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67答案：解:令f(x)=2x+x-4,则f(1)=2+1-4=-10。用二分法逐次计算,列表如下:区间区间中点值xnf(xn)的值及符号(1,2)x1=1.5f(x1)0.330(1,1.5)x2=1.25f(x2)-0.370(1.25,1.5)x3=1.375f(x3)-0.0350(1.375,1.5)|1.375-1.5|=0.1250.2,2x+x=4在1,2内的近似解可取1.375。22.(2019辽宁鞍山一中高一月考)判断函数f(x)=x3-x-1在区间(1,1.5)内有无零点,如果有,求出一个近似零点(精确度为0.1)。答案：解:因为f(1)=-10,且函数y=x3-x-1的图像是连续的曲线,所以它在区间(1,1.5)内有零点,用二分法逐次计算,列表如下:区间中点值中点函数近似值(1,1.5)1.25-0.30(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.312 5-0.05(1.312 5,1.375)由于|1.312 5-1.375|=0.062 50.1,所以函数的一个近似零点可取1.312 5。
