1、第三节变量间的相关关系与统计案例热点命题分析学科核心素养对于回归分析，高考考查较多，主要考查求线性回归方程、利用回归方程进行预测，一般以解答题的形式出现，难度中等，有时也会以小题的形式考查变量的相关性；对于独立性检验，一般以解答题的第一问进行考查，常与概率知识相交汇命题.本节通过回归分析、独立性检验考查考生分析解决问题的能力，提升数学运算、直观想象、数据分析、逻辑推理、数学建模等核心素养.授课提示：对应学生用书第223页知识点一变量间的相关关系1变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系(2)从散点图上看，点
2、散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关2两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线(2)回归方程为x，其中， .(3)通过求Q (yibxia)2的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法(4)相关系数：当r0时，表明两个变量正相关；当r0，则正相关；r0时，正相关；0时，负相关.题型二回归分析合作探究例(2020高考全国卷)某沙漠地区经过治理，
3、生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i1,2，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得i60，i1 200，(xi)280，(yi)29 000，(xi)(yi)800.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(xi，yi)(i1,2，20)的相关系数(精确到0.01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植
4、物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由附：相关系数r，1.414.解析(1)由已知得样本平均数i60，从而该地区这种野生动物数量的估计值为6020012 000.(2)样本(xi，yi)(i1,2，20)的相关系数r0.94.(3)分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样理由如下：由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了
5、样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计1.回归直线方程中系数的两种求法(1)公式法：利用公式，求出回归系数，.(2)待定系数法：利用回归直线过样本点中心(，)求系数2回归分析的两种策略(1)利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值(2)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是回归系数.对点训练随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份20162017201820192020时间代号t12345储蓄存款y(千亿元)567810(1)求y关于t的回归方程t；(2)用所求回归方程预测该地区202
6、1年(t6)的人民币储蓄存款附：回归方程t中，.解析：(1)列表计算如下：这里n5，i3，i7.2.又n25553210，iyin120537.212，从而1.2，7.21.233.6，故所求回归方程为1.2t3.6.(2)将t6代入回归方程可预测该地区2021年的人民币储蓄存款为1.263.610.8(千亿元)题型三独立性检验 合作探究 例(2020新高考高考卷)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：g/m3)，得下表：SO2PM2.50,50(50,150(150,4750,3532184(35,75681
7、2(75,1153710(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的22列联表：SO2PM2.50,150(150,4750,75(75,115(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？附：K2，P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.解析(1)根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为32186864，因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的
8、概率的估计值为0.64.(2)根据抽查数据，可得22列联表：SO2PM2.50,150(150,4750,756416(75,1151010(3)根据(2)的列联表得K27.484.由于7.4846.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关1.在22列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足adbc0.|adbc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|adbc|越大，说明两个变量之间关系越强.2.解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成22列联表(2)根据公式K2计算K2的观测值k.(3)比较观测值k与临
9、界值的大小关系，作统计推断.对点训练(2021惠州调研)在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的女生与男生人数之比为13，且成绩分布在40,100，分数在80以上(含80)的同学获奖按性别用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如下(1)求a的值，并计算所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)填写下面的22列联表，是否有超过95%的把握认为“获奖与学生的性别有关”？女生男生合计获奖5不获奖合计200附表及公式：K2，其中nabcd.P(K2k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415
10、.0246.6357.87910.828解析：(1)由频率分布直方图，可得a1(0.010.0150.030.0150.005)10100.025，450.1550.15650.25750.3850.15950.0569.(2)填写22列联表如下：女生男生合计获奖53540不获奖45115160合计50150200则K24.1673.841，有超过95%的把握认为“获奖与学生的性别有关”非线性回归问题中的核心素养数学建模、数学运算非线性回归的应用问题例为了研究一种昆虫的产卵数y(单位：个)和温度x(单位：)是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并作出了如图所示的散点图，发现样本点没有分布在
11、某个带状区域内，两个变量不呈线性相关关系，现分别用模型：yC1x2C2与模型：yeC3xC4作为产卵数y和温度x的回归方程来建立两个变量之间的关系.温度x/20222426283032产卵数y/个610212464113322tx24004845766767849001 024zln y1.792.303.043.184.164.735.7726692803.571 157.540.430.320.000 12其中tix，i，ziln yi，i.(1)分别在下图(1)(2)中画出y关于t的散点图和z关于x的散点图，根据散点图判断哪一个模型更适宜作为昆虫的产卵数y关于温度x的回归方程类型？(给出
12、判断即可，不必说明理由)(1)(2)(2)根据表中数据，分别在两个模型下建立y关于x的回归方程，并在两个模型下分别估计温度为30 时的产卵数；(参考数据：e4.65104.58，e4.85127.74，e5.05156.02)(3)若模型的相关指数分别为R0.82，R0.96，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线u的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.解析(1)画出y关于t的散点图，如图所示画出z关于x的散点图，如图所示根据散点图可以判断模型更适宜作为昆虫的产卵数y关于温度x的回归方程类型(2)对于模型，因为tx2，所
13、以yC1x2C2C1tC2，所以10.43，21800.43692217.56，故所求回归方程为0.43x2217.56，当x30时，0.43302217.56169.44，故估计温度为30 时的产卵数为169个；对于模型，因为yeC3xC4，所以zln yC3xC4，所以30.32，433.570.32264.75，故所求回归方程为e0.32x4.75，当x30时，e0.32304.75127.74，故估计温度为30 时的产卵数为128个(3)因为R0.82，R0.96，RR，所以模型的拟合效果更好非线性回归方程的求法(1)根据原始数据作出散点图；(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数；(3)
14、作恰当变换，将其转化成线性函数，求线性回归方程；(4)在(3)的基础上通过相应变换，即可得非线性回归方程对点训练(2021汕头模拟)二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格y(单位：万元/辆)进行整理，得到如下数据：使用年数x234567售价y201286.44.43zln y3.002.482.081.861.481.10下面是z关于x的折线图：(1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z与x的关系，请用相关系数加以说明；(2)求y关于x的回归方程，并预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少；(、小数点后保留两位有效数字)(3)基于成本的考虑，该型号二手
15、车的售价不得低于7 118元，请根据(2)求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年参考公式：，r.参考数据：iyi187.4，izi47.64，139，4.18, 13.96，1.53，ln 1.460.38，ln 0.711 80.34.解析：(1)由题意，知(234567)4.5，(32.482.081.861.481.10)2，又izi47.64, 4.18，1.53，r0.99，z与x的相关系数大约为0.99，说明z与x的线性相关程度很高(2)0.36，20.364.53.62，z与x的线性回归方程是0.36x3.62，又zln y，y关于x的回归方程是e0.36x3.62.令x9，得e0.3693.62e0.38，ln 1.460.38，1.46，即预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为1.46万元(3)当0.711 8，即e0.36x3.620.711 8eln 0.711 8e0.34时，则有0.36x3.620.34，解得x11，因此，预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年
