1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时角度问题学 习 目 标核 心 素 养1.能灵活运用正弦定理及余弦定理解决角度问题(重点)2.会将实际问题转化为解三角形问题(难点)3.能根据题意画出几何图形(易错点)通过研究利用正弦定理和余弦定理在解决与角度有关的实际问题，提升学生的数学建模与数学运算素养1方位角从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角如点B的方位角为(如图所示).方位角的取值范围：0，360)2视角从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的夹角，如图所示，视角50指的是观察该物体的两端视线张开的角度思考：方位角的范围为什么不是(0，)?提示方位角的概念表明，“从正北方向顺时针转到目标方向
2、线所成的角”，显然方位角的范围应该是0，2).1从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系是()ABC90 D180B由仰角与俯角的水平线平行可知.2在某次高度测量中，在A处测得B点的仰角为60，在同一铅垂平面内测得C点的俯角为70，则BAC等于()A10 B50C120 D130D如图所示：BAC130.3某人从A处出发，沿北偏东60行走3公里到B处，再沿正东方向行走2公里到C处，则A、C两地的距离为 公里7如图所示，由题意可知AB3，BC2，ABC150.由余弦定理得AC2274232cos 15049，AC7.所以A、C两地的距离为7公里,角度问题【例1】(1)如图所示，两座
3、灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10B北偏西10C南偏东80 D南偏西80(2)有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6 m，下底长为10 m，高为2m，那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别是()A，60 B，60C，30 D，30(1)D(2)B(1)由条件及图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.(2)如图所示，横断面是等腰梯形ABCD，AB10 m，CD6 m，高DE2 m，则AE2 m，tan DAE，DAE60.测量角度问题画示意图的基本步骤1在
4、一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东 ，大小为 km/h.6020如图，AOB60，由余弦定理知OC2202202800cos 1201 200，故OC20，COY303060.求航向的角度【例2】在海岸A处，发现北偏东45方向，距A处(1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船此时，走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，
5、问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？思路探究：你能根据题意画出示意图吗？在ABC中，能求出BC与ABC吗？在BCD中，如何求出BCD?解设缉私船用t小时在D处追上走私船，画出示意图，则有CD10t，BD10t，在ABC中，AB1，AC2，BAC120，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC(1)2222(1)2cos 1206，BC，且sin ABCsinBAC，ABC45，BC与正北方向成90角CBD9030120，在BCD中，由正弦定理，得sin BCD，BCD30.即缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船1测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并
6、在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解2在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角因为余弦函数在(0，)上是单调递减的，而正弦函数在(0，)上不是单调函数，一个正弦值可以对应两个角但角在上时，用正、余弦定理皆可2甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少n mile?解如图所示，设两船在C处相遇，并设CAB，乙船行驶距离BC为x n mile，则ACx，由正弦定理得sin ，而1510，所以
7、此人在C点能与投递员相遇【例3】如图所示，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15方向行驶，若甲船沿南偏东度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船问用多少小时追上乙船，并求sin 的值(结果保留根号，无需求近似值)思路探究：根据题意明确已知条件与几何量间的对应关系，将实际问题转化为数学问题，运用正、余弦定理解决解设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，则在ABC中，AC28t，BC20t，AB9，ABC1801545120，由余弦定理得，(28t)281(20t)22920t，即128t260t270，解得t或t(舍去)
8、，AC21(海里)，BC15(海里).根据正弦定理，得sin BAC，则cos BAC.又ABC120，BAC为锐角，45BAC，sin sin (45BAC)sin 45cos BACcos 45sin BAC.(变条件，变结论)在本例中，若乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东15的方向行驶恰能与乙船相遇，其他条件不变，试求乙船的速度解设乙船的速度为x海里每小时，用t小时甲船追上乙船，且在C处相遇(如图所示)，则在ABC中，AC28t，BCxt，CAB30，ABC135.由正弦定理得，即.所以x14(海里每小时).故乙船的速度为14海里每小时解决实际问题应注意的问题(1)首先明确题中
9、所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解1判断正误(1)如图所示，该角可以说成北偏东110.()(2)方位角与方向角其实质是一样的，均
10、是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是.()(3)方位角210的方向与南偏西30的方向一致()答案(1)(2)(3)提示(1)说成南偏东70或东偏南20.(2)方位角的范围是0，2).2在某测量中，设A在B的南偏东3427，则B在A的()A北偏西3427 B北偏东5533C北偏西5533 D南偏西3427A由方向角的概念，B在A的北偏西3427.3如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东5B北偏西10C南偏东5 D南偏西10B由题意可知ACB180406080.ACBC，CABCBA50，从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10.4如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得DAC15，沿山坡前进50 m到达B处，又测得DBC45，根据以上数据可得cos 1由DAC15，DBC45，可得DBA135，ADB30，在ABD中，根据正弦定理可得，即，所以BD100sin 15100sin(4530)25().在BCD中，由正弦定理得，即，解得sin BCD1.所以cos cos (BCD90)sin BCD1.- 10 - 版权所有高考资源网