1、章末知识方法专题小结一、直线的倾斜角与斜率问题直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度倾斜角与斜率k的对应关系是做题的易错点，应引起重视例1已知坐标平面内三点A(1,1)，B(1,1)，C(2，1)(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；(2)若D为ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的变化范围解(1)由斜率公式，得kAB0，kBC，kAC.tan00，AB的倾斜角为0.tan60，BC的倾斜角为60.tan30，AC的倾斜角为30.(2)如图所示，当斜率k变化时，直线CD绕点C旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与
2、AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为.二、直线方程直线方程的五种形式及其选取直线方程的五种形式各有优劣，在使用时要根据题目条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论例2直线l过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程解设直线l的横截距为a，则它的纵截距为6a，由于直线在两轴上的截距都不为0，故直线l的方程为1.因为点(1,2)在该直线上，所以1，即为a25a60.所以a2或a3.当a2时，直线的方程为1，即为2xy40，经过第一、二、四象限；当a3时，直线的方程为1，
3、即为xy30，也经过第一、二、四象限综上可知，所求直线l的方程为xy30或2xy40.三、直线平行与垂直的性质及判定利用直线的方程判定两条直线的平行与垂直关系是这部分内容常涉及的题型求解时，可以利用斜率之间的关系来判定若方程都是一般式，知道平行或垂直关系，求参数的值时也可以用如下方法：直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.(1)当l1l2时，可先令A1B2A2B10，解得参数的值后，再代入方程验证，排除重合的情况；(2)当l1l2时，可利用A1A2B1B20直接求参数的值例3已知直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，求m的值，使得：(1)l1与l2相交；(2)l1
4、l2；(3)l1l2.分析已知两条直线的方程中都含有参数，求不同的位置关系时参数的取值，可以利用平行(或垂直或相交)的条件列方程求解解(1)当m0时，l1与l2相交当m0时，若l1与l2相交，则，解得m1且m3，所以当l1与l2相交时，m1且m3.(2)若l1l2，则1(m2)3m0，解得m.所以当m时，l1l2.(3)由，得m1或m3.当m1时，l1l2.当m3时，l1与l2重合所以当m1时，l1l2.四、距离问题解决解析几何中的距离问题时，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合，三种距离是高考考查的热点，公式如下表：类别已知条件公式两点间的距离A(x1，y1)，B(x2，y2)|AB|点到
5、直线的距离P(x0，y0)l：AxByC0d两平行直线的距离l1：AxByC10l2：AxByC20(A，B不同时为零)d例4已知直线l经过点P(3,1)且被两平行直线l1：xy10和l2：xy60截得的线段长为5，求直线l的方程解方法1：设两平行线xy10和xy60的距离为d，则d.如图，设PBBPBB，则sin，45.因为两平行直线的斜率为1，故所求直线的斜率不存在或为零，由于直线过点P(3,1)，故所求直线方程为x3或y1.方法2：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x3，此时与l1，l2的交点分别为A(3，4)和B(3，9)，截得的线段长|AB|49|5，符合题意若直线l的斜率存在，
6、则设直线l的方程为yk(x3)1.解方程组，得A(，)解方程组，得B(，)，由|AB|5，得()2()252，解得k0，即所求的直线方程为y1.综上可知，所求l的方程为x3或y1.五、对称问题对称问题包括点关于点、点关于直线、直线关于点、直线关于直线以及曲线关于点、曲线关于直线的对称其中点关于点、点关于直线的对称是所有对称中的两种最基本的对称，应该重点掌握，并能够把其他对称都转化成这两种对称由于对称问题综合运用了两条直线垂直、平行的判定和点到直线的距离公式等知识点，因此对称问题一直是高考考查的重点，对称是图形的一种几何特征，如角平分线、入(反)射光线，在一条定直线上求一个点到两个定点的距离之和
7、最小、差的绝对值最大等问题都隐含着对称的关系，因此要注意对称在解题中的重要作用例5光线从点A(3,4)射出，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的C点又被y轴反射，这时反射线恰好过点D(1,6)，求BC所在的直线方程分析根据对称原理，入射光线上任一点关于镜面(即x轴)的对称点必须在反射光线上，同理，反射光线上的任意一点关于镜面(即y轴)的对称点也必定在入射光线上，因此求出A点关于x轴的对称点，D点关于y轴的对称点，即可求出BC的直线方程解A(3,4)关于x轴的对称点为A(3，4)，D(1，6)关于y轴的对称点D(1,6)，由题意知A，D在BC上所以直线BC的方程为，整理，得5x2y70.所以直线BC的方程为5x2y70.
