1、6.4.1平面几何中的向量方法知识点一向量在几何中的应用(1)平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来(2)用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；把运算结果“翻译”成几何关系知识点二向量在平面几何中常见的应用(1)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用平行向量基本定理：abab(R，b0)x1y2x2y10(a(x1，y1)，b(x2，y2)(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断
2、两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：abab0x1x2y1y20(a(x1，y1)，b(x2，y2)(3)求角问题，利用公式：cosa，b(a(x1，y1)，b(x2，y2)(4)求线段的长度或说明线段相等，常用公式：|a|(a(x，y)或AB|(A(x1，y1)，B(x2，y2)向量在几何中的应用(1)利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一个基底(而选择的基底的长度和夹角应该是已知的，这样方便计算)，利用基向量表示涉及的向量；一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标这两种思路都是通过向量的计算
3、获得几何命题的证明(2)向量解决几何问题就是把点、线、面等几何要素直接归纳为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、面的相应结果，可以简单表述为“形到向量向量的运算向量和数到形”1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)若ABC是直角三角形，则有0.()(2)若，则直线AB与CD平行()(3)向量，的夹角就是直线AB，CD的夹角()答案(1)(2)(3)2做一做(1)在四边形ABCD中，0，则四边形ABCD是()A直角梯形 B菱形C矩形 D正方形(2)设O是ABC内部一点，且2，则AOB与AOC的面积之比为_答案(1)C(2)12题型一 向量在平面
4、几何证明问题中的应用例1在直角梯形ABCD中，ABCD，CDADAB90，CDDAAB，求证：ACBC证明证法一：CDADAB90，ABCD，CDDAAB，故可设e1，e2，|e1|e2|，则2e2.e1e2，(e1e2)2e2e1e2.而(e1e2)(e1e2)ee|e1|2|e2|20，即ACBC证法二：如图，建立直角坐标系，设CD1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)(1,1)，(1,1)(1,1)(1,1)110.ACBC用向量证明平面几何问题的两种基本思路(1)向量的线性运算法的四个步骤选取基底；用基底表示相关向量；利用向量的线性运算或数量积找相应关系；把几何问
5、题向量化(2)向量的坐标运算法的四个步骤建立适当的平面直角坐标系；把相关向量坐标化；用向量的坐标运算找相应关系；把几何问题向量化已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AEFCAC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形证明设a，b，则a(ab)aba，bba，所以，且D，E，F，B四点不共线，所以四边形DEBF是平行四边形 题型二 向量在平面几何计算问题中的应用例2已知在RtABC中，C90，设ACm，BCn.(1)若D为斜边AB的中点，求证：CDAB；(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于点F，求AF的长度(用m，n表示) 解(1)证明：以C为坐标原点，以边
6、CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)D为AB的中点，D.| ，|，|，即CDAB(2)E为CD的中点，E，设F(x,0)，则，(x，m)A，E，F三点共线，即(x，m).则故，x，F，| ，即AF .用向量法求平面几何中的长度问题，即向量的模的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，利用公式|a|2a2求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解，即若a(x，y)，则|a|.如图，平行四边形ABCD中，已知AD1，AB2，对角线BD2，求对角线AC的长解设a，b，则ab，ab，而|ab|2，52ab4，ab.
7、又|2|ab|2a22abb2142ab6，|，即AC.1已知|a|2，|b|2，向量a，b的夹角为30，则以向量a，b为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为()A10 B C2 D22答案C解析以向量a，b为邻边的平行四边形的对角线为ab与ab.|ab| 2，|ab| 2.2已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为()A梯形 B菱形C矩形 D正方形答案A解析由题意得(3,3)，(2,2)，|.故选A3平面上有三个点A(2，y)，B，C(x，y)(x0)，若，则满足条件的x，y的关系式是_答案y28x(x0)解析，2x0，y28x(x0)4
8、在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足，则的取值范围是_答案1,4解析解法一：设(01)，则，(1)(1)，则()()()(1)(1)22(1).0，43.01，14，即的取值范围是1,4解法二：如图所示，以点A为坐标原点，以边AB所在直线为x轴，边AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系因为AB2，AD1，所以A(0,0)，B(2，0)，D(0,1)，C(2，1)设t0,1，则|t，|2t.则M(2，t)，N(22t,1)，故44tt43t，又t0,1，所以()max4304，()min4311.故的取值范围是1,45如图，在OACB中，BDBC，OD与BA相交于点E.求证：BEBA证明O，E，D三点共线，向量与向量共线则存在实数1，使得1.而，则1.又A，E，B三点共线，与共线，则存在实数2，使22()22.而，221.即(12)21.与不共线，2.，即BEBA